高二数学平面向量数量积的运算律25.docx

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1、高二数学平面向量数量积的运算律25平面对量的数量积及运算律（1） 平面对量的数量积及运算律（1）教学目的：1驾驭平面对量的数量积及其几何意义；2驾驭平面对量数量积的重要性质及运算律；3了解用平面对量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4驾驭向量垂直的条件教学重点：平面对量的数量积定义教学难点：平面对量数量积的定义及运算律的理解和平面对量数量积的应用授课类型：新授课课时支配：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节学习的关键是启发学生理解平面对量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面对量数量积的相识主要学问点：平面对量数量积的定义

2、及几何意义；平面对量数量积的5个重要性质；平面对量数量积的运算律教学过程：一、复习引入：1向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数，使=2平面对量基本定理：假如，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1，2使=1+23平面对量的坐标表示分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底任作一个向量，由平面对量基本定理知，有且只有一对实数、，使得把叫做向量的（直角）坐标，记作4平面对量的坐标运算若，则，若，则5()的充要条件是x1y2-x2y1=06线段的定比分点及P1,P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1,P2的任一点，存在实数，使

3、=，叫做点P分所成的比，有三种状况：0(内分)(外分)0(-1)(外分)0(-10) 7定比分点坐标公式：若点P(x1,y1)，(x2,y2)，为实数，且，则点P的坐标为（），我们称为点P分所成的比8点P的位置与的范围的关系：当时，与同向共线，这时称点P为的内分点当()时，与反向共线，这时称点P为的外分点9线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O，设，可得=10力做的功：W=|cos，是与的夹角二、讲解新课：1两个非零向量夹角的概念已知非零向量与，作，则（）叫与的夹角说明：（1）当时，与同向；（2）当时，与反向；（3）当时，与垂直，记；（4）留意在两向量的夹角定义，两向量必需是同起点

4、的范围01802平面对量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量|cos叫与的数量积，记作，即有=|cos，（）并规定与任何向量的数量积为0探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区分（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所确定（2）两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分符号“”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若，且=0，不能推出=因为其中cos有可能为0（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bca=c但

5、是=如右图：=|cos=|OA|，=|cos=|OA|=但(5)在实数中，有(aa)c=a(ac)，但是()()明显，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线3“投影”的概念：作图定义：|cos叫做向量在方向上的投影投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为|；当=180时投影为|4向量的数量积的几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影|os的乘积5两个向量的数量积的性质：设、为两个非零向量，是与同向的单位向量1=|cos2=03当与同向时，=|；当与反向时，=|特殊的=|2或4os=5|三、讲解范例：例1

6、推断正误，并简要说明理由；0；若，则对任一非零有；，则与中至少有一个为；对随意向量，都有（）（）；与是两个单位向量，则解：上述8个命题中只有正确；对于：两个向量的数量积是一个实数，应有；对于：应有；对于：由数量积定义有cos，这里是与的夹角，只有或时，才有；对于：若非零向量、垂直，有；对于：由可知可以都非零；对于：若与共线，记则（）（）（），（）（）（）（）若与不共线，则()（）评述：这一类型题，要求学生的确把握好数量积的定义、性质、运算律例2已知，当，与的夹角是60时，分别求解：当时，若与同向，则它们的夹角，cos036118；若与反向，则它们的夹角180，cos18036（-1）18；当时

7、，它们的夹角90，；当与的夹角是60时，有cos60369评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是0，180，因此，当时，有0或180两种可能四、课堂练习：五、小结通过本节学习，要求大家驾驭平面对量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记及备用资料：1概念辨析：正确理解向量夹角定义对于两向量夹角的定义，两向量的夹角指从同一点动身的两个向量所构成的较小的非负角，因对向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些易见的错误，如：1已知ABC中，求对此题，有同学求解如下：解：如图，cos58cos6020分析：上述解答，乍看正确，但事实

8、上的确有错误，缘由就在于没能正确理解向量夹角的定义，即上例中与两向量的起点并不同，因此，并不是它们的夹角，而正确的夹角应当是C的补角1202向量的数量积不满意结合律分析：若有（）（），设、夹角为，、夹角为，则()cos，()cos若，则，进而有：（）()这是一种特别情形，一般状况则不成立举反例如下：已知，与夹角是60，与夹角是45，则：()（cos60），()（cos45）而，故（）（） 平面对量的数量积及运算律（2）平面对量的数量积及运算律（2）教学目的：1驾驭平面对量数量积运算规律；2能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3驾驭两个向量共线、垂直的几何推断，会证明两向量垂

9、直，以及能解决一些简洁问题教学重点：平面对量数量积及运算规律教学难点：平面对量数量积的应用授课类型：新授课课时支配：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生留意数量积性质的相关问题的特点，以娴熟地应用数量积的性质?教学过程：一、复习引入：1两个非零向量夹角的概念已知非零向量与，作，则（）叫与的夹角2平面对量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量|cos叫与的数量积，记作，即有=|cos，（）并规定与任何向量的数量积为03“投影”的概念：作图定义：|cos叫做向量在方向上的投影投影也是一个数量，不是向

10、量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为|；当=180时投影为|4向量的数量积的几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影|cos的乘积5两个向量的数量积的性质：设、为两个非零向量，是与同向的单位向量1=|cos；2=03当与同向时，=|；当与反向时，=|特殊的=|2或4cos=；5|6推断下列各题正确与否：1若=，则对任一向量，有=0()2若，则对任一非零向量，有0()3若，=0，则=()4若=0，则、至少有一个为零()5若，=，则=()6若=，则=当且仅当时成立()7对随意向量、，有()()()8对随意向量，有2=|2()二、讲解新课：平面对量数量积

11、的运算律1交换律：=证：设，夹角为，则=|cos，=|cos=2数乘结合律：()=()=()证：若0，()=|cos，()=|cos，()=|cos，若0，()=|cos()=|(cos)=|cos，()=|cos，()=|cos()=|(cos)=|cos3安排律：(+)=c+在平面内取一点O，作=,=，=，+（即）在方向上的投影等于、在方向上的投影和，即|+|cos=|cos1+|cos2|+|cos=|cos1+|cos2(+)=+即：(+)=+说明：（1）一般地，()（）（2），（3）有如下常用性质：，（）（）()三、讲解范例：例1已知、都是非零向量，且+3与75垂直，4与72垂直，求

12、与的夹角解：由(+3)(75)=072+16152=0(4)(72)=07230+82=0两式相减：2=2代入或得：2=2设、的夹角为，则cos=60例2求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和解：如图：ABCD中，=|2=而=|2=|2+|2=2=例3四边形ABCD中，且，试问四边形ABCD是什么图形?分析：四边形的形态由边角关系确定，关键是由题设条件演化、推算该四边形的边角量解：四边形ABCD是矩形，这是因为：一方面：0，（），()（）即由于，同理有由可得，且即四边形ABCD两组对边分别相等四边形ABCD是平行四边形另一方面，由，有（），而由平行四边形ABCD可得，代入上式得(2

13、)即，也即ABBC综上所述，四边形ABCD是矩形评述：(1)在四边形中，是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即，应留意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系四、课堂练习：1下列叙述不正确的是（）A向量的数量积满意交换律?B向量的数量积满意安排律?C向量的数量积满意结合律?D是一个实数2已知|=6,|=4,与的夹角为，则(+2)(-3)等于（）A72B-72?C36?D-363|=3,|=4,向量+与-的位置关系为（）A平行B垂直?C夹角为?D不平行也不垂直4已知|=3,|=4,且与的夹角为150，则(+)5已知|=2,|=5,

14、=-3,则|+|=_,|-|=6设|=3,|=5,且+与垂直，则参考答案：1C2B3B4+256五、小结通过本节学习，要求大家驾驭平面对量数量积的运算规律，驾驭两个向量共线、垂直的几何推断，能利用数量积的5个重要性质解决相关问题六、课后作业1已知|=1,|=,且(-)与垂直，则与的夹角是（）?A60?B30?C135?D2已知|=2,|=1,与之间的夹角为，那么向量-4的模为（）?A2?B2?C6?D123已知、是非零向量，则|=|是(+)与(-)垂直的（）?A充分但不必要条件?B必要但不充分条件?C充要条件D既不充分也不必要条件4已知向量、的夹角为，|=2,|=1,则|+|-|=5已知+=2

15、-8,-=-8+16,其中、是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么=6已知、与、的夹角均为60，且|=1,|=2,|=3,则(+2-)_7已知|=1,|=,(1)若,求;(2)若、的夹角为，求|+|；?(3)若-与垂直，求与的夹角8设、是两个单位向量，其夹角为，求向量=2+与=2-3的夹角?9对于两个非零向量、，求使|+t|最小时的t值，并求此时与+t的夹角参考答案：1D2B3C45636117(1)-(2)(3)45?8120990?七、板书设计（略）八、课后记及备用资料：1常用数量积运算公式：在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛即()，（）

16、上述两公式以及()()这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以干脆应用2应用举例例1已知，求，解：（）（），（）（）222（3）35，例2已知8，10，16，求与的夹角(精确到)解：（）（）22，平面对量的数量积 课题:2.4平面对量的数量积（2）班级：姓名：学号：第学习小组【学习目标】1、驾驭平面对量数量积的坐标表示；2、驾驭向量垂直的坐标表示的等价条件。【课前预习】1、（1）已知向量和的夹角是，|=2，|=1，则(+)2=，|+|=。（2）已知：|=2，|=5，=3，则|+|=，|=。（3）已知|=1，|=2，且()与垂直，则与的夹角为2、设轴上的单位向量，轴上的单位向量，则=，=，=，

17、=，若=，=，则=+.=+。3、推导坐标公式：=。4、（1）=，则|=_；，则|=。（2）=；（3）；（4）/。5、已知=，=，则|=，|=，=，=；=。 【课堂研讨】例1、已知=，=，求(3)(2)，与的夹角。 例2、已知|=1，|=，+=，试求：（1）|（2）+与的夹角 例3、在中，设=，=，且是直角三角形，求的值。 【学后反思】1、平面对量数量积的概念及其几何意义；2、数量积的性质及其性质的简洁应用。 课题:2.4平面对量的数量积检测案（2）班级：姓名：学号：第学习小组【课堂检测】1、求下列各组中两个向量与的夹角：（1）=，=（2）=，=2、设，求证：是直角三角形。3、若=，=，当为何值

18、时：（1）（2）（3）与的夹角为锐角 【课后巩固】1、设，是随意的非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的有：()()=|()()不与垂直(3+4)(34)=9|216|2若为非零向量，=，且，则（）2、若=，=且与的夹角为钝角，则的取值范围是。3、已知=，则与垂直的单位向量的坐标为。4、已知若=，=，则+与垂直的条件是5、的三个顶点的坐标分别为，推断三角形的形态。 6、已知向量=，|=2，求满意下列条件的的坐标。（1）（2） 7、已知向量=，=。（1）求|+|和|；（2）为何值时，向量+与3垂直？（3）为何值时，向量+与3平行？ 8、已知向量，其中分别为直角坐标系内轴与轴正方向上的单位向量。

19、（1）若能构成三角形，求实数应满意的条件；（2）是直角三角形，求实数的值。 课题:2.4平面对量的数量积（2）班级：姓名：学号：第学习小组【学习目标】3、驾驭平面对量数量积的坐标表示；4、驾驭向量垂直的坐标表示的等价条件。【课前预习】1、（1）已知向量和的夹角是，|=2，|=1，则(+)2=，|+|=。（2）已知：|=2，|=5，=3，则|+|=，|=。（3）已知|=1，|=2，且()与垂直，则与的夹角为2、设轴上的单位向量，轴上的单位向量，则=，=，=，=，若=，=，则=+.=+。3、推导坐标公式：=。4、（1）=，则|=_；，则|=。（2）=；（3）；（4）/。5、已知=，=，则|=，|=

20、，=，=；=。 【课堂研讨】例1、已知=，=，求(3)(2)，与的夹角。 例2、已知|=1，|=，+=，试求：（1）|（2）+与的夹角 例3、在中，设=，=，且是直角三角形，求的值。 【学后反思】1、平面对量数量积的概念及其几何意义；2、数量积的性质及其性质的简洁应用。 课题:2.4平面对量的数量积检测案（2）班级：姓名：学号：第学习小组【课堂检测】1、求下列各组中两个向量与的夹角：（1）=，=（2）=，= 2、设，求证：是直角三角形。3、若=，=，当为何值时：（1）（2）（3）与的夹角为锐角 【课后巩固】1、设，是随意的非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的有：()()=|()()不与垂直

21、(3+4)(34)=9|216|2若为非零向量，=，且，则（）2、若=，=且与的夹角为钝角，则的取值范围是。3、已知=，则与垂直的单位向量的坐标为。4、已知若=，=，则+与垂直的条件是5、的三个顶点的坐标分别为，推断三角形的形态。 6、已知向量=，|=2，求满意下列条件的的坐标。（1）（2） 7、已知向量=，=。（1）求|+|和|；（2）为何值时，向量+与3垂直？（3）为何值时，向量+与3平行？ 8、已知向量，其中分别为直角坐标系内轴与轴正方向上的单位向量。（1）若能构成三角形，求实数应满意的条件；（2）是直角三角形，求实数的值。 平面对量的数量积学案 平面对量的数量积学案 教学目标：驾驭平面

22、对量数量积的概念、性质及简洁应用教学重点：平面对量数量积的概念、性质及应用教学难点：对平面对量数量积应用的精确把握教学过程：题型一：平面对量数量积的性质与运算【例题1】.关于平面对量，有下列5个命题：若，则非零向量和满意，则与的夹角为其中真命题的序号为（写出全部真命题的序号）【例题2】.(1)在RtABC中，C90，AC4，则ABAC_.(2)若向量(1,1)，(2,5)，(3，x)，满意条件(8)30，则x_. 题型二：向量的夹角与模【例题3】.已知|4，|3，(23)(2)61.(1)求与的夹角；(2)求|；(3)若AB，BC，求ABC的面积 变式训练1：已知是平面内两个相互垂直的单位向量

23、，若向量满意，则的最大值是 变式训练2：已知平面对量且。题型三：向量数量积的应用【例题4】.给定两个长度为1的平面对量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值为。 变式训练：已知 课堂练习：1、已知(2,3)，(4,7)，则在方向上的投影为_2、设x，yR，向量(x,1)，(1，y)，(2，4)，且，则|_.3、已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DECB的值为_DEDC的最大值为_4、在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则|PA|2|PB|2|PC|2_.5、在矩形ABCD中，AB2，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若ABAF2，则AEBF的值是_课堂小结： 第14页 共14页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页