归纳法证明不等式1.docx

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1、归纳法证明不等式1构造函数法在不等式证明中运用 构造函数法在不等式证明中运用不等式的证明历来是中学数学的难点，也是考察学生数学实力的主要方面。不等式的证明方法多种多样，依据所给不等式的特征，奇妙的构造适当的函数，然后利用一元二次函数的判别式、函数的奇偶性、单调性、有界性等来证明不等式，统称为函数法。本文通过一些详细的例子来探讨一下怎样借助构造函数的方法证明不等式。一、构造函数利用判别式证明不等式构造函数正用判别式证明不等式在含有两个或两个以上字母的不等式中，若运用其它方法不能解决，可将一边整理为零，而另一边为某个字母的二次式，这时可考虑用判别式法。一般对与一元二次函数有关或能通过等价转化为一元

2、二次方程的，都可考虑运用判别式，但运用时要留意根的取值范围和题目本身条件的限制。例1.设：a、b、cR，证明：成立，并指出等号何时成立。解析：令b、cR，0即：，恒成立。当0时，此时，时，不等式取等号。例2.已知：且，求证：。解析：消去c得：，此方程恒成立，即：。同理可求得构造函数逆用判别式证明不等式对某些不等式证明，若能依据其条件和结论，结合判别式的结构特征，通过构造二项平方和函数：由，得0，就可以使一些用一般方法处理较繁琐的问题，获得简捷明快的证明。 例3.设且，求证：6。解析：构造函数：由，得0，即.6.例4.设且，求的最小值。解析：构造函数由（当且仅当时取等号），得0,即144-4（）

3、0当时，二、构造函数利用函数有界性证明不等式例5.设1，1，1，求证：-1.解析：令为一次函数。由于0，且0，在时恒有0.又，0，即：0评注：考虑式中所给三个变量的有界性，可以视其为单元函数，转化为。三、构造函数利用单调性证明不等式例6.设，求证：解析：设，当0时，是增函数，又，而，故有：例7.求证：当0时，。解析：令，0，0.又在处连续，在上是增函数，从而，当0时，0，即：成立。评注：利用函数单调性证明不等式和比较大小是常见的方法，特殊是在引入导数后，单调性的应用将更加普遍。四、构造函数利用奇偶性证明不等式例8.求证：。解析：设-，.所以是偶函数，其图象关于轴对称。当0时，0，故0；当0时，

4、依图象关于轴对称知0。故当时，恒有0，即评注：这里实质上是依据函数奇偶性来证明的，如何构造恰当的函数充分利用其性质是关健。由上述几种状况可以看出，能否顺当地构造函数利用其函数性质和运用数学思想来证明不等式，最重要的是要有扎实的基本功和多种思维品质，敢于打破常规，创建性地思维，才能独辟蹊径，使问题获得妙解。 归纳法 一般中学课程标准试验教科书数学选修2-2人教版B2.3.1数学归纳法 教学目标：了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简洁的数学命题。教学重点：了解数学归纳法的原理教学过程一、复习：推理与证明方法二、引入新课1、数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题经常采纳下面的方法来证明它

5、的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(kN*，kn0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法2、数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，假如当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(kn0，kN*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，依据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对全部不小于n0的正整数n0+1，n0+2，命题都成立.3、用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；(2)假设当n=k(kN*，且kn0)时结论正确，证明当n=k+1时

6、结论也正确.由(1)，(2)可知，命题对于从n0起先的全部正整数n都正确4、例子例1用数学归纳法证明：假如an是一个等差数列，那么an=a1+(n1)d对一切nN*都成立.例2用数学归纳法证明例3推断下列推证是否正确，若是不对，如何改正.证明：当n=1时，左边右边，等式成立设n=k时，有那么，当n=k+1时，有即n=k+1时，命题成立依据问可知，对nN，等式成立课堂练习：第80页练习课后作业：第82页A:1,2,3 不等式的性质1不等式的性质1教学目标1.理解不等式的性质,把握不等式各特性质的条件和结论之间的逻辑关系,并把握它们的证明方法以及功能、运用;2.把握两个实数比较大小的一般方法;3.

7、通过不等式性质证明的学习,提高学生逻辑推论的实力;4.提高本节内容的学习,;培育学生条理思维的习惯和仔细严谨的学习看法;教学建议1.教材分析(1)学问结构本节首先通过数形结合,给出了比较实数大小的方法,在这个基础上,给出了不等式的性质,一共讲了五个定理和三个推论,并给出了严格的证明。学问结构图(2)重点、难点分析在“不等式的性质”一节中,联系了实数和数轴的对应关系、比较实数大小的方法,复习了初中学过的不等式的基本性质。不等式的性质是穿越本章内容的一条主线,无论是算术平均数与几何平均数的定理的证明及其应用,不等式的证明和解一些简洁的不等式,无不以不等式的性质作为基础。本节的重点是比较两个实数的大

8、小,不等式的五个定理和三个推论;难点是不等式的性质成立的条件及其它的应用。比较实数的大小教材运用数形结合的观点,从实数与数轴上的点一一对应动身,与初中学过的学问“在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大”利用数轴可以比较数的大小。指出比较两实数大小的方法是求差比较法:比较两个实数a与b的大小,归结为判定它们的差a-b的符号,而这又必定归结到实数运算的符号法则.比较两个代数式的大小,事实上是比较它们的值的大小,而这又归结为判定它们的差的符号.理清不等式的几特性质的关系教材中的不等式共5个定理3个推论,是从证明过程支配依次的.从这几特性质的分类来说,可以分为三类:()不等式的理论性质:(对称性

9、)(传递性)()一个不等式的性质:(nN,n1)(nN,n1)()两个不等式的性质:2.教法建议本节课的核心是培育学生的变形技能,练习学生的推理实力.为今后证明不等式、解不等式的学习奠定技能上和理论上的基础.授课方法可以实行讲授与问答相结合的方式.通过问答形式不断地给学生设置疑问(即:设疑);对教学难点,再由讲授形式解决疑问.(即:解疑).主要思路是:老师设疑学生探讨老师启发解疑.教学过程可分为:发觉定理、定理证明、定理应用,采纳由形象思维到抽象思维的过渡,发觉定理、证明定理.采纳类比联想,变形转化,应用定理或应用定理的证明思路;解决一些较简洁的证明题.第一课时教学目标1.把握实数的运算性质与

10、大小依次间关系;2.把握求差法比较两实数或代数式大小;3.强调数形结合思想.教学重点比较两实数大小教学难点理解实数运算的符号法则教学方法启发式教学过程一、复习回顾我们知道,实数与数轴上的点是一一对应的,在数轴上不同的两点中,右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.例如,在右图中,点A表示实数,点B表示实数,点A在点B右边,那么.我们再看右图,表示减去所得的差是一个大于0的数即正数.一般地:若,则是正数;逆命题也正确.类似地,若,则是负数;若,则.它们的逆命题都正确.这就是说:(打出幻灯片1)由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了,这也是我们这节课将要学习的主要内容.二、讲授

11、新课1.比较两实数大小的方法求差比较法比较两个实数与的大小,归结为判定它们的差的符号,而这又必定归结到实数运算的符号法则.比较两个代数式的大小,事实上是比较它们的值的大小,而这又归结为判定它们的差的符号.接下来,我们通过详细的例题来熟识求差比较法.2.例题讲解例1比较与的大小.分析:此题属于两代数式比较大小,事实上是比较它们的值的大小,可以作差,然后绽开,合并同类项之后,判定差值正负,并依据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小.解:例2已知,比较(与的大小.分析:此题与例1基本类似,也属于两个代数式比较大小,但是其中的x有肯定的限制,应当在对差值正负判定时引起注意,对于限制条件的应用常常被

12、学生所忽视.由得,从而请同学们想一想,在例2中,假如没有这个条件,那么比较的结果如何?(学生回答:若没有这一条件,则,从而大于或等于)为了使大家进一步把握求差比较法,我们来进行下面的练习.三、课堂练习1.比较的大小.2.假如,比较的大小.3.已知,比较与的大小.要求:学生板演练习,老师讲评,并强调学生注意加限制条件的题目.课堂小结通过本节学习,大家要明的确数运算的符号法则,把握求差比较法来比较两实数或代数式的大小.课后作业习题6.11,2,3.板书设计6.1.1不等式的性质1.求差比较法例1学生例2板演不等式的证明1不等式的证明1教学目标(1)理解证明不等式的三种方法:比较法、综合法和分析法的

13、意义;(2)把握用比较法、综合法和分析法来证简洁的不等式;(3)能敏捷依据题目选择适当地证明方法来证不等式;(4)能用不等式证明的方法解决一些实际问题,培育学生分析问题、解决问题的实力;(6)通过不等式证明,培育学生逻辑推理论证的实力和抽象思维实力;(7)通过组织学生对不等式证明方法的意义和应用的参加,培育学生勤于思索、擅长思索的良好学习习惯.教学建议(一)教材分析1.学问结构2.重点、难点分析重点:不等式证明的主要方法的意义和应用;难点:理解分析法与综合法在推理方向上是相反的;综合性问题选择适当的证明方法.(1)不等式证明的意义不等式的证明是要证明对于满意条件的全部数都成立(或都不成立),而

14、并非是带入详细的数值去验证式子是否成立.(2)比较法证明不等式的分析在证明不等式的各种方法中,比较法是最基本、最重要的方法.证明不等式的比较法,有求差比较法和求商比较法两种途径.由于,因此,证明,可转化为证明与之等价的.这种证法就是求差比较法.由于当时,因此,证明可以转化为证明与之等价的.这种证法就是求商比较法,运用求商比较法证明不等式时,肯定要注意的前提条件.求差比较法的基本步骤是:“作差变形断号”.其中,作差是依据,变形是手段,判定符号才是目的.变形的目的全在于判定差的符号,而不必考虑差值是多少.变形的方法一般有配方法、通分的方法和因式分解的方法等,为此,有时把差变形为一个常数,或者变形为

15、一个常数与一个或几个数的平方和的形式.或者变形为一个分式,或者变形为几个因式的积的形式等.总之.能够判定出差的符号是正或负即可.作商比较法的基本步骤是:“作商变形判定商式与1的大小关系”,须要注意的是,作商比较法一般用于不等号两侧的式子同号的不等式的证明.(3)综合法证明不等式的分析利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推倒出所要证明的不等式成立,这种证明方法通常叫做综合法.综合法的思路是“由因导果”:从已知的不等式动身,通过一系列的推出变换,推倒出求证的不等式.综合法证明不等式的逻辑关系是:.(已知)(逐步推演不等式成立的必要条件)(结论)利用综合法由因导果证明不等式,就要揭示出条件与结论

16、之间的因果关系,为此要着力分析已知与求证之间的差异和联系、不等式左右两端的差异和联系,在分析所证不等式左右两端的差异后,合理应用已知条件,进行有效的变换是证明不等式的关键.(4)分析法证明不等式的分析从求证的不等式动身,逐步寻求使不等式成立的充分条件,直至所需条件被确认成立,就断定求证的不等式成立,这种证明方法就是分析法.有时,我们也可以首先假定所要证明的不等式成立,逐步推出一个已知成立的不等式,只要这个推出过程中的每一步都是可以逆推的,那么就可以断定所给的不等式成立.这也是用分析法,注意应强调“以上每一步都可逆”,并说出可逆的依据.分析法的思路是“执果导因”:从求证的不等式动身,探究使结论成

17、立的充分条件直至已成立的不等式.它与综合法是对立统一的两种方法.用分析法证明不等式的逻辑关系是:.(已知)(逐步推演不等式成立的必要条件)(结论)分析法是教学中的一个难点,一是难在初学时不易理解它的本质是从结论分析出访结论成立的“充分”条件,二是不易正确运用连接有关(分析推理)步骤的关键词.如“为了证明”“只需证明”“即”以及“假定成立”等.分析法是证明不等式时一种常用的基本方法.当证明不知从何入手时,有时可以运用分析法而获得解决.非凡对于条件简洁而结论困难的题目往往更是行之有效.(5)关于分析法与综合法分析法与综合法是思维方向相反的两种思索方法.在数学解题中,分析法是从数学题的待证结论或需求

18、问题动身,一步一步地探究下去,最终达到题设的已知条件.即推理方向是:结论已知.综合法则是从数学题的已知条件动身,经过逐步的逻辑推理,最终达到待证结论或需求问题.即:已知结论.分析法的特点是:从“结论”探求“需知”,逐步靠拢“已知”,其逐步推理事实上是要找寻结论的充分条件.综合法的特点是:从“已知”推出“可知”,逐步推向“未知”,其逐步推理事实上是要找寻已知的必要条件.各有其优缺点:从寻求解题思路来看:分析法是执果索因,利于思索,方向明确,思路自然,有希望胜利;综合法由因导果,往往枝节横生,不轻易达到所要证明的结论.从书写表达过程而论:分析法叙述繁锁,文辞冗长;综合法形式简洁,条理清晰.也就是说

19、,分析法利于思索,综合法宜于表达.一般来说,对于较困难的不等式,干脆运用综合法往往不易入手,用分析法来书写又比较麻烦.因此,通常用分析法探究证题途径,然后用综合法加以证明,所以分析法和综合法常常是结合在一起运用的.(二)教法建议选择例题和习题要注意层次性.不等式证明的三种方法主要是通过例题来说明的.老师在教学中要注意例题支配要由易到难,由简洁到综合,层层深化,启发学生理解各种证法的意义和逻辑关系.老师选择的练习题也要与所讲解的例题的难易程度的层次相当.要坚持精讲精练的原则.通过一题多法和多变挖掘各种方法的内在联系,对学问进行拓展、延长,使学生沟通学问,有效地提高解题实力.在教学过程中,应通过细

20、心设置的一个个问题,激发学生的求知欲,调动学生在课堂活动中主动参加.通过学生参加教学活动,理解不等式证明方法的实质和几种证明方法的意义,通过练习积累阅历,能够总结出比较法的实质是把实数的大小依次通过实数运算变成一个数与0(或1)比较大小;困难的习题能够利用综合法发展条件向结论方向转化,利用分析法能够把结论向条件靠拢,最终达到结合点,从而解决问题.学生素养较好的,老师可在教学中适当增加反证法和用函数单调性来证明不等式的内容,但内容不易过多过难.第一课时教学目标1.把握证明不等式的方法比较法;2.熟识并把握比较法证明不等式的意义及基本步骤.教学重点比较法的意义和基本步骤.教学难点常见的变形技巧.教

21、学方法启发引导式.教学过程(-)导入新课(老师活动)老师提问:依据前一节学过的学问,我们如何用实数运算来比较两个实数与的大小?.(学生活动)学生思索问题,找学生甲口答问题.(学生甲回答:,)点评(待学生回答问题后)要比较两个实数与的大小,只要考察与的差值的符号就可以了,这种证明不等式的方法称为比较法.现在我们就来学习:用比较法证明不等式.(板书课题)设计意图:通过老师设置问题,引导学生回忆所学的学问,引出用比较法证明不等式,导入本节课学习的学问.(二)新课讲授尝摸索索,建立新知(老师活动)老师板书问题(证明不等式),写出一道例题的题目问题求证老师引导学生分析、思索,探讨不等式的证明.(学生活动

22、)学生探讨证明不等式,尝试完成问题.(得出证明过程后)点评通过确定差的符号,证明不等式的成立.这一方法,在前面比较两个实数的大小、比较式子的大小、证明不等式性质就已经用过.通过求差将不等问题转化为恒等问题,将两个一般式子大小比较转化为一个一般式子与0的大小比较,使问题简化.理论依据是:由,知:要证明只要证;要证明这种证明不等式的方法通常叫做比较法.设计意图:帮助学生构建用比较法证明不等式的学问体系,培育学生化归的数学思想.例题示范,学会应用(老师活动)老师板书例题,引导学生探讨问题,构思证题方法,学会解题过程中的一些常用技巧,并点评.例1求证(学生活动)学生在老师引导下,探讨问题.与老师一道完

23、成问题的论证.分析由比较法证题的方法,先将不等式两边作差,得,将此式看作关于的二次函数,由配方法易知函数的最小值大干零,从而使问题获证.证明:=,.点评作差后是通过配方法对差式进行恒等变形,确定差的符号.作差后,式于符号不易确定,配方后变形为一个完全平方式子与一个常数和的形式,使差式的符号易于确定.不等式两边的差的符号是正是负,一般须要利用不等式的性质经过变形后,才能判定.变形的目的全在于判定差的符号,而不必考虑差的值是多少.至于怎样变形,要敏捷处理,例1介绍了变形的一种常用方法配方法.例2已知都是正数,并且,求证:分析这是分式不等式的证明题,依比较法证题将其作差,确定差的符号,应通分,由分子

24、、分母的值的符号推出差值的符合,从而得证.证明:=.因为都是正数,且,所以.即:点评作差后是通过通分法对差式进行恒等变形,由分子、分母的值的符号推出差的符号.本例题介绍了对差变形,确定差值的符号的一种常用方法通分法.例2的结论反映了分式的一特性质(若都是正数.1.当时,2.当时,.以后要记住.设计意图:巩固用比较法证明不等式的学问,学会在用比较法证明不等式中,对差式变形的常用方法配方法、通分法.课堂练习(老师活动)打出字幕(练习),要求学生独立思索.完成练习;请甲、乙两学生板演;巡察学生的解题状况,对正确的证法赐予确定和激励,对偏差点拨和订正;点评练习中存在的问题.字幕练习:1.求证2.已知,

25、d都是正数,且,求证(学生活动)在笔记本上完成练习,甲、乙两位同学板演.设计意图,把握用比较法证明不等式,并会敏捷运用配方法和通分法变形差式,确定差式符号.反馈课堂教学效果,调整课堂教学.分析归纳、小结解法(教学活动)分析归纳例题和练习的解题过程,小结用比较法证明不等式的解题方法.(学生活动)与老师一道分析归纳,小结解题方法,并记录笔记.比较法是证明不等式的一种最基本、重要的方法.用比较法证明不等式的步骤是:作差、变形、判定符号.要敏捷把握配方法和通分法对差式进行恒等变形.设计意图:培育学生分析归纳问题的实力,把握用比较法证明不等式的方法.(三)小结(老师活动)老师小结本节课所学的学问.(学生

26、活动)与老师一道小结,并记录笔记.本节课学习了用比较法证明不等式,用比较法证明不等式的步骤中,作差是依据,变形是手段,判定符号才是目的.把握求差后对差式变形的常用方法:配方法和通分法.并在下节课接着学习对差式变形的常用方法.设计意图:培育学生对所学学问进行概括归纳的实力,巩固所学学问.(四)布置作业1.课本作业:P16.1,2,3.2.思索题:已知,求证:3.探讨性题:设,都是正数,且,求证:设计意图,课本作业供学生巩固基础学问;思索题供学有余力的学生完成,培育其敏捷把握用比较法证明不等式的实力;探讨性题是为培育学生创新意识.(五)课后点评1.本节课是用比较法证明不等式的第一节课,在导入新课时

27、,老师提出问题,让学生回忆所学学问中,是如何比较两个实数大小的,从而引入用比较法证明不等式.这样处理合情合理,顺理成章.2.在建立新知过程中,老师引导学生分析探讨证明不等式,使学生在尝摸索索过程中形成用比较法证明不等式的感性熟识.3.例1,例2两道题主要目的在于让学生归纲、总结,求差后对差式变形、并判定符号的方法,以及求差比较法的步骤.在这里如何对差式变形是难点,应着重解决.首先让学生明确变形目的,削减变形的盲目性;其次是总结变形时常用方法,有利于难点的突破.4.本节课采纳启发引导,讲练结合的授课方式,发挥老师主导作用,体现学生主体地位,学生获得学问必需通过学生自己一系列思维活动完成.老师通过启发诱导学生深化思索问题,培育学生思维敏捷、严谨、深刻等良好思维品质.作业答实思索题:,又,获证.第14页 共14页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页