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1、如有侵权,请联系网站删除,仅供学习与交流高考数学压轴大题-解析几何【精品文档】第 9 页高考数学压轴大题-解析几何1. 设双曲线C:相交于两个不同的点A、B.(I)求双曲线C的离心率e的取值范围:(II)设直线l与y轴的交点为P,且求a的值.解:(I)由C与t相交于两个不同的点,故知方程组有两个不同的实数解.消去y并整理得 (1a2)x2+2a2x2a2=0. 双曲线的离心率(II)设由于x1+x2都是方程的根,且1a20,2. 已知为椭圆C的两焦点,P为C上任意一点,且向量的夹角余弦的最小值为. ()求椭圆C的方程; ()过 的直线与椭圆C交于M、N两点,求(O为原点)的面积的最大值及相应的
2、直线的方程.解:()设椭圆的长轴为2a,又 即 椭圆方程为 () 由题意可知NM不可能过原点,则可设直线NM的方程为:设 即 . 由韦达定理得: 令 , 则 又令, 易知在1,+)上是增函数,所以当,即 时有最小值5. 有最大值 的面积有最大值.直线的方程为.3. 椭圆E的中心在原点O,焦点在x轴上,离心率=,过点C(-1,0)的直线交椭圆于A、B两点,且满足:= ()()若为常数,试用直线的斜率k(k0)表示三角形OAB的面积()若为常数,当三角形OAB的面积取得最大值时,求椭圆E的方程()若变化,且= k21,试问:实数和直线的斜率分别为何值时,椭圆E的短半轴长取得最大值?并求出此时的椭圆
3、方程解:设椭圆方程为(ab0),由=及a2= b2+c2得a2=3 b2,故椭圆方程为x23y2= 3b2 ()直线:y = k(x1)交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,并且= (2),(x1+1,y1) =(-1-x2,-y2),即 把y = k(x+1)代入椭圆方程,得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-3b2= 0,且 k2 (3b2-1)+b20 (*),x1+x2= -, x1x2=, =|y1-y2| =|+1| y2| =| k | x2+1| 联立、得x2+1=,= (k0) (2)当且仅当3| k | =,即k =时,取得最大值,此时x1+x2= -1又x1+
4、1= -( x2+1),x1=,x2= -,代入得3b2=此时3b25,的值符合(*)故此时椭圆的方程为x23y2=(2) ()由、联立得:x1=-1, x2=-1,将x1,x2代入,得=+1由k2=-1得=+1=1易知,当时,3b2是的减函数,故当时,取得最大值3 所以,当,k =1(符合(*)时,椭圆短半轴长取得最大值,此时椭圆方程为x2 + 3y2 = 3 4. 已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点,与共线. (I)求椭圆的离心率; (II)设M为椭圆上任意一点,且,证明为定值.解:(I)设椭圆方程为则直线AB的方程为.化简得.令则 共
5、线,得(II)证明:由(I)知,所以椭圆可化为.在椭圆上,即 由(I)知又又,代入得 故为定值,定值为1.5. 已知椭圆的左焦点为F,O为坐标原点.(I)求过点O、F,并且与椭圆的左准线相切的圆的方程;(II)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点,线段AB的垂直平分线与轴交于点G,求点G横坐标的取值范围.解:(I)圆过点O、F,圆心M在直线上。设则圆半径由得解得所求圆的方程为(II)设直线AB的方程为代入整理得直线AB过椭圆的左焦点F,方程有两个不等实根。记中点则的垂直平分线NG的方程为令得点G横坐标的取值范围为6. 已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足.设圆的方程
6、为(I) 证明线段是圆的直径;(II)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时,求p的值。(I)证明1: 整理得: 设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则即整理得:故线段是圆的直径证明2: 整理得: .(1)设(x,y)是以线段AB为直径的圆上则即去分母得: 点满足上方程,展开并将(1)代入得:故线段是圆的直径证明3: 整理得: (1)以线段AB为直径的圆的方程为展开并将(1)代入得: 故线段是圆的直径(II)解法1:设圆C的圆心为C(x,y),则又因 所以圆心的轨迹方程为设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则当y=p时,d有最小值,由题设得 .解法2: 设圆C的圆心为
7、C(x,y),则又因 所以圆心的轨迹方程为设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为,则因为x-2y+2=0与无公共点,所以当x-2y-2=0与仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0的距离最小值为将(2)代入(3)得 解法3: 设圆C的圆心为C(x,y),则圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则又因 当时,d有最小值,由题设得11、(如图)设椭圆中心在坐标原点,是它的两个顶点,直线与AB相交于点D,与椭圆相交于E、F两点 (1)若,求的值; (2)求四边形面积的最大值11()解:依题设得椭圆的方程为, 直线的方程分别为, 2分 如图,设,其中, 且满足方程, 故 由知,得; 由在上知,
8、得 所以, 化简得, 解得或6分 ()解法一:根据点到直线的距离公式和式知,点到的距离分别为 9分 又,所以四边形的面积为 当,即当时,上式取等号所以的最大值为12分 解法二:由题设, 设,由得, 故四边形的面积为 9分 当时,上式取等号所以的最大值为12分12、已知椭圆的离心率. 直线()与曲线交于不同的两点,以线段为直径作圆,圆心为 (1) 求椭圆的方程;(2) 若圆与轴相交于不同的两点,求的面积的最大值.12、(1)解:椭圆的离心率, . 2分 解得. 椭圆的方程为 4分(2)解法1:依题意,圆心为 由 得. 圆的半径为 6分 圆与轴相交于不同的两点,且圆心到轴的距离, ,即 弦长 8分
9、的面积 9分 . 12分 当且仅当,即时,等号成立. 的面积的最大值为 14分解法2:依题意,圆心为 由 得. 圆的半径为 6分 圆的方程为 圆与轴相交于不同的两点,且圆心到轴的距离, ,即 在圆的方程中,令,得, 弦长 (资料来源:数学驿站 ) 8分的面积 9分 . 12分当且仅当,即时,等号成立. 的面积的最大值为15、已知椭圆:()的上顶点为,过的焦点且垂直长轴的弦长为若有一菱形的顶点、在椭圆上,该菱形对角线所在直线的斜率为求椭圆的方程;当直线过点时,求直线的方程;(本问只作参考,不计入总分)当时,求菱形面积的最大值15、解:依题意,1分,解2分,得3分,所以,4分,椭圆的方程为5分。直线:7分,设:8分,由方程组得9分,当时10分,、的中点坐标为,12分,是菱形,所以的中点在上,所以13分,解得,满足,所以的方程为14分。(本小问不计入总分,仅供部分有余力的学生发挥和教学拓广之用)因为四边形为菱形,且,所以,所以菱形的面积,由可得,因为,所以当且仅当时,菱形的面积取得最大值,最大值为。
限制150内