高一数学教案：《函数模型及其应用》教学设计（一）.docx

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1、高一数学教案：函数模型及其应用教学设计（一）高一数学教案：函数模型及其应用教学设计（二） 高一数学教案：函数模型及其应用教学设计（二） 教学目标： 1.能依据图形、表格等实际问题的情境建立数学模型，并求解；进一步了解函数模型在解决简洁的实际问题中的应用，了解函数模型在社会生活中的广泛应用； 2.在解决实际问题的过程中，培育学生数学地分析问题、探究问题、解决问题的实力，培育学生的应用意识，提高学习数学的爱好. 教学重点： 在解决以图、表等形式作为问题背景的实际问题中，读懂图表并求解. 教学难点： 对图、表的理解. 教学方法： 讲授法，尝试法. 教学过程： 一、情境创设 已知矩形的长为4，宽为3，

2、假如长增加x，宽削减0.5x，所得新矩形的面积为S （1）将S表示成x的函数； （2）求面积S的最大值，并求此时x的值 二、学生活动 思索并完成上述问题 三、例题解析 例1有一块半径为R的半圆形钢板，安排剪裁成等腰梯形ABCD的形态，它的下底AB是O的直径，上底CD的端点在圆周上，写出这个梯形周长y和腰长x间的函数关系式，并求出它的定义域 例2一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发觉每间客房每天的价格与住房率有如下关系： 每间客房定价 20 18 16 14 住房率 65% 75% 85% 95% 要使每天收入最高，每间客房定价为多少元？ 例3今年5月，荔枝上市由历年

3、的市场行情得知，从5月10日起的60天内，荔枝的市场售价与上市时间的关系大致可用如图所示的折线ABCD表示(市场售价的单位为元500g) 请写出市场售价S(t)(元)与上市时间t(天)的函数关系式，并求出6月20日当天的荔枝市场售价 练习：1直角梯形OABC中，ABOC，AB1，OCBC2，直线l：xt截此梯形所得位于l左方图形的面积为S，则函数Sf(t)的大致图象为( ) 2一个圆柱形容器的底部直径是dcm，高是hcm，现在以vcm3/s的速度向容器内注入某种溶液，求容器内溶液的高度x(cm)与注入溶液的时间t(s)之间的函数关系式，并写出函数的定义域 3向高为H的水瓶中注水，注满为止假如注

4、水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形态可能是( ) 4某公司将进货单价为10元一个的商品按13元一个销售，每天可卖200个若这种商品每涨价1元，销售量则削减26个 （1）售价为15元时，销售利润为多少？ （2）若销售价必需为整数，要使利润最大，应如何定价？ 5依据市场调查，某商品在最近40天内的价格f(t)与时间t满意： 四、小结 利用图、表建模；分段建模 五、作业 课本P11010 高一数学教案：函数模型的应用举例教学设计 高一数学教案：函数模型的应用举例教学设计 项目 内容 课题 函数模型的应用举例 （共2课时） 修改与创新 教学 目标 1.培育学生由实际问题转化为数学问题

5、的建模实力，即依据实际问题进行信息综合列出函数解析式. 2.会利用函数图象性质对函数解析式进行处理得出数学结论，并依据数学结论解决实际问题. 3.通过学习函数基本模型的应用，体会实践与理论的关系，初步向学生渗透理论与实践的辩证关系. 教学重、 难点 依据实际问题分析建立数学模型和依据实际问题拟合推断数学模型，并依据数学模型解决实际问题. 教学 打算 教学过程 第1课时 函数模型的应用实例 导入新课 上一节我们学习了不同的函数模型的增长差异，这一节我们进一步探讨不同函数模型的应用. 提出问题 我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同.甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费

6、，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元.小张打算下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时. 设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15x40)，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15x40)，试求f(x)和g(x). A、B两城相距100km，在两地之间距A城xkm处D地建一核电站给A、B两城供电，为保证城市平安.核电站距城市距离不得少于10km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数=0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月. 把月供电

7、总费用y表示成x的函数，并求定义域. 分析以上实例属于那种函数模型. 探讨结果：f(x)=5x(15x40). g(x)= y=5x2+(100x)2(10x90)； 分别属于一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型. 例1一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示. (1)求图3-2-2-1中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义； (2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2022km,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数skm与时间th的函数解析式，并作出相应的图象. 图3-2-2-1 活动：学生先思索或探讨，再回答.老师依据实际，可以提示引导： 图中横轴表示时间，纵

8、轴表示速度，面积为路程；由于每个时间段速度不断改变，汽车里程表读数skm与时间th的函数为分段函数. 解：(1)阴影部分的面积为501+801+901+751+651=360. 阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km. (2)依据图，有 这个函数的图象如图3-2-2-2所示. 图3-2-2-2 变式训练 2022深圳高三模拟，理19电信局为了满意客户不同须要，设有A、B两种实惠方案，这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间关系如下图(图3-2-2-3)所示(其中MNCD). (1)分别求出方案A、B应付话费(元)与通话时间x(分钟)的函数表达式f(x)和g(x)； (2

9、)假如你是一位电信局推销人员，你是如何帮助客户选择A、B两种实惠方案？并说明理由. 图3-2-2-3 解：(1)先列出两种实惠方案所对应的函数解析式： (2)当f(x)=g(x)时,x-10=50, x=200.当客户通话时间为200分钟时，两种方案均可; 当客户通话时间为0x200分钟，g(x)f(x),故选择方案A； 当客户通话时间为x200分钟时，g(x)点评：在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，我们应当留意提高读图的实力.另外，本例题用到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型. 例2人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.相识人口数量的改变规律，可以为有效限制人

10、口增长供应依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,17661834)就提出了自然状态下的人口增长模型： y=y0ert, 其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率. 下表是19501959年我国的人口数据资料： 年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 人数万人 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207 (1)假如以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.0001),用马尔

11、萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的详细人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符； (2)假如按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？ 解：(1)设19511959年的人口增长率分别为r1,r2,r3,r9. 由55196(1+r1)=56300， 可得1951年的人口增长率为r10.0200. 同理,可得r20.0210，r30.0229，r40.0250，r50.0197，r60.0223，r70.0276， r80.0222，r90.0184. 于是，19501959年期间，我国人口的年平均增长率为 r=(r1+r2+r9)90.0221. 令y0=55196，则我国

12、在19511959年期间的人口增长模型为 y=55196e0.0221t,tN. 依据表中的数据作出散点图，并作出函数y=55196e0.0221t(tN)的图象(图3-2-2-4). 图3-2-2-4 由图可以看出，所得模型与19501959年的实际人口数据基本吻合. (2)将y=130000代入y=55196e0.0221t, 由计算器可得t38.76. 所以，假如按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿.由此可以看到，假如不实行安排生育，而是让人口自然增长，今日我国将面临难以承受的人口压力. 变式训练 一种放射性元素,最初的质量为500g,

13、按每年10%衰减. (1)求t年后,这种放射性元素养量的表达式; (2)由求出的函数表达式,求这种放射性元素的半衰期(剩留量为原来的一半所需的时间叫做半衰期).(精确到0.1.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771) 解：(1)最初的质量为500g. 经过1年后,=500(110%)=5000.91; 经过2年后,=5000.9(110%)=5000.92; 由此推知,t年后,=5000.9t. (2)解方程5000.9t=250,则0.9t=0.5, 所以 即这种放射性元素的半衰期约为6.6年. 知能训练 某电器公司生产A型电脑.1993年这种电脑每台平均生产成本为5000元,并以纯

14、利润20%确定出厂价.从1994年起先,公司通过更新设备和加强管理,使生产成本逐年降低.到1997年,尽管A型电脑出厂价仅是1993年出厂价的80%,但却实现了50%纯利润的高效益. (1)求1997年每台A型电脑的生产成本; (2)以1993年的生产成本为基数,求1993年至1997年生产成本平均每年降低的百分数.(精确到0.01,以下数据可供参考:=2.236,=2.449) 活动：学生先思索或探讨，再回答.老师依据实际，可以提示引导. 出厂价=单位商品的成本+单位商品的利润. 解：(1)设1997年每台电脑的生产成本为x元,依题意,得 x(1+50%)=5000(1+20%)80%,解得

15、x=3200(元). (2)设1993年至1997年间每年平均生产成本降低的百分率为y,则依题意,得5000(1y)4=3200, 即1997年每台电脑的生产成本为3200元,1993年至1997年生产成本平均每年降低11%. 课堂小结 本节重点学习了函数模型的实例应用，包括一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型等；另外还应关注函数方程不等式之间的相互关系. 活动：学生先思索或探讨，再回答.老师提示、点拨，刚好评价. 引导方法：从基本学问和基本技能两方面来总结. 作业 课本P107习题3.2A组5、6. 板书设计 教学反思 高一数学函数模型的应用实例443.2.2函数模型的应用实例（）一、三

16、维目标1.学问与技能能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题.2.过程与方法进一步感受运用函数概念建立函数模型的过程和方法，对给定的函数模型进行简洁的分析评价.二、教学重点重点利用给定的函数模型或建立确定性质函数模型解决实际问题.难点将实际问题转化为数学模型，并对给定的函数模型进行简洁的分析评价.三、学法与教学用具1.学法：自主学习和尝试，互动式探讨.2.教学用具：多媒体四、教学设想（一）创设情景，揭示课题.现实生活中有些实际问题所涉及的数学模型是确定的，但需我们利用问题中的数据及其蕴含的关系来建立.对于已给定数学模型的问题，我们要对所确定的数学模型进行分析评价，验证数学模型的与

17、所供应的数据的吻合程度.（二）实例尝试，探求新知例1.一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示.1）写出速度关于时间的函数解析式；2）写出汽车行驶路程关于时间的函数关系式，并作图象；3）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；4）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2022km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数与时间的函数解析式，并作出相应的图象.本例所涉及的数学模型是确定的，须要利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型，此例分段函数模型刻画实际问题.老师要引导学生从条块图象的独立性思索问题，把握函数模型的特征.留意培育学生的读图实力，让学生懂得图象是函数

18、对应关系的一种重要表现形式.例2.人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，相识人口数量的改变规律，可以为有效限制人口增长供应依据.早在1798，英国经济家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：其中表示经过的时间，表示时的人口数，表示人口的年均增长率.下表是19501959年我国的人口数据资料：（单位：万人）年份19501951195219531954人数5519656300574825879660266年份19551956195719581959人数1）假如以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的详细人口增长模型，

19、并检验所得模型与实际人口数据是否相符；2）假如按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口将达到13亿？探究以下问题：1）本例中所涉及的数量有哪些？2）描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的，确定这种模型须要几个因素？3）依据表中数据如何确定函数模型？4）对于所确定的函数模型怎样进行检验，依据检验结果对函数模型又应做出如何评价？如何依据确定的函数模型详细预料我国某个时间的人口数，用的是何种计算方法？本例的题型是利用给定的指数函数模型解决实际问题的一类问题，引导学生相识到确定详细函数模型的关键是确定两个参数与.完成数学模型的确定之后，因为计算较繁，可以借助计算器.在验证问题中的数据与所确定的数

20、学模型是否吻合时，可引导学生利用计算器或计算机作出所确定函数的图象，并由表中数据作出散点图，通过比较来确定函数模型与人口数据的吻合程度，并使学生相识到表格也是描述函数关系的一种形式.引导学生明确利用指数函数模型对人口增长状况的预料，实质上是通过求一个对数值来确定的近似值.课堂练习：某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产品的月产量与月份的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数.已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.探究以下问题：1）本例给

21、出两种函数模型，如何依据已知数据确定它们？2）如何对所确定的函数模型进行评价？本例是不同函数的比较问题，要引导学生利用待定系数法确定详细的函数模型.引导学生相识到比较函数模型优劣的标准是4月份产量的吻合程度，这也是对函数模评价的依据.本例渗透了数学思想方法，要培育学生有意识地运用.三.归纳小结，发展思维.利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题的方法；1）依据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系；2）利用待定系数法，确定详细函数模型；3）对所确定的函数模型进行适当的评价；4）依据实际问题对模型进行适当的修正.从以上各例体会到：依据收集到的数据，作出散点图，然后通过视察图象

22、，推断问题适用的函数模型，借助计算器或计算机数据处理功能，利用待定系数法得出详细的函数解析式，再利用得到的函数模型解决相应的问题，这是函数应用的一个基本过程.图象、表格和解析式都可能是函数对应关系的表现形式.在实际应用时，常常须要将函数对应关系的一种形式向另一种转化.高一数学函数模型的应用实例45 3.2.2函数模型的应用实例（）一、三维目标1、学问与技能能够收集图表数据信息，建立拟合函数解决实际问题。2、过程与方法体验收集图表数据信息、拟合数据的过程与方法，体会函数拟合的思想方法。3、情感、看法、价值观深化体会数学模型在现实生产、生活及各个领域中的广泛应用及其重要价值。二、教学重点、难点：重

23、点：收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模解决实际问题。难点：对数据信息进行拟合，建立起函数模型，并进行模型修正。三、学学与教学用具1、学法：学生自查阅读教材，尝试实践，合作沟通，共同探究。2、教学用具：多媒体四、教学设想（一）创设情景，揭示课题2022年5月8日，西安交通高校医学院紧急启动“建立非典流行趋势预料与限制策略数学模型”探讨项目，马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供决策部门参考的应用软件。这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，结果指出，将患者刚好隔离对于抗击非典至关重要、分析报告说，就全国而论，菲非

24、典病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右，推迟两天约增加工实力100人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜藏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府示实行隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人。这项探讨在充分考虑传染病限制中心每日工资发布的数据，建立了非典流行趋势预料动力学模型和优化限制模型，并对非典将来的流行趋势做了分析预料。本例建立教学模型的过程，事实上就是对收集来的数据信息进行拟合，从而找到近似度比较高的拟合函数。（二）尝试实践探求新知例1某地区不同身高的未成年男性的体重平均值发下表（身高：cm；体重：kg）身高60708090100110体重6.13

25、7.909.9912.1515.0217.50身高120220140150160170体重20.9226.8631.1138.8547.2555.051）依据表中供应的数据，建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与身高ykg与身高xcm的函数模型的解析式。2）若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是事正常？探究以下问题：1）借助计算器或计算机，依据统计数据，画出它们相应的散点图；2）视察所作散点图，你认为它与以前所学过的何种函数的图象较为接近？3）你认为选择何种函数来描述这个地区

26、未成年男性体重与身高的函数关系比较合适？4）确定函数模型，并对所确定模型进行适当的检验和评价.5）怎样修正所确定的函数模型，使其拟合程度更好？本例给出了通过测量得到的统计数据表，要想由这些数据干脆发觉函数模型是困难的，要引导学生借助计算器或计算机画图，帮助推断.依据散点图，利用待定系数法确定几种可能的函数模型，然后进行优劣比较，选定拟合度较好的函数模型.在此基础上，引导学生对模型进行适当修正，并做出肯定的预料.此外，留意引导学生体会本例所用的数学思想方法.例2.将沸腾的水倒入一个杯中，然后测得不同时刻温度的数据如下表：时间（S）60120220240300温度（）86.8681.3776.44

27、66.1161.32时间（S）360420480540600温度（）53.0352.2049.9745.9642.36 1）描点画出水温随时间改变的图象；2）建立一个能基本反映该改变过程的水温（）关于时间的函数模型，并作出其图象，视察它与描点画出的图象的吻合程度如何.3）水杯所在的室内温度为18，依据所得的模型分析，至少经过几分钟水温才会降到室温？再经过几分钟会降到10？对此结果，你如何评价？本例意图是引导学生进一步体会，利用拟合函数解决实际问题的思想方法，可依按例1的过程，自主完成或合作沟通探讨.课堂练习：某地新建一个服装厂，从今年7月份起先投产，并且前4个月的产量分别为1万件、1.2万件、

28、1.3万件、1.37万件.由于产品质量好，服装款式新奇，因此前几个月的产品销售状况良好.为了在推销产品时，接收定单不至于过多或过少，须要估测以后几个月的产量，你能解决这一问题吗？探究过程如下：1）首先建立直角坐标系，画出散点图；2）依据散点图设想比较接近的可能的函数模型：一次函数模型：二次函数模型：幂函数模型：指数函数模型：（0，）利用待定系数法求出各解析式，并对各模型进行分析评价，选出合适的函数模型；由于尝试的过程计算量较多，可同桌两个同学分工合作，最终再一起探讨确定.（三）归纳小结，巩固提高.通过以上三题的练习，师生共同总结出了利用拟合函数解决实际问题的一般方法，指出函数是描述客观世界改变规律的重要数学模型，是解决实际问题的重要思想方法.利用函数思想解决实际问题的基本过程如下： 符合 实际 不符合实际 第20页 共20页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页