八年级数学竞赛例题专题-梯形.docx

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1、八年级数学竞赛例题专题-梯形八年级数学竞赛例题专题-面积法 专题27面积法阅读与思索平面几何学的产生源于人们测量土地面积的须要，面积关联着几何图形的重要元素边与角所谓面积法是指借助面积有关的学问来解决一些干脆或间接与面积问题有关的数学问题的一种方法有很多数学问题，虽然题目中没有干脆涉及面积，但由于面积联系着几何图形的重要元素，所以借助于有关面积的学问求解，经常简捷明快用面积法解题的基本思路是：对某一平面图形面积，采纳不同方法或从不同角度去计算，就可得到一个含边或角的关系式，化简这个面积关系式就可得到求解或求证的结果下列状况可以考虑用面积法：（1）涉及三角形的高、垂线等问题；（2）涉及角平分线的

2、问题例题与求解【例1】如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的边长为_(全国初中数学联赛试题)解题思路：从寻求三条垂线段与等边三角形的高的关系入手等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于一腰上的高，那么等边三角形呢？等腰梯形呢？【例2】如图，AOB中，O，OAOB，正方形CDEF的顶点C在DA上，点D在OB上，点F在AB上，假如正方形CDEF的面积是AOB的面积的，则OC：OD等于()A3：1B2：1C3：2D5：3解题思路：由面积关系，可能想到边、角之间的关系，这时通过设元，即可把几何问题代数化来解决【例3】如图，在ABCD中，E为AD上

3、一点，F为AB上一点，且BEDF，BE与DF交于G，求证：BGCDGC.（长春市竞赛试题）解题思路：要证BGCDGC，即证CG为BGD的平分线，不妨用面积法找寻证题的突破口【例4】如图，设P为ABC内随意一点，直线AP，BP，CP交BC，CA，AB于点D、E、F.求证：（1）；（2）.（南京市竞赛试题）解题思路：过P点作平行线，产生比例线段.【例5】如图，在ABC中，E，F，P分别在BC，CA，AB上，已知AE，BF，CP相交于一点D，且，求的值.解题思路：利用上例的结论，通过代数恒等变形求值.（黄冈市竞赛试题）【例6】如图，设点E，F，G，H分别在面积为1的四边形ABCD的边AB，BC，CD

4、，DA上，且（是正数），求四边形EFGH的面积（河北省竞赛试题）解题思路：连对角线，把四边形分割成三角形，将线段的比转化为三角形的面积比线段比与面积比的相互转化，是解面积问题的常用技巧转化的基本学问有：(1)等高三角形面积比，等于它们的底之比；(2)等底三角形面积比，等于它们的高之比；(3)相像三角形面积比，等于它们相像比的平方实力训练1如图，正方形ABCD的边长为4cm，E是AD的中点，BMEC，垂足为M，则BM_.（福建省中考试题）2如图，矩形ABCD中，P为AB上一点，AP2BP，CEDP于E，AD，AB，则CE_.（南宁市中考试题）第1题图第2题图第3题图3如图，已知八边形ABCDEF

5、GH中四个正方形的面积分别为25，48，121，114，PR13，则该八边形的面积为_.（江苏省竞赛试题）4.在ABC中，三边长为，表示边上的高的长，的意义类似，则()的值为_.（上海市竞赛试题）5如图，ABC的边AB2，AC3，分别表示以AB，BC，CA为边的正方形，则图中三个阴影部分的面积之和的最大值是_.（全国竞赛试题）6如图，过等边ABC内一点P向三边作垂线，PQ6，PR8，PS10，则ABC的面积是()A.B.C.D.（湖北省黄冈市竞赛试题）第5题图第6题图第7题图7如图，点D是ABC的边BC上一点，若CADDAB，AC3，AB6，则AD的长是()A2B.C.3D.8如图，在四边形A

6、BCD中，M，N分别是AB，CD的中点，AN，BN，DM，CM划分四边形所成的7个区域的面积分别为，那么恒成立的关系式是()A.+=B.+=C.+=D+=9已知等边ABC和点P，设点P到ABC三边AB，AC，BC的距离分别为，ABC的高为若点P在一边BC上（如图1），此时，可得结论：.请干脆用上述信息解决下列问题：当点P在ABC内（如图2）、点P在ABC外（如图3）这两种状况时，上述结论是否还成立？若成立请赐予证明；若不成立，与之间又有怎样的关系？请写出你的猜想，不需证明（黑龙江省中考试题）10.如图，已知D，E，F分别是锐角ABC的三边BC，CA，AB上的点，且AD、BE、CF相交于P点，A

7、PBPCP6，设PD，PE，PF，若，求的值（“希望杯”邀请赛试题）11.如图，在凸五边形ABCDE中，已知ABCE，BCAD，BECD，DEAC，求证：AEBD.（加拿大数学奥林匹克试题） 12.如图，在锐角ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA边上的三等分点.P，Q，R分别是ADF，BDE，CEF的三条中线的交点.(1)求DEF与ABC的面积比；(2)求PDF与ADF的面积比；(3)求多边形PDQERF与ABC的面积比.13如图，依次延长四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，使，若，求的值（上海市竞赛试题）14.如图，始终线截ABC的边AB，AC及BC的延长线分别交

8、于F，E，D三点，求证：（梅涅劳斯定理）15如图，在ABC中，已知，求的值.（“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题） 八年级数学竞赛例题专题-正方形 专题20正方形阅读与思索矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特别条件的平行四边形，正方形不仅是特别的平行四边形，而且是邻边相等的特别矩形，也是有一个角是直角的菱形，因此，我们可以利用矩形、菱形的性质来探讨正方形的有关问题正方形问题经常转化为三角形问题解决，在正方形中，我们最简单得到特别三角形、全等三角形，熟识以下基本图形例题与求解【例l】如图，在正方形纸片中，对角线，交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，绽开后，折痕分别交，

9、于点，.下列结论：；四边形是菱形；.其中，正确结论的序号是_（重庆市中考试题）解题思路：本题需综合运用轴对称、菱形判定、数形结合等学问方法【例2】如图1，操作：把正方形的对角线放在正方形的边的延长线上，取线段的中点.连，（1）探究线段，的关系，并加以证明（2）将正方形绕点旋转随意角后（如图2），其他条件不变探究线段，的关系，并加以证明（大连市中考题改编）解题思路：由为中点，想到“中线倍长法”再证三角形全等 【例3】如图，正方形中，是，边上两点，且，于，求证：.（重庆市竞赛试题）解题思路：构造的线段是解本例的关键【例4】如图，正方形被两条与边平行的线段、分割成四个小矩形，是与的交点，若矩形的面积

10、恰是矩形面积的2倍，试确定的大小，并证明你的结论（北京市竞赛试题）解题思路：先揣测的大小，再作出证明，解题的关键是由条件及图形推出隐含的线段间的关系【例5】如图，在正方形中，分别是边，上的点，满意，分别与对角线交于点求证：（1）；（2）（四川省竞赛试题）解题思路：对于（1），可作协助线，创建条件，再通过三角形全等，即可解答；对于（2），很简单联想到直角三角形三边关系 【例6】已知：正方形中，绕点顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点当绕点旋转到时（如图1），易证（1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和

11、之间又有怎样的数量关系？请干脆写出你的猜想（黑龙江省中考试题）解题思路：对于（2），构造是解题的关键 实力训练A级1.如图，若四边形是正方形，是等边三角形，则的度数为_.（北京市竞赛试题）2.四边形的对角线相交于点，给出以下题设条件：；其中，能判定它是正方形的题设条件是_.（把你认为正确的序号都填在横线上）（浙江省中考试题）3如图，边长为1的两个正方形相互重合，按住一个不动，将另一个绕顶点顺时针旋转，则这两个正方形重叠部分的面积是_.（青岛市中考试题）第1题图第3题图第4题图 4.如图，是正方形内一点，将绕点顺时针方向旋转至能与重合，若，则=_.（河南省中考试题）5.将个边长都为的正方形按如图

12、所示摆放，点分别是正方形的中心，则个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为()A.BC.D.（晋江市中考试题） 第5题图第6题图 6.如图，以的斜边为一边在的同侧作正方形，设正方形的中心为，连接，假如，则的长为()A.12B8C.D.（浙江省竞赛试题）7如图，正方形中，那么是()A.BC.D.8如图，正方形的面积为256，点在上，点在的延长线上，的面积为200，则的值是()A15B12C11D109如图，在正方形中，是边的中点，与交于点，求证：10.如图，在正方形中，是边的中点，是上的一点，且求证：平分11.如图，已知是正方形对角线上一点，分别是垂足求证：（扬州市中考试题） 12.（1）如图1，已

13、知正方形和正方形，在同一条直线上，为线段的中点探究：线段的关系（2）如图2，若将正方形绕点顺时针旋转，使得正方形的对角线在正方形的边的延长线上，为的中点试问：（1）中探究的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由（大连市中考试题） 图1图2 B级1.如图，在四边形中，于，若四边形的面积为8，则的长为_.2.如图，是边长为1的正方形内一点，若，则_.（北京市竞赛试题）3.如图，在中，以为一边向三角形外作正方形，正方形的中心为，且，则的长为_.（“希望杯”邀请赛试题）4.如图：边长肯定的正方形，是上一动点，交于，过作交于点，作于点，连接，下列结论：；为定值，其中肯定成立的是()A.BC.

14、D.5.如图，是正方形，是菱形，则与度数的比值是()A.3B4C.5D.不是整数6.一个周长为20的正方形内接于一个周长为28的正方形，那么从里面正方形的顶点到外面正方形的顶点的最大距离是()A.BC.8D.E.（美国中学考试题）7.如图，正方形中，是的中点，设，在上取一点，使，则的长度等于()A.1B2C.3D.（“希望杯”邀请赛试题）8.已知正方形中，是中点，是延长线上一点，且交平分线于（如图1）（1）求证：；（2）若将上述条件中的“是中点”改为“是上随意一点”其余条件不变（如图2），（1）中结论是否成立？假如成立，请证明；假如不成立，请说明理由；（3）如图2，点是的延长线上（除点外）的随

15、意一点，其他条件不变，则（1）中结论是否成立？假如成立，请证明；假如不成立，请说明理由；（临汾市中考试题）9.已知求证： 10.假如，点分别在正方形的边上，已知的周长等于正方形周长的一半，求的度数（“祖冲之杯”邀请赛试题）11.如图，两张大小适当的正方形纸片，重叠地放在一起，重叠部分是一个凸八边形，对角线分这个八边形为四个小的凸四边形，请你证明：，且（北京市竞赛试题）12.如图，正方形内有一点，以为边向外作正方形和正方形，连接求证：（武汉市竞赛试题） 八年级数学竞赛例题专题-关于中点的联想 专题22关于中点的联想 阅读与思索线段的中点把线段分成相等的两部分，图形中出现中点，可以引起我们丰富的联

16、想：首先它和三角形的中线紧密联系；若中点是在直角三角形的斜边上，又可以引用“斜边上的中线等于斜边的一半”结论；其次，中点又与中位线休戚相关；另外，中点还可以与中心对称相连解答中点问题的关键是恰当地添加协助线，如作中线倍长、作直角三角形的斜边上的中线、构造三角形、梯形中位线、构造中心对称图形等，如图所示：例题与求解【例1】如图，ABC边长分别为AB14，BC16，AC26，P为A的平分线AD上一点，且BPAD，M为BC的中点，则PM的值为_(安徽省竞赛试题)解题思路：A的平分线与BP边上的垂线相互重合，通过作协助线，点P可变为某线段的中点，利用三角形中位线定理解题 【例2】如图，边长为1的正方形

17、EFGH在边长为3的正方形ABCD所在的平面上移动，始终保持EFAB，线段CF，DH的中点分别为M，N，则线段MN的长度为()(北京市竞赛试题) A102B172C173D2103解题思路：连接CG，取CG的中点T，构造三角形中位线、梯形中位线 【例3】如图，在ABC中，ABAC，延长AB到D，使BDAB，E为AB中点，连接CE，CD，求证：CD2EC(宁波市竞赛试题)解题思路：图形中有两个中点E，B，联想到与中点相关的丰富学问，将线段倍分关系的证明转化为线段相等关系的证明，关键是恰当添加协助线 【例4】如图1，P是线段AB上一点，在AB的同侧作APC和BPD，使APCBPD，PCPA，PDP

18、B，连接CD，点E，F，G，H分别是AC，AB，BD，CD的中点，顺次连接E，F，G，H(1)猜想四边形EFGH的形态，干脆回答，不必说明理由；(2)当点P在线段AB的上方时，如图2，在APB的外部作APC和BPD，其他条件不变，(1)中的结论还成立吗？说明理由；(3)假如(2)中，APCBPD90，其他条件不变，先补全图3，再推断四边形EFGH的形态，并说明理由（营口市中考试题）图图图解题思路：结论随着条件的变更或许发生改变，但解决问题的方法是一样的，即通过连线，为三角形中位线定理的应用创建条件 【例5】如图，以ABC的AB，AC边为斜边向形外作直角三角形ABD和ACE，且使ABDACE，M

19、是BC的中点，求证：DMEM（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：明显DBM不全等于ECM，必需通过作协助线，构造全等三角形证明DMEM 【例6】如图，已知ABC中，ACB90，AB边上的高CH与ABC的两条内角平分线AM，BN分别交于P，Q两点，PM，QN的中点分别为E，F，求证：EFAB（全国初中数学联赛题） 解题思路：从图形的形成过程，逐步探究相应结论将原问题分解为多个小问题 能力训练A级1如图，若E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是_(1)假如把条件中的四边形ABCD依次改为矩形、菱形、正方形或等腰梯形，其他条件不变，那么所得的四边形EFGH分别为_；(2)假

20、如把结论中的平行四边形EFGH依次改为矩形、菱形、正方形，那么原四边形ABCD应具备的条件是_（湖北省黄冈市中考试题）2如图，已知AGBD，AFCE，BD，CE分别是ABC和ACB的角平分线，若BF2，ED3，GC4，则ABC的周长为_(重庆市竞赛试题) 3如图，在ABC中，ABAC，ADBC于点D，E是AC的中点，若BC16，DE5，则AD_（南京市中考试题） 4如图，在ABC中，ABAC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E为BC上的点，连接DN，EM，若AB13cm，BC10cm，DE5cm，则图中阴影部分的面积为_（北京市中考试题）5A，B，C，D顺次为四边形ABCD的各边的中点，下面

21、条件中使四边形ABCD为正方形的条件是（）A四边形ABCD是矩形B四边形ABCD是菱形C四边形ABCD是等腰梯形D四边形ABCD中，ACBD且ACBD6若等腰梯形的两条对角线相互垂直，中位线长为8cm，则该等腰梯形的面积为（）A16cm2B32cm2C64cm2D112cm27如图，梯形ABCD中，ADBC，E，F分别是BD，AC的中点，若AD6cm，BC18cm，则EF的长为（）A8cmB7cmC6cmD5cm 8如图，在梯形ABCD中，ADEFGHBC，AEEGGB，AD18，BC32，则EFGH（）A40B48C50D56（泰州市中考试题）第8题图第9题图9如图，在ABC中，B2C，AD

22、BC于点D，M是BC的中点，求证：DM12AB 10如图，在ABC中，BDCE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于点P，Q，求证：APAQ 11在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点四边形BCGF和CDHN都是正方形AE的中点是M（1）如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM=MH，FMMH；（2）将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：FMH是等腰直角三角形；（3）将图2中的CE缩短到图3的状况，FMH还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）(2022年河北省中考试题) 12在六边形ABCDEF中，AB

23、DE，BCEF，CDFA，ABDEBCEF，A1，B1，D1，E1分别是边AB，BC，DE，EF的中点，A1D1B1E1求证：CDEAFE B级1如图，正方形ABCD两条对角线相交于点E，CAD的平分线AF交DE于点G，交DC于点F，若GE24，则FC_2如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点F，M，N分别是AB，CD的中点，MN分别交BD，AC于点P，Q，且FPQFQP，BD10，则AC_（重庆市竞赛试题）3如图，在ABC中，BAC120，以AB，AC为边分别向形外作正三角形ABD和正三角形ACE，M为AD的中点，N为AE的中点，P为BC的中点，则MPN_（北京市竞赛试题）4如图，已

24、知A为DE的中点，设DBC，ABC，EBC的面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是（）AS232(S1S3)BS212(S3S1)CS212(S1S3)DS232(S3S1)5如图，在图形ABCD中，ABDC，M为DC的中点，N为AB的中点，则()AMN12(ADBC)BMN12(ADBC)CMN12(ADBC)D无法确定MN与12(ADBC)的关系6如图，凸四边形ABCD的面积是a，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，那么图中的阴影部分的面积为()A18aB16aC14aD12a（江苏省竞赛试题）7如图，在ABC中，D为AB的中点，分别延长CA，CB到点E，

25、F，使DEDF，过E，F分别作CA，CB的垂线，相交于点P求证：PAEPBF（全国初中数学联赛试题） 8如图，锐角ABC中，作高BD和CE，过顶点B，C分别作DE的垂线BF和CG，求证：EFDG（全俄奥林匹克数学竞赛试题） 9如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，点M在AB边上，点N在AC边上，并且MDN90，假如BM2CN2DM2DN2求证：AD214(AB2AC2)（北京市竞赛试题） 10已知：ABD和ACE都是直角三角形，且ABDACE90如图1，连接DE，设M为DE的中点(1)求证：MBMC；(2)设BADCAE，固定ABD，让RtACE绕顶点A在平面内旋转到图2的位置，试问：MBM

26、C是否还成立?请说明理由（江苏省竞赛试题） 11已知OAB，OCD都是等腰直角三角形，AOBCOD90(1)如图1，点C在OA边上，点D在OB边上，连接AD，BC，M为线段AD的中点，求证：OMBC(2)如图2，在图1的基础上，将OCD绕点O逆时针旋转(为锐角)，M为线段AD的中点求证：OM12BC；OMBC是否还成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由 12如图1，在ABC中，点P为BC边的中点，直线a绕顶点A旋转，若点B，P在直线a的异侧，BM直线a于点M，CN直线a于点N，连接PM，PN(1)延长MP交CN于点E(如图2)求证：BPMCPE；求证：PMPN(2)若直线a绕点A旋转到如图3的位置时，点B，P在直线a的同侧，其他条件不变，此时PMPN还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由(3)若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其他条件不变请干脆推断四边形MBCN的形态及此时PMPN是否成立不必说明理由（沈阳市中考试题） 第15页 共15页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页