八年级上册《勾股定理》学案冀教版.docx

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1、八年级上册勾股定理学案冀教版八年级数学下册勾股定理的逆定理学案 八年级数学下册勾股定理的逆定理学案 教学目标:学问技能：1、理解勾股定理的逆定理的证明方法并能证明勾股定理的逆定理。2、驾驭勾股定理的逆定理，并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形过程与方法：1、通过对勾股定理的逆定理的探究，经验学问的发生、发展与形成的过程2、通过用三角形三边的数量关系来推断三角形的形态，体验数与形结合方法的应用3、通过勾股定理的逆定理的证明，体会数与形结合方法在问题决中的作用，并能运用勾股定理的逆定理解决相关问题。情感看法：1、通过用三角形三边的数量关系来推断三角形的形态，体验数与形的内在联系。

2、2、在探究勾股定理的逆定理的活动中，通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人沟通、合作的意识和探究精神重点：理解并驾驭勾股定理的逆定理，并会应用。难点：理解勾股定理的逆定理的推导证明。(一)、创设情景，设疑引新。1.多媒体：展示图片：古埃及底比斯壁画:许多几何学问源自古埃及人的劳作，他们只用一根绳子就能确定直角2.展示图片：古埃及人制作直角的方法3.让学生由设置的情境说出心中的疑问.4.引入新课.（二）、探究学习，解决问题。探究问题一：如何确定古埃及人所围成的三角形是直角三角形？1、学生自我展示解决问题的方法2、小组合作沟通解决问题的方法3、老师点拨，总结升华探究问题二：满意什么条件的线段才能围

3、成一个直角三角形？1、学生自我展示解决问题的方法2、小组合作沟通解决问题的方法3、老师点拨，总结升华4、老师引导学生发觉新问题探究问题三：随意三条线段，满意其中两个线段的平方和等于第三条线段的平方，那么这三个线段就能围成直角三角形呢？1、命题与逆命题的学习（1）老师引导学生画出几何图形，用几何语言写出学生的猜想命题1。（2）展示命题2（3）提出问题：让学生找出命题1与命题2有何关系（4）命题与逆命题的定义（5）应用：写出命题的逆命题并推断两者是否是真命题。2、探究：如何证明命题1是正确的（1）、学生自我展示解决问题的方法（2）、小组合作沟通解决问题的方法（3）、老师点拨，总结升华（三）、归纳总

4、结，提升认知1、总结勾股定理的逆定理2、学习定理与逆定理的定义（四）、新知应用，实力提升例1设三角形三边长分别为下列各组数，试推断各三角形是否是直角三角形。（1）7，24，25；（2）12，35，37；（3）13，11，9。练习1、如图所示的三角形中，哪些是直角三角形，哪些不是，说说你的理由。解:设每个小正方形的边长为1个单位,则在图中的三角形中,可由勾股定理求在其三边所在的个点直角三角形中求出其三边分别为1,3,2。因为这三个边满意a2+b2=c2，依据勾股定理的逆定理所以这个三角形为直角三角形练习2、已知：如图，四边形ABCD中，B90，AB3，BC4，CD12，AD13,求四边形ABCD

5、的面积?（五）课堂小结本节课我学习了：1、_的推理与论证，知道了勾股定理的逆定理是推断一个三角形是否是_的一个常用的方法。2、还学习了定理与逆定理，能依据一个命题写出它的逆命题，并能推断它们是否是_定理。3、学会运用_计算和证明。并了解了一个重要思想_思想。（六）课外拓展：图片展示：1、以x、y、z为三边长的三角形是直角三角形(z最长）x2+y2=z2（x、y、z为正数）想一想：关于x、y、z的方程x2+y2=z2有没有正数解？古希腊数学家丢番图在算术中指出：关于x、y、z的方程x2+y2=z2有多数组正数解。2、邮票上的费马与费马大定理（教材35页）(七)作业布置教材33页练习 八年级数学勾

6、股定理 北师大版八年级数学（上）第一章勾股定理教学分析与建议一、主要内容勾股定理在数学的发展历史上起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。它的发觉、证明和应用都蕴涵着丰富的数学的、文化的内涵。它是几何学中的重要的定理之一。教材为学生设计了自主探究勾股定理内容以及验证它的素材和空间，教学中要使学生经验视察、归纳、猜想和验证的数学发觉过程教材的设计过程中，希望学生能够利用方格纸探究勾股定理内容，并且能利用拼图验证勾股定理，再次就是通过测量获得勾股定理的逆定理教材供应了较为丰富的历史的或现实的例子，以展示勾股定理及其逆定理的应用，体现其文化价值。当然限于学生的已有学问，问题解决中所涉及的数据均

7、为完全平方数，本章更多的关注学生对勾股定理及其逆定理的理解和应用，不追求困难计算。二，评价建议1，关注对探究勾股定理等活动的评价。一方面要关注学生是否主动参加，是否能与同伴进行有效合作沟通；另一方面也要关注学生在活动中能否进行主动的思索，能否探究出解决问题的方法，是否能够进行主动的思索，在活动中学生所表现出的归纳，概括实力，学生是否能够有条理地表达活动过程和所获得的结论等。2，关注考查对勾股定理及其逆定理的理解和应用。留意评价时，不应以困难运算为主，我们应更另关注学生对有关结论的正确运用。三、教学目标l经验探究勾股定理及一个三角形是直角三角形的条件的过程，发展合情推理实力，体会数形结合的思想2

8、驾驭勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法，并能运用勾股定理解决一些实际问题。3驾驭推断一个三角形是直角三角形的条件，并能运用它解决一些实际问题。4通过实例了解勾股定理的历史和应用，体会勾股定理的文化价值。 四、教材特点勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。勾股定理的发觉、验证和应用蕴涵着丰富的文化价值。勾股定理从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征，通过对勾股定理的学习，学生将在原有的基础上对直角三角形有进一步的相识和理解。为了使学生能更好地相识勾股定理、发展推理实力，教科书设计了在方格纸上通过计算面积的方法

9、探究勾股定理的活动，同时又支配了用拼图的方法验证勾股定理的内容，试图让学生经验视察、归纳、猜想和验证的数学发觉的过程，同时也渗透了代数运算与几何图形之间的关系（如将a2,b2,c2与正方形的面积联系起来，再由比较同一正方形面积的几种不同的代数表示得到勾股定理）。勾股定理的逆定理也有着重要的地位，但在本章中不要求学生从逻辑上对定理与逆定理进行一般的相识，因此，教科书中没有给出勾股定理逆定理的名称，而是称之为直角三角形的判别条件。教科书以历史上古埃及人作直角的方法引人“三角形的三边长假如满意a2+b2=c2是否能得到一个直角三角形”的问题，然后通过让学生按已知数据作出三角形，并测量三角形三个内角的

10、度数来获得一个三角形是直角三角形的有关边的条件。为了让学生更好地体会勾股定理及逆定理在解决实际问题中的作用，教科书供应了较为丰富的历史的或现实的例子来展示它们的应用，体现了它们的文化价值。限于学生已有的学问，有关应用中涉及的数均为完全平方数，本章更多关注的是对勾股定理的理解和实际应用，而不追求计算上的困难。在学生学习了无理数之后，可以再利用勾股定理解决一些涉及无理数运算的实际问题。五、课时支配建议1探究勾股定理2课时2能得到直角三角形吗1课时3蚂蚁怎样走最近1课时六、详细内容分析1、探究勾股定理（第一课时）本节核心内容：勾股定理及它的探究过程在教学中，我们可以通过介绍我国数学家华罗庚的建议向宇

11、宙放射勾股定理的图形与外星人联系，并说明勾股定理是我国古代数学家于2000年前就发觉了的，激发学生对勾股定理的爱好和骄傲感，引入课题其中课本中的，做一做”采纳的是数方格的方法；“议一议”对归纳基础的加强；“想一想”是一个好玩的实际问题；教科书设计了在方格纸上通过计算面积的方法探究勾股定理的活动，老师应激励学生充分经验这一视察、归纳、猜想的过程！激励学生尝试求出方格中三个正方形的面积，比较这三个正方形的面积，由此得到直角三角形三边的关系，通过对几个特别例子的考察归纳出直角三角形三边之间的一般规律，运用自己的语言表达探究过程和所得结论当然教学时，老师也可以依据学生的实际状况，设计其他的探究情景。勾

12、股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，是直角三角形的一个重要性质如有条件，还可以利用计算机（几何画板软件动态显示）的优越条件，供应足够充分的典型材料形态大小、位置发生改变的各种直角三角形，让学生视察分析，归纳概括，探究出直角三角形三边之间的关系式，并通过与锐角、钝角三角形的对比，强调直角三角形的这个特有性质，启发学生独立分析问题、发觉问题、总结规律的教学方法教学中要留意：a，多实行小组合作探讨的方式b,给学生留下充分的探究实践的时间和空间c,介绍相关的背景材料 2，探究勾股定理（其次课时）本节核心内容：用拼图来验证勾股定理及其一个简洁运用。在勾股定理的探究和验证过程中，数形结合的思想有较多

13、的体现老师在教学中应留意渗透这种思想，激励学生从代数表示联想到有关的几何图形，由几何图形联想到有关的代数表示，这有助于学生相识数学的内在联系。例如，在探究勾股定理的过程中，老师应引导学生由正方形的面积想到a2,b2,c2，而在勾股定理的验证过程中，老师又应引导学生由数“a2+b2=c2想到正方形的面积。”在教学中，“议一议”使学生进一步体会直角三角形三边的关系，要给学生充分的探讨空间。勾股定理的发觉、验证及应用的过程蕴涵了丰富的文化价值，古代许多国家和民族都对勾股定理有不同程度的相识和了解，我国是最早了解勾股定理的国家之一当考虑等腰直角三角形的斜边时，这肯定理又导致了无理数的产生一数学历史上的

14、第一次数学危机。老师应激励每一个学生阅读教科书供应的勾股定理的历史，并可以向学生再展示一些历史资料。老师还可以引导学生自己从书籍、网络上查阅资料，了解更多的有关勾股定理的内容，体会它的文化价值 3，能得到直角三角形吗本节的核心内容是：驾驭直角三角形的判别条件。课本创设了古埃及人利用结绳的方法作出直角，老师还可以创设其他现实情境或激励学生自己找寻有关问题，进一步呈现勾股定理和逆定理在解决问题中的作用，相识现实世界中蕴涵着丰富的数学信息。在教学中，“做一做”是用计算、画图再测量的方法归纳出勾股定理的逆定理。归纳的基础应尽可能的厚实一些，但此处有肯定的作图困难。老师可对其正确性予以说明。还要让学生熟

15、识一些常用的勾股数。3，蚂蚁怎样走最近本节的核心内容是：勾股定理及其判别条件的简洁运用。这一节内容，可以让学生先自主探究，再引导其考虑侧面绽开图来解决问题，培育空间观念。本节课要以老师为主导，以学生为主体，以学问为载体，以培育学生的思维实力，动手实力，探究实力为重点的教学思想。在课堂教学中，尽量为学生供应“做中学”的空间，小组合作，探究沟通得到了真正体现。数学源于生活，并运用于生活是整节课的一条暗线贯穿其中。这节课的目标详细的可以分为：1、初步运用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）解决简洁的实际问题。2、能在实际问题中构造直角三角形，提高建模实力，进一步深化对构造法和代数计算

16、法和理解。3、在解决实际问题的过程中，体验空间图形绽开成平面图形时，对应的点，线的位置关系，从中培育空间观念。4、在解决实际问题的过程中，进一步培育从“形”到“数”和从“数”到“形”的转化，培育学生的转化、推理实力。5、通过探讨勾股定理的历史，了解中华民族文化的发展对数学发展的贡献，激发学生的爱国热忱和学习数学的爱好。总之，我们要培育学生从空间到平面的想象实力，运用数学方法解决实际问题的创新实力及探究意识。 课题学习拼图与勾股定理一，教学建议l本课题具有肯定的挑战性，学生可以采纳小组合作的方式进行探讨。在小组活动中，老师应供应给学生充分实践、探究和沟通的时间，激励他们主动思索解决问题的方法，并

17、与他人进行合作与沟通。老师应深化到各小组中倾听学生们的探讨，了解他们的思索过程并赐予肯定的指导在小组活动的基础上，老师要组织各小组在全班充分沟通自己的成果。2教科书只是供应了该课题探讨的基本线索，老师可以依据学生的特点自己设置若干小课题，以保证全部的人都能参加本课题的探讨但由于课题学习的主要目标是培育学生综合运用所学学问和方法解决挑战性问题的实力，不宜将课题分解成一个一个的小问题，限制学生的思维二，评价建议1由于课题学习更关注解决问题的过程，所以老师在评价时应首先关注学生在小组活动中的表现。对此的评价主要包括两个方面一是学生参加活动的主动程度，包括是否主动思索，探究解决问题的方法；是否乐于与小

18、组其他成员进行合作，情愿与同伴沟通各自的想法；是否有解决问题的自信念，能够不回避遇到的困难等。二是学生在活动中所表现出来的思索水平，包括是否能够通过动手操作和独立思索获得解决问题的思路；能否找到有效解决问题的方法，尝试从不同的角度去思索问题；是否理解他人的思路，并在与同伴沟通中获益；是否有反思自己思索过程的意识等，即要对学生的动手操作实力、推理实力、空间观念、口头表达实力等作出综合的评价2老师要留意视察学生的活动过程，特殊是刚好记录学生独特的解决问题的想法。老师要留意了解学生的差异（思维特征与活动水平），学生只要能主动投人到活动中都要赐予激励，同时促进每一个学生得到不同的发展。 三，教学目标：

19、1，经验综合运用已有学问解决问题的过程，在此过程中，加深对勾股定理、整式运算、面积等的相识。2经验用不同的拼图方法验证勾股定理的过程！体验解决同一问题方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值。3，通过验证过程中数与形的结合，体会数形结合的思想以及数学学问之间的内在联系。4通过丰富好玩的拼图活动，经验视察、比较、拼图、计算，推理、沟通等过程，发展空间观念和有条理地思索与表达的实力，获得一些探讨问题与合作沟通的方法与阅历。5通过获得胜利的体验和克服困难的经验，增进数学学习的信念。四，教材特点勾股定理是数学中一个特别重要的定理。长期以来，人们对它进行了大量的探讨，找到了很多不同的验证方法。这些方法

20、不仅验证了勾股定理，而且丰富了探讨问题的手段，促进了数学的发展。本课学习给出了中国古代历史上利用拼图的方法对勾股定理进行验证的几种思路，也介绍了国外一些验证勾股定理的方法。在本课题中，设计了丰富的拼图活动！学生经过自己的操作与思索，一方面经验了验证勾股定理的过程，感受了解决同一问题的不同方法，激发了数学学习的爱好，积累了数学活动阅历；另一方面通过对中外多种方法的了解，开阔了视野，感受到了古代人民的聪慧才智。课题学习中给出的验证方法，虽然都与图形的拼摆、分割有关，但又各有特点第一部分的拼图方法与第一章第一节中验证方法有共同之处，都是将数与形联系起来，由所拼图形的面积表达式之间的关系，通过代数恒等

21、变形验证勾股定理。其次部分介绍的是“青朱出人图”，它是我国古代数学家利用拼图来验证勾股定理的一种闻名方法，这种方法是利用拼图来说明以勾、股为边长的正方形（分别称为朱和青），经过割补可以拼成以弦为边长的正方形在这部分的学习中，主要以学生的实践活动为主。第三部分介绍了意大利闻名画家达芬奇对勾股定理的一种探讨结果，他的方法新奇，具有肯定的操作性，可以开阔学生的视野、丰富学生的想像。 五，课时支配建议2课时 六，教学建议本节课的核心内容是：用多种拼图方法来验证勾股定理的过程。第一课时可以完成议一议。在教学中，老师可以首先回顾第一章中进行过的验证勾股定理的过程，指明本课题学习的目的，激发学生的探究欲望。

22、课题提出后，老师可以不立刻进入到下一环节，而是让学生先独立思索和探讨一段时间在学生思维遇到困难而又迫切希望行到帮助的时候，自然引入下一环节。在做议一议的时候，老师应当先让学生视察图1，让学生感知由数到形的过程。然后激励学生用同样的思路摆出不同的图形，并让学生得到充分的实践。最终让胜利者上来演示，强化他的胜利的感觉，激发其他同学渴求胜利的欲望。完成做一做，在做一做中，必需要让学生先回家打算好两副五巧板，在做五巧板的时候本节课的核心内容：利用五巧板来验证勾股定理。其次课时，完成青朱出入图的探讨与想一想。经过上一节课五巧板的拼图，学生已有一点的阅历。老师现在展示“青朱出入图”学生会感觉到亲切。并让学

23、生依据拼图帮助理解“青朱出入图”意思。学生理解后拼出展示过的“青朱出入图”，学生通过拼图，从而抓住拼图的要点，即用已有的两副“五巧板”拼成分别“长”在直角三角形三边上的三个正方形。留意，教学中，要给学生留有充分的时间和空间来拼摆图形，引导要适度，不要限制学生的思维。同时激励学生在拼图的过程中进行沟通合作。整个教学过程中，老师要留意引导学生刚好反思自己的活动过程以及在小组活动中的表现，积累数学活动与合作沟通的阅历。 素材精选：1.如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点

24、最短路程是_. 2.印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学学问回答这个问题。 3如图，A、B是笔直马路l同侧的两个村庄，且两个村庄到直路的距离分别是300m和500m，两村庄之间的距离为d(已知d2=400000m2)，现要在马路上建一汽车停靠站，使两村到停靠站的距离之和最小。问最小是多少？ 4图，OAB=OBC=OCD=90，AB=BC=CD=1，OA=2，则OD2=_. 5寒冷的冬天，你须要一杯热热的朱古力。可是在调制的

25、过程中，老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌究竟部的饮料。已知圆柱形水杯的底面直径为5cm，高为12cm，你能帮老师计算一下搅拌棒至少要多长吗？老师新买的一根长为24cm的搅拌棒，假如设其露在杯子外面的长为hcm，你能求出h的取值范围吗？处理方式：1）分小组活动，动手试验。2）画图，并计算。 6如图是棱长为4cm的立方体木块，一只蚂蚁现在A点，若在B点处有一块糖，它想尽快吃到这块糖，则蚂蚁沿正方体表面爬行的最短路程是cm； 7如图，一块草坪的形态为四边形ABCD，其中B=90，AB=3m，BC=4m，CD=12m，AD=13m，求这块草坪的面积。 八年级下册勾股定理的应用导学案

26、 八年级下册勾股定理的应用导学案 教学目标1能运用勾股定理进行简洁的计算及说明生活中的实际问题.2通过从实际问题中抽象出直角三角形的过程，初步感受转化和数形结合的思想方法.3.体会数学来源于生活,又应用于生活中,体会胜利的喜悦,提高学习数学的爱好和信念.教学重点应用勾股定理解决实际生活中的问题.教学难点把实际问题转化成勾股定理的几何模型.教学过程一、复习旧知，引入课题勾股定理的内容是什么？二、思索探究，获得新知17.1.2wbr勾股定理的应用(郑wbr茹)AC大于木板的宽2.2m，所以木板能斜着通过门框.【教学说明】老师提出问题后，可设置以下几个问题帮助学生分析：木板能横着通过门框吗？竖着呢？

27、为什么？假如将木板斜着拿，是否有可能通过门框？此时，要使木板能通过，则需比较哪些数据的大小？你是怎样想的？让学生在相互沟通过程中获得解题思路，初步感受利用勾股定理解决生活实际问题的思想方法.探究2如图，一个3m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙OA上，这时AO的距离为2.5m.假如梯子的顶端A沿墙壁下滑0.5m，那么梯子底端B也向外滑行了0.5m吗？说说你的理由.17.1.2wbr勾股定理的应用(郑wbr茹)【教学说明】本例在老师分析后，可由学生自主完成，让学生感受将实际问题转化为求直角三角形边长的问题，培育学生的数学应用意识.老师巡察，关注学生能否精确理解题意，将实际问题转化为数学问题，关注学生

28、的语言表达实力，对有困难学生赐予帮助.三、运用新知，深化理解1.有一个边长为50dm的正方形洞口，想用一个圆盖住这个洞口，圆的直径至少是多长？（结果保留整数）2.如图，池塘边有两点A，B，点C是与AB成直角的AC方向上一点，测得CA=20m，CB=60m，试求出A、B两点间的距离.17.1.2wbr勾股定理的应用(郑wbr茹) 3.阿满想知道学校旗杆的高，他发觉旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发觉下端刚好接触地面，你能帮他算出来旗杆的高度吗？17.1.2wbr勾股定理的应用(郑wbr茹)【教学说明】让学生相互沟通，共同探讨，获得结果.第1题建议用图形来帮助解决问题.老师巡察，适时点拨，确定他们的成果，指出存在的问题，让学生真正领悟和驾驭本节学问.四、师生互动，课堂小结运用勾股定理解决实际应用问题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，谈谈你的体会.课后作业1.布置作业：习题17.1第4、5题2.完成果优学案中本课时练习. 第16页 共16页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页