最优化方法(试题+答案).doc

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1、一、 填空题1.若，则 ， .2.设连续可微且，若向量满足 ，则它是在处的一个下降方向。3.向量关于3阶单位方阵的所有线性无关的共轭向量有 .4. 设二次可微，则在处的牛顿方向为 . 5.举出一个具有二次终止性的无约束二次规划算法： .6.以下约束优化问题：的K-K-T条件为： .7.以下约束优化问题：的外点罚函数为（取罚参数为） .二、 证明题（7分+8分）1.设和都是线性函数，证明下面的约束问题：是凸规划问题。2.设连续可微，考察如下的约束条件问题：设是问题的解，求证：是在处的一个可行方向。三、 计算题（每小题12分）1.取初始点.采用精确线性搜索的最速下降法求解下面的无约束优化问题（迭代

2、2步）：2.采用精确搜索的BFGS算法求解下面的无约束问题：3.用有效集法求解下面的二次规划问题：4.用可行方向算法（Zoutendijk算法或Frank Wolfe算法）求解下面的问题（初值设为,计算到即可)：参考答案一、填空题1. 2. 3. ，（答案不唯一）。4. 5. 牛顿法、修正牛顿法等（写出一个即可）6. 7. 二、证明题1.证明：要证凸规划，即要证明目标函数是凸函数且可行域是凸集。一方面，由于二次连续可微，正定，根据凸函数等价条件可知目标函数是凸函数。另一方面，约束条件均为线性函数，若任意可行域，则故，从而可行域是凸集。2.证明：要证是在处的一个可行方向，即证当，时，使得，当时，

3、故；当时，故.因此，是在处的一个可行方向。三、 计算题1.解：令 得；第一次迭代： ， ，令，求得；第二次迭代：，令，求得，故，由于，故为最优解。0122.解：取 第一步迭代：，令，求得；第二步迭代：，令，求得。故，由于，故为最优解。01/21223. 解：取初始可行点求解等式约束子问题 得解和相应的Lagrange乘子 转入第二次迭代。求解等式约束子问题 得解 令 转入第三次迭代。求解等式约束子问题 得解和相应的Lagrange乘子 由于，故得所求二次规划问题的最优解为 ，相应的Lagrange乘子为 4.解：计算梯度得当时，.是下面线性规划问题的解：解此线性规划（作图法）得，于是.由线性搜索得.因此，.重复以上计算过程得下表：0112