人教版八年级下册二次根式讲义(16页).doc

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1、-知识梳理 二、 知识点一、二次根式的主要性质： 1.； 2.； 3.；4. 积的算术平方根的性质：；5. 商的算术平方根的性质：.6.若，则.知识点二、二次根式的运算1二次根式的乘除运算 (1) 运算结果应满足以下两个要求：应为最简二次根式或有理式；分母中不含根号. (2) 注意每一步运算的算理；(3) 乘法公式的推广：2二次根式的加减运算先化简，再运算， 3二次根式的混合运算 (1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里； (2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.【例题精选】：二次根式有意义的条件：例1：求下列各式有意义

2、的所有x的取值范围。分析：式子要在时，才被称为二次根式，即有意义，而取任意实数它均有意义，依据此概念，去解上述各题。解：（1）要使有意义，必须，由得， 当时，式子在实数范围内有意义。（2）要使有意义，为任意实数均可， 当x取任意实数时均有意义。（3）要使有意义，必须 的范围内。 当时，式子在实数范围内有意义。（4）要使有意义，必须 解得 当时，有意义。（5）要使有意义，必须使 解得且，取公共区间 当时，式子在实数范围内有意义。（6）要使有意义，必须 解得 当时式子有意义。小练习：（1）当x是多少时，在实数范围内有意义？（2）当x是多少时， +在实数范围内有意义？ （3）当x是多少时，+x2在实

3、数范围内有意义？（4）当时，有意义。2. 使式子有意义的未知数x有（ ）个 A0 B1 C2 D无数3已知y=+5，求的值4若+有意义，则=_5. 若有意义，则的取值范围是 。6要是下列式子有意义求字母的取值范围（1）(2)(3)(4)(5) (6)最简二次根式例2：把下列各根式化为最简二次根式：分析：依据最简二次根式的概念进行化简，（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解：同类根式：例3：判断下列各组根式是否是同类根式：分析：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式，所以判断几个二次根式是否为同类二

4、次根式，首先要将其化为最简二次根式。解： 分母有理化：例4：把下列各式的分母有理化：分析：把分母中的根号化去，叫做分母有理化，两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说，这两个代数式互为有理化因子，如与，均为有理化因式。解：求值：例5：计算：分析：迅速、准确地进行二次根式的加减乘除运算是本章的重点内容，必须掌握，要特别注意运算顺序和有意识的使用运算律，寻求合理的运算步骤，得到正确的运算结果。解： （1）原式 小结：注意运算顺序如（2）切不可，作成，要先作括号内的加法，又考虑到除法又要颠倒相乘，因此也没有必要先分母有理化，又如（3）中各项的符号问题不能出错，所有这些地方都注

5、意到了，才能得出正确结果。化简：例6：化简：分析：应注意（1）式，（2），所以，可看作可利用乘法公式来进行化简，使运算变得简单。解：例7：化简练习：分析：依据公式来化简。解： 化简求值：例8：已知：求：的值。分析：如果把a，b的值直接代入计算的计算都较为繁琐，应另辟蹊径，考虑到互为有理化因子可计算，然后将求值式子化为的形式。解：小结：显然上面的解法非常简捷，在运算过程中我们必须注意寻求合理的运算途径，提高运算能力。类似的解法在许多问题中有广泛的应用，大家应有意识的总结和积累。例9：在实数范围内因式分解：2x24；【提示】先提取2，再用平方差公式【答案】2（x）（x）x42x23【提示】先将x2

6、看成整体，利用x2pxq（xa）（xb）其中abp，abq分解再用平方差公式分解x23【答案】（x21）（x）（x）例10、综合应用：如图所示的RtABC中，B=90，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动问：几秒后PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）【专项训练】： 填空1、计算：2、化简：= ，= 。3、二次根式有意义时的的范围是。4、若，则x的范围是 。 5、一个等腰直角三角形的腰长为4，则这个等腰三角形的面积为 。 6、代数式的最大值是_ 。7、计算： ，= 。8、把的根号外的

7、因式移到根号内得 。9若+有意义，则=_ 10若是一个正整数，则正整数m的最小值是_11分母有理化:(1)=_;(2) =_;(3) =_.12已知x=3，y=4，z=5，那么的最后结果是_13化简=_（x0）14a化简二次根式号后的结果是_15在实数范围内分解因式2x227_，4x41_l 选择题16、下列各式中不是二次根式的是 （）（A） （B） （C） （D）17、下列运算正确的是 （ ）（A ） （B） （C）2+=2 （D） 18、下列二次根式中与是同类二次根式的是( )（A） （B） （C） （D） 19、化简的结果为（ ） (A) 1 (B) (C) (D) 20、化简的结果是(

8、 ) (A) 2 (B) 2 (C) 2 (D) 421、使代数式8有意义的的范围是（）（A）（B）（C）（D）不存在22、若成立。则x的取值范围为：（ ） （A ）x2 （ B）x3 （C）2x3 （D） 2x323、若，则的值为： （ ） （A ）0 （B）1 （C） -1 （D） 2 24.使式子有意义的未知数x有（ ）个 A0 B1 C2 D无数25下列各式中、，二次根式的个数是（ ） A4 B3 C2 D128若直角三角形两条直角边的边长分别为cm和cm，那么此直角三角形斜边长是（ ）A3cm B3cm C9cm D27cm29化简a的结果是（ ） A B C- D-30等式成立的条

9、件是（ ） Ax1 Bx-1 C-1x1 Dx1或x-131计算的结果是（ ）A B C D32如果（y0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（ ） A（y0） B（y0） C（y0） D以上都不对33把（a-1）中根号外的（a-1）移入根号内得（ ） A B C- D-34在下列各式中，化简正确的是（ ）A=3 B=C=a2 D =x35化简的结果是（ ）A- B- C- D-36已知a，则a与b的关系是（）AabBabCaDa37计算（）（）（）2的结果是（）A7 B72 C74D6438当x5时，的值是（）Ax5B5x C5x D5x39若x3，则x的取值应为（）Ax3Bx3Cx3Dx

10、340当a0时，化简的结果是（）A1 B1 C0D2a41已知：x，y，则代数式xy的值为（）A4 B2CD计算题10、 11、 12、 13、14、 15、16、3（243）17、（18、（72）219、（）（）20、（x2y）（）21、（x2y2）（）化简：（ 解答题1、当x是多少时，+在实数范围内有意义？2、已知y=+5，求的值3、已知a、b为实数，且+2=b+4，求a、b的值4. 若-3x2时，试化简x-2+。5已知，且x为偶数，求（1+x）的值6若x、y为实数，且y=，求的值7已知：x，求x2x1的值8已知：x，y，求的值9已知a2b24a2b50，求的值10当|x2|1时，化简|1x|11、在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 12、当x是多少时，+在实数范围内有意义？13、已知y=+5，求的值14、已知a、b为实数，且+2=b+4，求a、b的值15. 若-3x2时，试化简x-2+。16已知，且x为偶数，求（1+x）的值17若x、y为实数，且y=，求的值19 已知：x，求x2x1的值20已知：x，y，求的值21已知a2b24a2b50，求的值22当|x2|1时，化简|1x|-第 16 页-