九年级数学竞赛化归—解方程组的基本思想讲座.docx

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1、九年级数学竞赛化归解方程组的基本思想讲座九年级数学竞赛抛物线讲座 九年级数学竞赛抛物线讲座一般地说来，我们称函数(、为常数，)为的二次函数，其图象为一条抛物线，与抛物线相关的学问有：1、的符号确定抛物线的大致位置；2抛物线关于对称，抛物线开口方向、开口大小仅与相关，抛物线在顶点(，)处取得最值；3抛物线的解析式有下列三种形式：一般式：；顶点式：；交点式：，这里、是方程的两个实根确定抛物线的解析式一般要两个或三个独立条件，敏捷地选用不同方法求出抛物线的解析式是解与抛物线相关问题的关键注：对称是一种数学美，它展示出整体的和谐与平衡之美，抛物线是轴对称图形，解题中应主动捕获、创建对称关系，以便从整体

2、上把握问题，由抛物线捕获对称信息的方式有：(1)从抛物线上两点的纵坐标相等获得对称信息；(2)从抛物线的对称轴方程与抛物线被轴所截得的弦长获得对称信息【例题求解】【例1】二次函数的图象如图所示，则函数值时，对应的取值范围是思路点拨由图象知抛物线顶点坐标为(一1，一4)，可求出，值，先求出时，对应的值 【例2】已知抛物线(0)经过点(一1，0)，且满意以下结论：；其中正确的个数有()A1个B2个C3个D4个思路点拨由条件大致确定抛物线的位置，进而判定、的符号；由特别点的坐标得等式或不等式；运用根的判别式、根与系数的关系 【例3】如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN4分米，抛物线顶点处到边M

3、N的距离是4分米，要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在边MN上，A、D落在抛物线上，问这样截下的矩形铁皮的周长能否等于8分米?思路点拨恰当建立直角坐标系，易得出M、N及抛物线顶点坐标，从而求出抛物线的解析式，设A(，)，建立含的方程，矩形铁皮的周长能否等于8分米，取决于求出的值是否在已求得的抛物线解析式中自变量的取值范围内 注：把一个生产、生活中的实际问题转化，成数学问题，须要视察分析、建模，建立直角坐标系下的函数模型是解决实际问题的常用方法，同一问题有不同的建模方式，通过分析比较可获得简解【例4】二次函数的图象与轴交于A、两点(点A在点B左边)，与轴交于C点，且ACB90(1)

4、求这个二次函数的解析式；(2)设计两种方案：作一条与轴不重合，与ABC两边相交的直线，使截得的三角形与ABC相像，并且面积为BOC面积的，写出所截得的三角形三个顶点的坐标(注：设计的方案不必证明) 思路点拨(1)A、B、C三点坐标可用m的代数式表示，利用相像三角形性质建立含m的方程；(2)通过特别点，构造相像三角形基本图形，确定设计方案 注：解函数与几何结合的综合题，擅长求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互助，把证明与计算相结合是解题的关键【例5】已知函数，其中自变量为正整数，也是正整数，求何值时，函数值最小思路点拨将函数解析式通过变形得配方式，其对称轴为，因

5、，故函数的最小值只可能在取，时达到所以，解决本例的关键在于分类探讨 学历训练1如图，若抛物线与四条直线、所围成的正方形有公共点，则的取值范围是2抛物线与轴的正半轴交于A，B两点，与轴交于C点，且线段AB的长为1，ABC的面积为1，则的值为3如图，抛物线的对称轴是直线，它与轴交于A、B两点，与轴交于点C，点A、C的坐标分别为(-l，0)、(0，)，则(1)抛物线对应的函数解析式为；(2)若点P为此抛物线上位于轴上方的一个动点，则ABP面积的最大值为4已知二次函数的图象如图所示，且OAOC，则由抛物线的特征写出如下含有、三个字母的式子，0，其中正确结论的序号是(把你认为正确的都填上)5已知，点(，

6、)，(，)，(，)都在函数的图象上，则()ABCD 6把抛物线的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为，则有()A，B，C，c3D，7二次函数的图象如图所示，则点(，)所在的直角坐标系是()A第一象限B其次象限C第三象限D第四象限 8周长是4m的矩形，它的面积S(m2)与一边长(m)的函数图象大致是() 9阅读下面的文字后，回答问题：“已知：二次函数的图象经过点A(0，)，B(1，-2)，求证：这个二次函数图象的对称轴是直线题目中的横线部分是一段被墨水污染了无法分辨的文字(1)依据现有的信息，你能否求出题目中二次函数的解析式?若能，写出求解过程；若不能，说明理由(2)请你

7、依据已有信息，在原题中的横线上，填加一个适当的条件，把原题补充完整10如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路途是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后精确落入篮圈已知篮圈中心到地面的距离为3.05米(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式；(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少? 11如图，抛物线和直线()与轴、y轴都相交于A、B两点，已知抛物线的对称轴与轴相交于C点，且ABC90，求抛物线的解析式 12抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C，若ABC是直角三角形，则13如图，

8、已知直线与抛物线相交于A、B两点，O为坐标原点，那么OAB的面积等于14已知二次函数，一次函数若它们的图象对于随意的实数是都只有一个公共点，则二次函数的解析式为15如图，抛物线与两坐标轴的交点分别是A，B，E，且ABE是等腰直角三角形，AEBE，则下列关系式中不能总成立的是()Ab=0BSADCc2Cac一1Da+c016由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数的图象过点(1，0)求证：这个二次函数的图象关于直线对称依据现有信息，题中的二次函数不具有的性质是()A过点(3，0)B顶点是(2，一2)C在轴上截得的线段长为2D与轴的交点是(0，3)17已知A(x1，2022)，B(

9、x2，2022)是二次函数()的图象上两时，二次函数的值是()ABC2022D518某种产品的年产量不超过1000吨，该产品的年产量(单位：吨)与费用(单位：万元)之间函数的图象是顶点在原点的抛物线的一部分(如图1所示)；该产品的年销售量(单位：吨)与销售单价(单位：万元吨)之间函数的图象是线段(如图2所示)若生产出的产品都能在当年销售完，问年产量是多少吨时，所获毛利润最大?(毛利润销售额一费用)19如图，已知二次函数的图象与轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与轴交于点C，直线：xm(m1)与轴交于点D(1)求A、B、C三点的坐标；(2)在直线xm(m1)上有一点P(点P在第一象限)，使得

10、以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相像，求P点坐标(用含m的代数式表示)；(3)在(2)成立的条件下，试问：抛物线上是否存在一点Q，使得四边形ABPQ为平行四边形?假如存在这样的点Q，恳求出m的值；假如不存在，请简要说明理由 20已知二次函数及实数，求(1)函数在一2xa的最小值；(2)函数在axa+2的最小值21如图，在直角坐标：O中，二次函数图象的顶点坐标为C(4，)，且在轴上截得的线段AB的长为6(1)求二次函数的解析式；(2)在轴上求作一点P(不写作法)使PA+PC最小，并求P点坐标；(3)在轴的上方的抛物线上，是否存在点Q，使得以Q、A、B三点为顶点的三角形与AB

11、C相像?假如存在，求出Q点的坐标；假如不存在，请说明理由 22某校探讨性学习小组在探讨有关二次函数及其图象性质的问题时，发觉了两个重要结论一是发觉抛物线y=ax2+2x+3(a0)，当实数a改变时，它的顶点都在某条直线上；二是发觉当实数a改变时，若把抛物线y=ax2+2x+3的顶点的横坐标削减，纵坐标增加，得到A点的坐标；若把顶点的横坐标增加，纵坐标增加，得到B点的坐标，则A、B两点肯定仍在抛物线y=ax2+2x+3上(1)请你帮助探求出当实数a改变时，抛物线y=ax2+2x+3的顶点所在直线的解析式；(2)问题(1)中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗?并说明理由；(3)在他

12、们其次个发觉的启发下，运用“一般特别一般”的思想，你还能发觉什么?你能用数学语言将你的猜想表述出来吗?你的猜想能成立吗?若能成立请说明理由 参考答案 九年级数学竞赛坐标平面上的直线讲座 一般地，若(，是常数，)，则叫做的一次函数，它的图象是一条直线，函数解析式6中的系数符号，确定图象的大致位置及单调性(随的改变状况)如图所示： 一次函数、二元一次方程、直线有着深刻的联系，随意一个一次函数都可看作是关于、的一个二元一次方程；随意一个关于、的二元一次方程，可化为形如()的函数形式坐标平面上的直线可以表示一次函数与二元一次方程，而利用方程和函数的思想可以探讨直线位置关系，求坐标平面上的直线交点坐标转

13、化为解由函数解析式联立的方程组 【例题求解】 【例1】如图，在直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A(3，0)、B(2，7)，P为线段OC上一点，若过B、P两点的直线为，过A、P两点的直线为，且BPAP，则= 思路点拨解题的关键是求出P点坐标，只需运用几何学问建立OP的等式即可 【例2】设直线(为自然数)与两坐标轴围成的三角形面积为(1，2，2000)，则S1+S2+S2000的值为() A1BCD 思路点拨求出直线与轴、轴交点坐标，从一般形式入手，把用含的代数式表示 【例3】某空军加油飞机接到吩咐，马上给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q1吨，加油飞

14、机的加油油箱余油量为Q2吨，加油时间为分钟，Q1、Q2与之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题： (1)加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油?将这些油全部加给运输飞机需多少分钟? (2)求加油过程中，运输飞机的余油量Q1(吨)与时间(分钟)的函数关系式； (3)运输飞机加完油后，以原速接着飞行，需10小时到达目的地，油料是否够用?说明理由 思路点拨对于(3)，解题的关键是先求出运输飞机每小时耗油量 注：（1）当自变量受限制时，一次函数图象可能是射线、线段、折线或点，一次函数当自变量取值受限制时，存在最大值与最小值，依据图象求最值直观明白 （2）当一次函数图象与两坐标轴有交点时，就与直角三角

15、形联系在一起，求两交点坐标并能发掘隐含条件是解相关综合题的基础 【例4】如图，直线与轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角ABC，BAC90，假如在其次象限内有一点P(，)，且ABP的面积与AABC的面积相等，求的值 思路点拨利用SABPSABC建立含的方程，解题的关键是把SABP表示成有边落在坐标轴上的三角形面积和、差 注：解函数图象与面积结合的问题，关键是把相关三角形用边落在坐标轴的其他三角形面积来表示，这样面积与坐标就建立了联系 【例5】在直角坐标系中，有以A(一1，一1)，B(1，一1)，C(1，1)，D(一1，1)为顶点的正方形，设它在折线上侧部分的面积为

16、S，试求S关于的函数关系式，并画出它们的图象 思路点拨先画出符合题意的图形，然后对不确定折线及其中的字母的取值范围进行分类探讨，的取值确定了正方形在折线上侧部分的图形的形态 注：我们把有自变量或关于自变量的代数式包含在肯定值符号在内的一类函数称为肯定值函数去掉肯定值符号，把肯定值函数化为分段函数，这是解肯定值的一般思路 学历训练 1一次函数的自变量的取值范围是-36，相应函数值的取值范围是-5-2，则这个函数的解析式为 2已知，且，则关于自变量的一次函数的图象肯定经过第象限 3一家小型放影厅的盈利额(元)与售票数之间的关系如图所示，其中超过150人时，要缴纳公安消防保险费50元试依据关系图回答

17、下列问题： (1)当售票数满意0150时，盈利额(元)与之间的函数关系式是 (2)当售票数满意150x200时，盈利额(元)与之间的函数关系式是 (3)当售票数为时，不赔不赚；当售票数满意时，放影厅要赔本；若放影厅要获得最大利润200元，此时售票数应为 (4)当售票数满意时，此时利润比150时多 4如图，在平行四边形ABCD中，AC4，BD6，P是BD上的任一点，过P作EFAC，与平行四边形的两条边分别交于点E，F，设BP=，EF=，则能反映与之间关系的图象是() 5下列图象中，不行能是关于的一次函数的图象是() 6小李以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场去销售，在销售了部分

18、西瓜之后，余下的每千克降价0.4元，全部售完销售金额与卖瓜的千克数之间关系如图所示，那么小李赚了() A32元B36元C38元D44元 7某医药探讨所开发了一种新药，在试验药效时发觉，假如成人按规定剂量服用，那么服药后2小时时血液中含药量最高，达每毫升6微克(1微克10-3毫克)，接着逐步衰减，10小时时血液中含药量为每毫升3微克，每毫升血液中含药量(微克)随时间(小时)的改变如图所示，当成人按规定剂量服用后 (1)分别求出2和2时与之间的函数关系式； (2)假如每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多长? 8如图，正方形ABCD的边长是4，将此正方形

19、置于平面直角坐标系O中，使AB在轴的正半轴上，A点的坐标是(1，0) (1)经过C点的直线与轴交于点E，求四边形AECD的面积； (2)若直线经过点E且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线的方程，并在坐标系中画出直线(2022年湖北省荆州市中考题) 9如图，已知点A与B的坐标分别为(4，0)，(0，2) (1)求直线AB的解析式 (2)过点C(2，0)的直线(与轴不重合)与AOB的另一边相交于点P，若截得的三角形与AOB相像，求点P的坐标 10如图，直线与轴、y轴分别交于P、Q两点，把POQ沿PQ翻折，点O落在R处，则点R的坐标是 11在直角坐标系O中，轴上的动点M（，0）到定点P(5

20、，5)、Q(2，1)的距离分别为MP和MQ，那么，当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标为 12如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为(15，6)，直线恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，那么b 13假如条直线经过不同的三点A(a，b)，B(b，a)，C(a-b，b-a)，那么，直线经过()象限 A二、四B、三C二、三、四D一、三、四 14一个一次函数的图象与直线平行，与轴、轴的交点分别为A、B，并且过点(一l，25)，则在线段AB(包括端点A、B)上，横、纵坐标都是整数的的点有（） A4个B5个C6个D7个 15点A(一4，0)，B(2，0)是坐标平面上两定点，C是的图象上的动

21、点，则满意上述条件的直角ABC可以画出() A1个B2个C3个D4个 16有个附有进、出水管的容器，每单位时间进、出的水量都是肯定的，设从某时刻起先5分钟内只进不出水，在随后的15分钟内既进水又出水，得到时间(分)与水量(升)之间的关系如下图若20分钟后只出水不进水，求这时(即20)y与之间的函数关系式 17如图，AOB为正三角形，点B坐标为(2，0)，过点C(一2，0)作直线交AO于D，交AB于E，且使ADE和DCO的面积相等，求直线的函数解析式 18在直角坐标系中，有四个点A(一8，3)，B(一4，5)，C(0，)，D(，0)，当四边形ABCD的周长最短时，求的值 19转炉炼钢产生的棕红色

22、烟尘会污染大气，某装置可通过回收棕红色烟尘中的氧化铁从而降低污染，该装置的氧化铁回收率与其通过的电流有关现经过试验得到下列数据： 通过电流强度（单位A）11.71.92.12.4 氧化铁回收率（%）7579888778 如图建立直角坐标系，用横坐标表示通过的电流强度，纵坐标表示氧化铁回收率 （1）将试验所得数据在右图所给的直角坐标系中用点表示（注：该图中坐标轴的交点代表点（1，70）； （2）用线段将题（1）所画的点从左到右顺次连接，若用此图象来模拟氧化铁回收率y关于通过电流x的函数关系，试写出该函数在1.7x2.4时的表达式； （3）利用题（2）所得函数关系，求氧化铁回收率大于85%时，该装

23、置通过的电流应当限制的范围（精确到0.1A） 20如图，直线OC、BC的函数关系式分别为和，动点P(x，0)在OB上移动(03)，过点P作直线与轴垂直 (1)求点C的坐标； (2)设OBC中位于直线左侧部分的面积为S，写出S与之间的函数关系式； (3)在直角坐标系中画出(2)中的函数的图象； (4)当为何值时，直线平分OBC的面积? 参考答案 九年级数学竞赛走进追问求根公式讲座 形如（）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法求根公式内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎

24、样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，干脆求解可能给解题带来很多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法【例题求解】【例1】满意的整数n有个 思路点拨从指数运算律、1的特征人手，将问题转化为解方程 【例2】设、是二次方程的两个根，那么的值等于（）A一4B8C6D0思路点拨求出、的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如， 【例3】解关于的方程思路点拨因不知晓

25、原方程的类型，故需分及两种状况探讨 【例4】设方程，求满意该方程的全部根之和思路点拨通过探讨，脱去肯定值符号，把肯定值方程转化为一般的一元二次方程求解 【例5】已知实数、互不相等，且，试求的值思路点拨运用连等式，通过迭代把、用的代数式表示，由解方程求得的值 注：一元二次方程常见的变形形式有：(1)把方程（）干脆作零值多项式代换；(2)把方程（）变形为，代换后降次；(3)把方程（）变形为或，代换后使之转化关系或整体地消去解合字母系数方程时，在未指明方程类型时，应分及两种状况探讨；解肯定值方程需脱去肯定值符号，并用到肯定值一些性质，如 学历训练1已知、是实数，且，那么关于的方程的根为2已知，那么代

26、数式的值是 3若，则的值为 4若两个方程和只有一个公共根，则()ABCD5当分式有意义时，的取值范围是()ABCD且6方程的实根的个数是()A0B1C2D37解下列关于的方程：(1)；(2)；(3)8已知，求代数式的值 9是否存在某个实数m，使得方程和有且只有一个公共的实根?假如存在，求出这个实数m及两方程的公共实根；假如不存在，请说明理由注：解公共根问题的基本策略是：当方程的根有简洁形式表示时，利用公共根相等求解，当方程的根不便于求出时，可设出公共根，设而不求，通过消去二次项找寻解题突破口10若，则11已知、是有理数，方程有一个根是，则的值为12已知是方程的一个正根。则代数式的值为13对于方程，假如方程实根的个数恰为3个，则m值等于()A1n2CD2514自然数满意，这样的的个数是()A2B1C3D415已知、都是负实数，且，那么的值是()ABCD16已知，求的值20如图，锐角ABC中，PQRS是ABC的内接矩形，且SABC=S矩形PQRS，其中为不小于3的自然数求证：需为无理数 参考答案 第16页 共16页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页