高一数学教案：《映射的概念》教学设计.docx

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1、高一数学教案：映射的概念教学设计高一数学教案：函数的概念和图象教学设计 高一数学教案：函数的概念和图象教学设计 教学目标： 1通过现实生活中丰富的实例，让学生了解函数概念产生的背景，进一步体会函数是描述变量之间的依靠关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数的概念，驾驭函数是特别的数集之间的对应； 2了解构成函数的要素，理解函数的定义域、值域的定义，会求一些简洁函数的定义域和值域； 3通过教学，逐步培育学生由详细逐步过渡到符号化，代数式化，并能对以往学习过的学问进行理性化思索，对事物间的联系的一种数学化的思索 教学重点： 两集合间用对应来描述函数的概念；求基本函数的定义域和

2、值域 教学过程： 一、问题情境 1情境 正方形的边长为a，则正方形的周长为 ，面积为 2问题 在初中，我们曾相识利用函数来描述两个变量之间的关系，如何定义函数？常见的函数模型有哪些？ 高一数学映射复习037 北师大中学数学必修（）其次章函数全部教案第四节映射一教学目标：1学问与技能：（1）了解映射的概念及表示方法；（2）结合简洁的对应图表，理解一一映射的概念2过程与方法：（1）函数推广为映射，只是把函数中的两个数集推广为两个随意的集合；（2）通过实例进一步理解映射的概念；（3）会利用映射的概念来推断“对应关系”是否是映射，一一映射3情态与价值：映射在近代数学中是一个极其重要的概念，是进一步学习

3、各类映射的基础二教学重点：映射的概念教学难点：映射的概念三学法与教学方法1学法：通过丰富的实例，学生进行沟通探讨和概括；从而完成本节课的教学目标；2教学方法：探究沟通法。四教学过程（一）创设情景，揭示课题复习初中常见的对应关系：1对于任何一个实数，数轴上都有唯一的点和它对应；2对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对（）和它对应；3对于随意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；4某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；5函数的概念（二）研探新知1我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“随意两个非空集合”，根据某种法则可以建

4、立起更为一般的元素之间的对应关系，这种对应就叫映射（板书课题）2先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系：（1）开平方；（2）求正弦；（3）求平方；（4）乘以2归纳引出映射概念：一般地，设A、B是两个非空的集合，假如按某一个确定的对应法则，使对于集合A中的随意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应：AB为从集合A到集合B的一个映射记作“：AB”说明：（1）这两个集合有先后依次，A到B的映射与B到A的映射是迥然不同的，其中表示详细的对应法则，可以用多种形式表述（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思（三）质

5、疑答辩，排难解惑，发展思维例1下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？（1）A=是数轴上的点，B=R，对应关系：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）A=是平面直角坐标中的点，对应关系：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3）A=三角形，B=：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）A=是新华中学的班级，对应关系：每一个班级都对应班里的学生思索：将（3）中的对应关系改为：每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对应关系改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应：BA是从集合B到集合A的映射吗？例2在下图中，图（1），（2），（3），（4）用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则，是不是映射？是不是

6、函数关系？A开平方BA求正弦B （1）（2） A求平方BA乘以2B （3）（4）（四）巩固深化，反馈矫正1、画图表示集合A到集合B的对应（集合A，B各取4个元素）已知：（1），对应法则是“乘以2”；（2）A=，B=R，对应法则是“求算术平方根”；（3），对应法则是“求倒数”；（4）对应法则是“求余弦”2在下图中的映射中，A中元素600的象是什么？B中元素的原象是什么？A求正弦B （五）归纳小结提出问题：怎样推断建立在两个集合上的一个对应关系是否是一个映射，你能归纳出几个“标准”呢？师生一起归纳：判定是否是映射主要看两条：一条是A集合中的元素都要有象，但B中元素未必要有原象；二条是A中元素与B中

7、元素只能出现“一对一”或“多对一”的对应形式（六）设置问题，留下悬念1由学生举诞生活中两个有关映射的实例2已知是集合A上的任一个映射，试问在值域(A)中的任一个元素的原象，是否都是唯一的？为什么？3已知集合从集合A到集合B的映射，试问能构造出多少映射？AB解：二对一，有3个映射；一对一时，有32=6个映射所以，共有9个映射 4.设集合A=a,b,c，B=0,1，试问：从A到B的映射一共有几个？并将它们分别表示出来。AB【共有222=8个映射】 五、课后反思 高一数学映射036课题：1.2.2映射教学目的：（1）了解映射的概念及表示方法，了解象、原象的概念；（2）结合简洁的对应图示，了解一一映射

8、的概念教学重点：映射的概念教学难点：映射的概念教学过程：一、引入课题复习初中已经遇到过的对应：1对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应；2对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应；3对于随意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；4某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；5函数的概念二、新课教学1我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“随意两个非空集合”，根据某种法则可以建立起更为一般的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射（mapping）（板书课题）2先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一

9、些对应关系（1）开平方；（2）求正弦（3）求平方；（4）乘以2；3什么叫做映射？一般地，设A、B是两个非空的集合，假如按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的随意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射（mapping）记作“f：AB”说明：（1）这两个集合有先后依次，A到B的射与B到A的映射是迥然不同的其中f表示详细的对应法则，可以用汉字叙述（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。4例题分析：下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？（1）A=P|P是数轴上的点，B=R，对应关

10、系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）A=P|P是平面直角体系中的点，B=（x，y）|xR，yR，对应关系f：平面直角体系中的点与它的坐标对应；（3）A=三角形，B=x|x是圆，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）A=x|x是新华中学的班级，B=x|x是新华中学的学生，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生思索：将（3）中的对应关系f改为：每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对应关系f改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应f：BA是从集合B到集合A的映射吗？5完成课本练习三、作业布置补充习题高一数学教案：基于APOS理论的函数概念教学设计 高一数学教案：基于APOS理论

11、的函数概念教学设计 一、 概念同化教学与APOS 理论 中学新课程实行已经有四年多了，然而目前，相当多老师仍旧实行传统的概念同化教学方式，其教学步骤为1：（1）揭示概念的本质属性，给出定义、名称和符号；（2）对概念进行特别分类，揭示概念的外延；（3）巩固概念，利用概念的定义进行简洁的识别活动；（4）概念的应用与联系，用概念解决问题，并建立所学概念与其它概念间的联系。 这种教学方式有其精妙之处，但是过快的抽象过程只能有一少部分学生进行有意义的学习，难以引发全体学生的学习活动，大部分学生理解不了数学概念，只能靠死记硬背。事实上，概念的同化教学对帮助学生构建良好的概念图式、原理图式，作用非常有限。因

12、为心理意义是不能传授的，必需由学生自我构建，不能由老师代替学生操作、思索、体验。 美国数学教化学家 Ed.Dubinsky认为：一个人是不行能干脆学习到数学概念的，更准确地说,人们透过心智结构（mental structure）使所学的数学概念产生意义。假如一个人对于赐予的数学概念拥有适当的心智结构，那么他几乎自然就学到了这个概念。反之，假如他无法建立起适当的心智结构，那么他学习数学概念几乎是不行能的。因此，Ed Dubinsky认为，学生学习数学概念就是要建构心智结构，这一建构过程要经验以下4个阶段2： 二、基于APOS理论的函数教学设计 从数学教化的探讨内容来看，关于代数内容已经渐渐从以解

13、方程为中心转到以探讨函数为中心了3。函数概念已经成为中学数学中最为重要的概念之一。 函数概念本身不好理解。国外关于函数教学的探讨表明白这一点斯法德调查了60 名16 岁和18 岁的学生，结论是大多数学生认为函数的概念是个过程而不是静止的结构。中国学者也进行了相关的探讨，见文献4. 可见，函数的确成了中学数学中最难教、最难学的概念之一。函数的教学在我国设置成螺旋式的教学，初中是用运动改变的观点对函数进行定义，虽然这种定义较为直观，但并未完全揭示出函数概念的本质。例如，对于函数假如用运动改变的观点去看它，就不好说明，显得牵强。但假如用集合与对应的观点来说明，就非常自然。笔者在浙江省义乌市第三中学陈

14、向阳老师设计的函数的概念基础上进行思索，尝试用APOS理论来设计中学函数概念的教学。 （一）创设问题情境，引出课题 老师提出问题1： 我们在初中学习过函数的概念，它是如何定义的呢？在初中已经学过哪些函数？（在学生回答的基础上出示投影） 我们已经学习了一些详细的函数，那么为什么还要学习函数呢？先请同学们思索下面的问题： 问题2：由上述定义你能推断“y=1”是否表示一个函数？函数y=x与函数表示同一个函数吗？ 学生思索、探讨后，老师点拨：仅用上述函数概念很难回答这些问题，我们须要从新的角度来相识函数概念。 （二）生活实例演示，操作练习活动（A） 问题3：下图中哪几个图像与下述三件事分别吻合得最好?

15、请你为剩下的那个图像写出一件事 (1)我离开家不久，发觉自己把作业本可能忘在家里了，于是停下来找，没找到，就返回家里找到了作业本再上学； (2)我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； (3)我动身后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间起先加速 活动小结：每一个时刻，根据图像，都有唯一确定的距离与它对应。 （三）借助信息技术，探讨归纳过程（P） 师：（实例1）演示动画，用几何画板动态地显示炮弹高度关于炮弹放射时间的函数。启发学生视察、思索、探讨，尝试用集合与对应的语言描述变量之间的依靠关系：在的改变范围内，任给一个，根据给定的解析式，都有唯一的一个高度与之相对应。 生

16、：用计算器计算，然后用集合与对应的语言描述变量之间的依靠关系。 师：（实例2）引导学生看图，并启发：在的改变范围内，任给一个t，根据给定的图象，都有唯一的一个臭氧空洞面积与之相对应。 生：动手测量，然后用集合与对应的语言描述变量之间的依靠关系。 师生：（实例3）共同读表，然后用集合与对应的语言描述变量之间的依靠关系。 （四）从特别到一般，引出函数概念对象（O） 问题4：分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同特点？ 生：分组探讨三个实例的共同特点，然后归纳出函数定义，并在全班沟通。 师生：由学生概括，老师补充，引导学生归纳出三个实例中变量之间的关系均可描述为： 对于数集中的每一个，根据某种对应关

17、系，在数集中都有唯一确定的与它对应，记作 老师强调指出“”仅仅是数学符号。为了更好地理解函数符号的含义，老师提出下一个问题： 问题5：肯定就是函数的解析式吗？ 师生：函数的解析式、图象、表格都是表示函数的方法。 问题6：函数能否看做是两个集合之间的一种对应呢？假如能，怎样给函数重新下一个定义呢？（在学生回答的基础上老师归纳总结） 补充练习：下列图象中不能作为函数的图象的是（ ） 老师引导学生归纳总结：函数的三要素是定义域、值域及对应法则。在函数的三要素中，当其中的两要素已确定时，则第三个要素也就随之确定了。如当函数的定义域，对应法则已确定，则函数的值域也就确定了。 追问：如何推断两个函数是否相

18、同？ 以学生已解决的问题动身创设情境，引起学生的学习爱好，再次引发学生在构建自身基础上的“再创建”，并通过独立思索后的探讨，培育学生分析解决问题、用数学语言沟通沟通的实力。 例2下列函数中哪个与函数相等？ 思索：你能举出一些函数相等的详细例子吗？ 启发并引导学生思索、探讨、沟通，老师归纳总结出函数的要点： 1函数是一种特别的对应非空数集到非空数集的对应； 2函数的核心是对应法则，通常用记号表示函数的对应法则，在不同的函数中，的详细含义不一样。函数记号表明，对于定义域的随意一个在“对应法则”的作用下，即在中可得唯一的. 当在定义域中取一个确定的，对应的函数值即为.集合中并非全部的元素在定义域中都

19、有元素和它对应；值域； 3函数符号的说明： （1）“”即为“是的函数”的符号表示；（2）不肯定能用解析式表示；（3）与是不同的，通常，表示函数当时的函数值；（4）在同时探讨两个或多个函数时，常用不同符号表示不同的函数，除用符号外，还常用、等符号来表示。 4定义域是函数的重要组成部分，如与是不同的两个函数。 （五）借助熟识的函数，加深对函数概念的理解图式（S） 问题8：集合A（A=R）到集合B（B=R）的对应：: AB，使得集合B中的元素与集合A中的元素对应，如何表示这个函数？定义域和值域各是什么？函数呢？函数呢？ 老师演示动画，用几何画板显示这三种函数的动态图象，启发学生视察、分析，并请同学们

20、思索之后填写下表： 函数 一次函数 反比例函数 二次函数 对应关系 a0 a0 定义域 值域 用函数的定义去说明学过的一次函数、反比例函数、二次函数，使得对函数的描述性定义上升到集合与对应语言刻画的定义。同时利用信息技术工具画出函数的图象，是让学生进一步体会“数”与“形”结合在理解函数中的作用，更好地帮助理解上述函数的三个要素，从而加强学生对函数概念的理解，进一步挖掘函数概念中集合与函数的联系。明确定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，这是一个整体，以此更好地培育学生深层次思索问题的习惯。 （六）再创情境，引导探究函数概念的新相识图式（S） 问题9：比较函数的近代定义与传统定义（即初中课本

21、函数的定义）的异同点，你对函数有什么新的相识？ 学生思索、探讨，老师点拨：函数近代定义与传统定义在实质上是一样的，两个定义中的定义域与值域的意义完全相同。两个定义中的对应法则事实上也一样，只不过叙述的动身点不同，传统定义是从运动改变的观点动身，近代定义的对应法则是从集合与对应的观点动身。 问题10：学生在前面学习的基础上，反思对问题2的解答，重新思索问题2，谈谈自己的相识。老师启发、引导学生画图，以形求数。 师生：是函数；与不是同一个函数。 引导学生对问题2进行反思和总结，并将之一般化，利用数学语言来表达，培育学生反思问题、总结归纳的习惯和擅长运用数学语言抽象所发觉的结论的实力。 （七）举例应

22、用，深化目标图式（S） 例3已知函数 （1）画出函数的图象；（2）求的值；（3）你从（2）中发觉了什么结论？（4）求函数的值域。 为了让学生体会到从特别到一般的思想方法，同时也后面探讨函数的性质（奇函数）作打算。 老师引导学生解决此题的关键点，并进行变式： 变式1：已知， 当时，求函数的值域； 当时，求函数的值域。 变式2：已知， 当函数值域为时，求函数定义域； 当函数值域为时，求函数定义域。 变式3：（1）已知，求的值。（2）已知，求函数. 变式4：已知，求的解析式；的解析式；的解析式。 以一个问题为背景，一题多用，一题多变，由浅入深，体现梯度，使不同程度的学生都有发展。通过一组细心设计的问

23、题链来引导和激发学生的参加意识、创新意识，培育学生探究问题的实力，从而提升学生的思维品质。借助三个变式层层深化，是理论到实践的升华，使概念深化、强化、类化的作用与含义印入心底，得到再次认同，初步驾驭与应用实力也就自然形成了。 （八）练习沟通，反馈巩固 以学生回答、板演的形式进行课堂练习，充分发挥师与生、生与生的互动，以老师、学生相互沟通来巩固本节课的学习。 （九）学生归纳小结，老师评价 以同桌之间一人小结一人倾听的方式，以四人为一小组进行小组探讨，对本节课所学的内容进行自主小结，老师刚好进行归纳总结：1函数的近代定义与传统定义的异同点；2集合与函数的联系、区分；3函数的三要素；4数形结合的思想

24、。 三、几点启示 APOS理论对学生的函数概念的理解作出了分层分析，可以预料学生已经在多大程度上对性质作出了心理建构，从而推知学生对函数概念的驾驭起点。基于APOS理论的理念设计数学性质教学，实质是“以学生为主体”的理念在课堂探究中的体现，有利于学生理解函数的概念。 教学中老师要关注数学本身的特点，更重要的是要关注课堂上学生的驾驭概念的思维状况，将数学学问和学生探究活动有机结合，要求老师要重视学生的学习活动，让学生亲身创设问题情境。数学老师要意识到：一个数学概念由“过程”到“对象”的建立, 有时既困难又漫长, 须要经过多次反复,按部就班,螺旋上升, 直至学生真正理解,“对象”的建立要留意简练的

25、文字形式和符号表示,使学生在头脑中建立起数学学问的直观结构形象。 学生对于函数概念的相识不是一蹴而就的，这就要要老师在教学过程中整体处理教材，把握教学的度，结合详细的问题有意识地在各个阶段的学习过程中，帮助学生逐步形成函数完整的学问链。在往后的教学中要留意学生对学问的图式的建立, 即加强学问间的联系和应用,如在讲解详细的指数函数、对数函数、幂函数时，可以以详细函数为载体，在一般函数概念的指导下对其性质进行探讨，体现了“详细抽象详细”的过程，是函数概念理解的深化。又如，在讲解不等式、方程的求解及应用后，可以与函数相结合，进行对比，从而加深对函数概念的理解，帮助学生在头脑中建立起完整的数学学问的心

26、理图式。 当然，APOS 理论的四个阶段并非肯定体现在一堂数学课当中, 也不是每一课都必需遍历四个阶段, 它适用于数学概念在学生头脑中建立的一段时期,并不局限于某一堂课。比如，函数图式的形成是须要一个长期实践与反思。有些学生须要在接触了大量的详细的函数模型以后，甚至在学习了函数的复合、微分、积分以后，才能慢慢地实现从“过程”到“对象”的理解，再由“对象”到“图式”的发展。作为老师，我们应当理解学生的实际，作为数学的学习过程，也是允许学生有折返的现象。 第16页 共16页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页