中考数学模型：飞镖模型与8字型模型(10页).doc

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1、-8字模型与飞镖模型8字型与飞镖型是中考几何模型中常见的两种结构，熟悉这两种结构对于我们快速解题有着极其重要的帮助。模型1：角的8字模型如图所示，AC、BD相交于点O，连接AD、BC 结论：ADBC模型分析证法一：AOB是AOD的外角，ADAOBAOB是BOC的外角，BCAOBADBC证法二：ADAOD180，AD180AODBCBOC180，BC180BOC又AODBOC，ADBC（1）因为这个图形像数字8，所以我们往往把这个模型称为8字模型（2）8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到模型实例观察下列图形，计算角度：（1）如图，ABCDE_； 解法一：利用角的8字模型如图，连接CDBOC

2、是BOE的外角，BEBOCBOC是COD的外角，12BOCBE12（角的8字模型），ABACEADBEAACEADB12AACDADC180解法二：如图，利用三角形外角和定理1是FCE的外角，1CE2是GBD的外角，2BDABCDEA12180（2）如图，ABCDEF_ （2）解法一：如图，利用角的8字模型AOP是AOB的外角，ABAOPAOP是OPQ的外角，13AOPAB13（角的8字模型），同理可证：CD12 ，EF23由得：ABCDEF2（123）360解法二：利用角的8字模型如图，连接DEAOE是AOB的外角，ABAOEAOE是OED的外角，12AOEAB12（角的8字模型）ABCAD

3、CFEBF12CADCFEBF360（四边形内角和为360）练习：1（1）如图，求：CADBCDE ；解：如图，1=B+D，2=C+CAD， CAD+B+C+D+E=1+2+E=180 故答案为：180解法二：（2）如图，求：CADBACEDE 解：由三角形的外角性质，知BAC=E+ACE，EAD=B+D，又BAC+CAD+EAD=180，CADBACEDE180解法二：2如图，求：ABCDEFGH 解：G+D=3，F+C=4，E+H=2，G+D+F+C+E+H=3+4+2，B+2+1=180，3+5+A=180，A+B+2+4+3=360，A+B+C+D+E+F+G+H=360 解法二：模型

4、2：角的飞镖模型如图所示，有结论：DABC 模型分析解法一：如图，作射线AD3是ABD的外角，3B1，4是ACD的外角，4C2BDC34，BDCB12C，BDCBACBC解法二：如图，连接BC24D180，D180（24）1234A180，A13180（24）DA13.（1）因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为飞镖模型（2）飞镖模型在几何综合题目中推导角度时使用模型实例如图，在四边形ABCD中，AM、CM分别平分DAB和DCB，AM与CM交于M，探究AMC与B、D间的数量关系解答：利用角的飞镖模型如图所示，连接DM并延长3是AMD的外角，31ADM，4是CMD的外角，42CDM，AM

5、C34AMC1ADMCDM2，AMC12ADC（角的飞镖模型）AM、CM分别平分DAB和DCB，（四边形内角和360），2AMCBADC360. 练习：1如图，求A+B+C+D+E+F= .【答案】230提示：C+E+D=EOC=115.（飞镖模型），A+B+F=BOF=115.A+B+C+D+E+F=115+115=2302如图，求A+B+C+D= .【答案】220提示：如图所示，连接BD.AED=A+3+1，BFC=2+4+C，A+ABF+C+CDE=A+3+1+2+4+C=AED+BFC=220模型3 边的“8”字模型如图所示，AC、BD相交于点O，连接AD、BC结论AC+BDAD+BC

6、 模型分析 OA+ODAD， OB+OCBC， 由+得： OA+OD+OB+OCBC+AD 即：AC+BDAD+BC.模型实例如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O。求证：(1) AB+BC+CD+ADAC+BD； (2) AB+BC+CD+AD AC， CD+ADAC， AB+ADBD， BC+CD BD 由+得： 2 (AB+BC+CD+AD)2(AC+BD). 即AB+BC+CD+AD AC+BD.(2) ADOA+OD ，BCOB+OC， 由+得： AD+BC OA+OD+OB+OC AD+BCAC+BD.（边的8字模型）， 同理可证：AB+CD AC+BD. AB+BC+C

7、D+AD BD+CD.模型分析如图，延长BD交AC于点E。AB+AC=AB+AE+EC，AB+AEBE，AB+A CBE+EC. ，BE+EC=BD+DE+EC， DE+EC CD，BE+ECBD+CD. ，由可得：AB+ACBD+CD.模型实例如图，点O为三角形内部一点求证：(1) 2 (AO+BO+CO)AB+BC+AC；(2) AB+BC+ACAO+BO+CO.证明：(1)OA+OBAB， OB+OCBC， OC+OAAC 由+得： 2 (AO+BO+CO)AB+BC+AC (2)如图，延长BO交AC于点E， AB+AC=AB+AE+EC， AB+AEBE， AB+ACBE+EC. BE

8、+EC=BO+OE+EC， OE+ECCO，BE+ECBO+CO， 由可得： AB+ACBO+CO.（边的飞镖模型） 同理可得： AB+BCOA+OC. ，BC+ACOA+OB. 由+得： 2 (AB+BC+AC)2 (AO+BO+CO). 即 AB+BC+ACAO+BO+CO.1如图，在ABC中，D、E在BC边上，且BD=CE。求证：AB+ACAD+AE. 【答案】证法一：如图，将AC平移至BF，AD延长线与BF相交于点G，连接DF。由平移可得AC=BF ，ACBF ，ACE=BFD ，BD=CEAECFDB ，DF=AE如图，延长AD交BF于点G，AB+BF=AB+BG+GF. AB+BG

9、AG，AB+BFAG+GF ，AG+GF=AD+DG+GF， DG+GFDF，AG+GFAD+DF ，由可得：AB+BFAD+DF.（飞镖模型）AB+AC=AB+BFAD+DF=AD+AE. AB+ACAD+AE.证法二：如图，将AC平移至DF，连接BF ，则AC=DF ，ACDF，ACE=FDB.BD=CE，AECFBD. BF=AE. OA+ODAD， OB+OFBF由+得：OA+OD+OB+OFBF+AD. AB+DFBF+AD.（8字模型）AB+AC=AB+DFBF+AD=AE+AD. AB+ACAD+AE.2观察图形并探究下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由(1)如图，AB

10、C中，P为边BC一点，请比较BP+PC与AB+AC的大小，并说明理由(2)如图，将(1)中的点P移至ABC内，请比较BPC的周长与ABC的周长的大小，并说明理由(3)图将(2)中的点P变为两个点、，请比较四边形的周长与ABC的周长的大小，并说明理由.【答案】（1）如图，BP+PCAB+AC.理由：三角形两边之和大于第三边。（或两点之间线段最短）（2）BPC的周长小于ABC的周长。证明：如图，延长BP交AC于M。在ABM中，BP+PMAB+AM在PMC中，PCPM+MC ，由+得：BP+PCAB+AC.BPC的周长小于ABC的周长。（3）四边形的周长小于ABC的周长。证法一：如图，分别延长、交于M，由（2）知，BM+CMAB+AC.又，+BM+CMAB+AC.四边形的周长小于ABC的周长. 证法二：如图，做直线分别交AB、AC于M、N。在BM中，BM+在AMN中，+AM+AN ，在中，+NC由+得：+AB+AC. 四边形的周长小于ABC的周长.-第 10 页-