余弦函数图象与性质.docx

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1、余弦函数图象与性质正余弦函数的图象 1.4.1正弦、余弦函数的图象教学目的：学问目标：（1）利用单位圆中的三角函数线作出的图象，明确图象的形态；（2）依据关系，作出的图象；（3）用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题；实力目标：（1）理解并驾驭用单位圆作正弦函数、余弦函数的图象的方法；（2）理解并驾驭用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象的方法；德育目标：通过作正弦函数和余弦函数图象，培育学生仔细负责，一丝不苟的学习和工作精神；教学重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象；教学难点：作余弦函数的图象。教学过程：一、复习引入：1弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心

2、角称为1弧度的角。2.正、余弦函数定义：设是一个随意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离r()则比值叫做的正弦记作：比值叫做的余弦记作：3.正弦线、余弦线：设随意角的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有，向线段MP叫做角的正弦线，有向线段OM叫做角的余弦线二、讲解新课：1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数在一般状况下，两个坐标轴上所取的单位长度应当相同，否则所作曲线的形态各不相同，从而影响初学者对曲线形态的正确相识（1）函数y=

3、sinx的图象第一步：在直角坐标系的x轴上任取一点，以为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成n(这里n=12)等份.把x轴上从0到2这一段分成n(这里n=12)等份.（预备：取自变量x值弧度制下角与实数的对应）.其次步：在单位圆中画出对应于角，,，2的正弦线正弦线（等价于“列表”）.把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点”）.第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x0，2的图象依据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的

4、距离为2，就得到y=sinx，xR的图象.把角x的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx的图象.（2）余弦函数y=cosx的图象探究1：你能依据诱导公式，以正弦函数图象为基础，通过适当的图形变换得到余弦函数的图象？依据诱导公式,可以把正弦函数y=sinx的图象向左平移单位即得余弦函数y=cosx的图象.（课件第三页“平移曲线”） 正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线思索：在作正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？2用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx，x0，2的

5、图象中，五个关键点是：(0,0)(,1)(,0)(,-1)(2,0)余弦函数y=cosxx0,2的五个点关键是哪几个？(0,1)(,0)(,-1)(,0)(2,1)只要这五个点描出后，图象的形态就基本确定了因此在精确度不太高时，常采纳五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求娴熟驾驭优点是便利，缺点是精确度不高，娴熟后尚可以3、讲解范例：例1作下列函数的简图(1)y=1+sinx，x0，2，（2）y=-COSx探究2如何利用y=sinx，0，的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到（1）y1sinx,0，的图象；（2）y=sin(x-/3)的图象？小结：函数值加减，图像上下移动；自变量加减，图像

6、左右移动。探究如何利用y=cosx，0，的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y-cosx，0，的图象？小结：这两个图像关于X轴对称。探究如何利用y=cosx，0，的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y2-cosx，0，的图象？小结：先作y=cosx图象关于x轴对称的图形，得到y-cosx的图象，再将y-cosx的图象向上平移2个单位，得到y2-cosx的图象。探究不用作图，你能推断函数y=sin(x-3/2)和y=cosx的图象有何关系吗？请在同一坐标系中画出它们的简图，以验证你的猜想。小结：sin(x-3/2)=sin(x-3/2)+2=sin(x+/2)=cosx这两个函数相等

7、，图象重合。例2分别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满意下列条件的x的集合：三、巩固与练习 四、小结：本节课学习了以下内容：1正弦、余弦曲线几何画法和五点法2留意与诱导公式，三角函数线的学问的联系五、课后作业：习案作业：八 正切函数的性质与图象 1.4.3正切函数的性质与图象教学目的：学问目标：1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象；2.用正切函数图象解决函数有关的性质；实力目标：1.理解并驾驭作正切函数图象的方法；2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法；教学重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象；教学难点：正切函数的性质。教学过程：一、复习引入：问题：1、正弦曲线是怎样画的？2、练习

8、：画出下列各角的正切线：下面我们来作正切函数的图象二、讲解新课：1正切函数的定义域是什么？2正切函数是不是周期函数？，是的一个周期。是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来推断。3作，的图象 说明：（1）正切函数的最小正周期不能比小，正切函数的最小正周期是；（2）依据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数，且的图象，称“正切曲线”。 （3）正切曲线是由被相互平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的。4正切函数的性质引导学生视察，共同获得：（1）定义域：；（2）值域：R视察：当从小于，时，当从大于，时，。（3）周期性：；（4）奇偶性：由知，正切函数是奇函数；（5）单调性：在

9、开区间内，函数单调递增。5.讲解范例：例1比较与的大小解：，内单调递增，例2：求下列函数的周期：（1）答：。（2）答：。说明：函数的周期 例3：求函数的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，解：1、由得，所求定义域为2、值域为R，周期，3、在区间上是增函数。思索1：你能推断它的奇偶性吗？（是非奇非偶函数），练习1：求函数的定义域、周期性、奇偶性、单调性。略解：定义域：值域：R奇偶性：非奇非偶函数单调性：在上是增函数练习2：教材P45面2、3、4、5、6题解：画出ytanx在(，)上的图象，在此区间上满意tanx0的x的范围为：0x结合周期性，可知在xR，且xk上满意的x的取值范围为(k

10、，k)(kZ)思索2：你能用图象求函数的定义域吗？解：由得，利用图象知，所求定义域为，亦可利用单位圆求解。 四、小结：本节课学习了以下内容：1.因为正切函数的定义域是，所以它的图象被等相互平行的直线所隔开，而在相邻平行线间的图象是连续的。2.作出正切函数的图象，也是先作出长度为一个周期（-/2，/2）的区间内的函数的图象，然后再将它沿x轴向左或向右移动，每次移动的距离是个单位，就可以得到整个正切函数的图象。五、作业习案作业十一。 正切函数的性质与图象教学反思正切函数的性质与图象教学反思必修四第一章第四节正切函数的图象与性质一课，是在讲完正、余弦函数的图象与性质之后进行的一堂新课，学生在学习了正

11、、余弦函数的图象与其的五特性质：定义域、周期性、单调性、奇偶性、值域的基础上，对正切函数派生学习的一堂课。因此这节课，我将重点放在通过回顾正、余弦函数的图象与性质来对这节课进行教学。在讲课之前，我把课件打算了将近五天，大型变动三遍。第一次，我将课件设计的正切函数的五特性质在前，正切函数的图象在后，发觉，假如这样的话，在讲正切函数的单调性和值域的地方特别吃力，因为正切函数的单调性和值域通过视察图象比较直观易懂。然后我变更策略，先讲图象后讲性质，可是图象要通过性质中的定义域，周期性等来画出来，这样也为讲课加大了难度。最终，我实行了先探究正切函数的三特性质：定义域、周期性、奇偶性，接着探究正切函数的

12、图象，最终探究正切函数的另外两特性质：单调性和值域。这样做，虽然把性质分开，插入图象的讲解，但是形散意不散，这样做，即让学生很好的学习了图象与性质，也有利于对这节课的记忆。讲完理论学问之后，我设计了三道例题，一道巩固了定义域，一道巩固了单调性和周期性，一道巩固了值域和周期性。然后我将这节课的内容链接高考，找了一道高考真题让学生自己理解。最终，对这堂课进行了小结。让学生对这堂课又进行了一次复习与巩固。在实施这堂课的时候，是周一上午第三节课，学生们的状况处于最佳状况，精神饱满。然后学生留意力维持时间比较长，我在前二十五分钟讲了新课内容，期间，都是让学生共同回答问题，这是一个缺陷，这一点我在课堂上就

13、有意识到，可是时间不够，只有削减让学生自主探究的时间。在中间的十五分钟讲了例题，这时候，我采纳先让学生自己做，然后我再讲我的思路，让学生了解自己答题的缺陷。最终留五分钟的时间让学生巩固这节课的内容。在课堂上，学生主动回答问题，总的课堂效果不错，板书我采纳左边为主板，右边为副板的版式，主板写的这节课的主要内容，副板是演算内容，主板不擦，副板可以重复擦。结束过关课之后，同科老师对我的课进行了点评，他们对我的教态自然，设计合理，涉及全面，谈吐清楚进行了表扬，也对我的课提出了珍贵的看法，首先是我给学生探究时间过少，以后要是评比优质课肯定要给学生足够的探究时间；另外一点就是提问问题时，要以个体提问为主，

14、整体提问为辅，这样会高度提高学生的留意力；还有就是我语言错误的提示，最终，对我讲例题的方式进行了修整，老师应当先讲一道，然后再让学生根据自己的做题模式进行答题。这节课堂，我受益匪浅，在上课的过程中，要留意视察学生的状态，要赐予学生多的探究时间，在上课前，要充分的打算，不要出现语言性的错误。还有就是，例题要充分利用，通过例题，让学生彻底巩固好这节课。在渐渐的教学过程中，我肯定发扬我的优点，弥补我的不足，仔细教学，对自己的学生负责。正弦函数、余弦函数的图象教学案例正弦函数、余弦函数的图象教学案例【案例背景】在接到青年老师教学优质课竞赛的任务没多久，我又被级组给予另一项艰难而宏大的使命优质班会课评比

15、。当两个优质课碰撞时，或许就只能成全一个优质了！刚从班会优质课的赛场退下来，还没来得及喘口气，便又匆忙的投入几天后即将实行的教学优质课。虽然我早已不是一位新手，我的年龄也正在踩线，青年老师的青春头衔将不再属于我，可是，面对教研处浓重组织的这场教学竞赛，我还是心惊胆战！一是对手实在太强大；二是已有好几年没有教高一；三是三角函数是个公认不好讲、不易出彩的内容；四是我的打算不足够，留给我的时间太少了。面对这么多的不利因素，我只能勇往直前，不怕失败！首先，确定主题。怎样跳出三角函数那些枯燥的公式，平淡的性质，以学生为主体，新授课上出探究味呢？经过思索、对比，唯有图象，能当此重任。它有形的直观，有多媒体

16、的动态，更有学生参加画图的空间。于是，我将主题定为正弦函数、余弦函数的图象。这是一个承前启后的章节，它的推导要利用前面讲过的三角函数线，它的出现又将为后面探讨性质铺路。这也是一个学问联系丰富的内容，从正弦到余弦，只需用诱导公式和图象变换可以实现；从三角函数线几何法作图，到简化的五点法作图，再到敏捷的图象变换，方法多样，内涵丰富。另外，这节课的画图，须要强大的信息技术支持，课件的动画效果和设计，干脆影响到本课的难点突破。在这方面，我也花了大量心血，最终的课件效果令人满足，被其他老师借用。共享是一种欢乐和美德！【案例描述】本节课须要用到许多以前的学问，比如，一起先给出正弦函数的定义，这须要以函数的

17、定义为基础。而函数概念放了很久，学生普遍会遗忘。再如，由正弦曲线图象得出余弦曲线的图象，要借助诱导公式五、六。画正弦曲线的几何方法，要利用正弦线。所以，在课前的学案中，我设计了【温故知新】环节，帮助学生回顾。本课还有一个难点，画正弦曲线时怎样引导学生联想到三角函数线中的正弦线？从而用几何法精确作图。为此，我又设计了一个铺垫。用问题串来引导，启发学生如何精确的画出纵坐标，从一个详细的点入手，从而有效突破难点。部分课堂实录：一课题导入师:同学们，通过前面的学习，我们知道，当角的概念推广之后，在弧度制下，实数集与角的集合之间就形成了一一对应的关系，而当角确定之后，正弦值随之确定，余弦值也随之确定，这

18、样，随意给定的一个实数x,有唯一确定的值sinx(或cosx)与之对应。由这个法则所确定的函数y=sinx(或y=cosx)叫做正弦函数(或余弦函数).师:正弦函数和余弦函数的定义域是多少？生：定义域为R.师:在遇到一类新的函数时，我们通常会先作出它的图象，然后通过图像来探讨它的性质.通过图象可以探讨函数的哪些性质？生：值域、单调性、奇偶性、最大值、最小值等.师:这节课我们首先来探讨正弦函数和余弦函数的图象.（老师板书，引出课题：正弦函数、余弦函数的图象）师:在探讨正弦函数和余弦函数图象之前,请同学们观看一个物理试验.（多媒体展示简谐运动的位移和时间关系图象，让学生经验从生活世界到科学世界，感

19、受三角函数改变的特定规律，并从直观上相识正弦函数和余弦函数图象.）二讲授新课1利用单位圆中的正弦线作函数y=sinx，x0，2的图象师:以前我们用描点法作函数图象的时候，一般分哪几个步骤？生：列表、描点、连线师:在0,2p范围内取哪些点？生：取特别角：等。师：那么的值是精确值还是近似值？师生共同探讨总结描点法的弊端,当x取值时，y的值大都是近似值，加之作图上的误差，不易描出对应点的精确位置.师:（进一步提出问题）为了得到比较精确的正弦函数的图象，如何从几何的角度用图形表示纵坐标？比如，怎样用几何法描出点？（老师引导学生进行分析：要作出比较精确的正弦函数的图象，关键是要把列表中的点的纵坐标精确的

20、标出来，留意到点的纵坐标其实都是正弦值，因此，问题转化成如何在坐标系中表示正弦值。结合在前面已经学过的三角函数线三角函数线从形的角度刻画了三角函数值的大小，这样学生很自然的想到利用单位圆中的正弦线来表示点的的纵坐标正弦值）生：学生先探究，然后上黑板展示她的成果。（这样设计比较自然，合理，符合学生认知的基本规律）师:既然我们能够利用正弦线精确描点，那么请同学们再多找一些点，画出正弦函数y=sinx，x?0,2p的图象。（留时间给学生作图，老师巡察，学生画好后投影展示，并请学生讲解作图步骤。）师:在学生讲解完后，老师再利用多媒体的动画效果演示一下作图过程，加深印象。（对作图过程进行小结，让学生进一

21、步体会用正弦线描点的精确性）师:我们知道正弦函数的定义域是R，但是刚才得到的仅仅是0,2上的图象提出问题：如何由y=sinx，x?0,2p的图象得到y=sinx，x?R的图象2由函数y=sinx，x0，2的图象得到函数y=sinx，xR的图象老师结合图形，引导学生接着探讨2,4上的图象，让学生视察，发觉：2,4上的图象和0,2上的图象都是由相同的正弦线通过平移过去得到的，因此，2,4上的图象和0,2上的图象在形态上是完全一样的，只是位置不同，即要得到2,4上的图象只需把0,2上的图象像右平移2个单位，其他区间上的图象也可以用类似的方法得到师生形成共识:把函数y=sinx,x0,2的图象沿x轴左

22、右平移，每次平移2个单位，就可以得到y=sinx,xR的图象.师：多媒体演示由y=sinx,x0,2的图象得到y=sinx,xR的图象的过程师:（小结）由y=sinx,x0,2的图象得到y=sinx,xR的图象的过程中，我们事实上依据的是诱导公式一：sin(x+2kp)=sinx,k?Z（先让学生从直观上感受2,4上的图象，再用诱导公式一从理论的高度上说明、相识，学生较简单接受，假如一下就利用诱导公式一来说明由y=sinx,x0,2的图象得到y=sinx,xR的图象的过程，比较抽象，学生不易理解）由正弦函数的图象得到余弦函数的图象师:（过渡）到这里，我们这节课的第一个问题正弦函数的图象就解决了

23、，对于余弦函数的图象，我们是否可以用类似的方法来探讨？生:可以，但比较麻烦师:想走捷径，就得利用前人的成果！能否以正弦函数的图象为基础，结合诱导公式快速作出余弦函数的图象？探究：你能依据诱导公式，以正弦函数的图象为基础，通过适当的图象变换得到余弦函数的图象吗？（老师组织学生探讨、沟通引导学生利用诱导公式由正弦函数的图象得出余弦函数的图象，并动态演示过程）师：我们学过的哪个诱导公式能够实现正弦和余弦的互化？是须要把正弦化余弦，还是余弦化正弦？生1：把余弦化正弦，；师：（接着引导）还有没有其它的诱导公式能够实现余弦化正弦？生2：；师：（对学生的回答表示确定与赞许）特别好！要作的图象，只要作或的图象

24、。从函数图象变换的角度考虑，如何由ysinx的图象得到或的图象，哪一个更简洁？生：由ysinx的图象得到的图象，须要经过两次图象变换，而由ysinx的图象得到的图象只要经过一次变换即向左平移个单位，所以后者更简洁.师：这样，我们通过平移，就得到了余弦函数的图象（通过探究，使学生从函数解析式之间的关系思索函数图象之间的关系，进而学习通过图象变换画余弦函数图象的方法，向学生渗透化归转化的数学思想）4用五点法作正弦函数的简图师:我们在作正弦函数y=sinx,x0,2的图象时，描出了12个点，但其中起关键作用的点是哪些？分别说出它们的坐标。(学生回答，老师动画演示)师:在精确度要求不高的状况下，我们常

25、用五点画图法作出正弦函数的简图。师：你们能类比说出余弦函数的五个关键点吗？（师生一起总结：五点作图法是我们画三角函数简图的基本方法。师：（小结）到这里，我们这节课的两个问题就都解决了.我们主要是学习了作三角函数图象的两种方法：利用三角函数线作正弦函数的图象和利用五点法作正弦函数、余弦函数的简图.用三角函数线作函数的图象虽然精确但比较麻烦，在今后的学习中，我们更多的是用五点法，它更好用.下面我们就一起用五点法来作与正弦函数和余弦函数有关的简洁函数的图象.三典例讲解示例1:（1）用五点法作函数y=1+sinx,x0,2上的简图；（2）用五点法作函数y=-cosx,x0,2上的简图.（对于（1），老

26、师重点、具体讲解，并多媒体演示过程,对于（2），则由学生练习，独立完成.）师：（进一步提出思索，引导学生从图象变换的角度了解图象间的关系）你能否从函数图象变换的角度动身，利用y=sinx，x?0,2p的图象，得到y1sinx,x?0,2p的图象？同样的，如何利用y=cosx，x?0,2p的图象，得到y=-cosx，x?0,2p的图象？2、巩固练习四、课堂小结师:这节课的探讨学习就到这里了,请大家回顾一下这节课的探究和收获.生1:我们学习了用三角函数线作图,五点法作图；生2:复习了诱导公式，并利用诱导公式从正弦函数图象变换得到余弦函数的图象。师:（在学生自行总结的基础上补充总结）说的好！这些正是这节课的重点所在.第14页 共14页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页