初中平面几何中的定值问题(6页).doc
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1、-平面几何中的定值问题开场白:同学们,动态几何类问题是近几年中考命题的热点,题目灵活、多变,能够全面考查同学们的综合分析和解决问题的能力。这类问题中就有一类是定值问题,下面我们来看几道题:【问题1】已知一等腰直角三角形的两直角边AB=AC=1,P是斜边BC上的一动点,过P作PEAB于E,PFAC于F,则PE+PF= 。方法1:特殊值法:把P点放在特殊的B点或C点或BC中点。此种方法只适合小题。方法2:等量转化法:这是绝大部分同学能够想到的方法,PF=AE,PE=BE,所以PE+PF=BE+AE。方法3:等面积法:连接AP,总结语:这虽然是一道动态几何问题,难吗?不难,在解决过程中(方法2抓住了
2、边长AB 的不变性和PE,PF与BE,AE的不变关系;方法3抓住了面积的不变性),使得问题迎刃而解。设计:大部分学生都能想到方法2,若其他两种方法学生没有想到,也不要深究,更不要自己讲掉。此题可叫差生或中等偏下的学生回答(赛比艳,艾科)(设计意图:由简到难,让程度最差的同学也有在课堂上展示自我的机会。)过渡:这道题太简单了,因为等腰直角三角形太特殊了,我若把等腰直角三角形换成一般的等腰三角形,问题有没有变化,又该如何解决?请看:【变式1】若把问题1中的等腰直角三角形改为等腰三角形,且两腰AB=AC=5,底边BC=6,过P作PEAB于E,PFAC于F,则PE+PF还是定值吗?若是,是多少?若不是
3、,为什么?方法1:三角形相似进行量的转化 (板书)(M为BC中点)(解题要点:等腰三角形中,底边上的中线是常作的辅助线,抓住这条线的长度是不变量这个特点,建立PE,PF与AM之间的联系,化动为静)方法2:等面积法:(M为BC中点) (板书)(解题要点:抓住三角形面积是个不变量,用等面积法求解,这是在三角形中求解与垂线段有关的量的常用方法。)(若学生想不到,可提示:在此题中,不变的东西是什么?不变的这个量和变量PE,PF之间有什么联系,能不能用一个等式来表示?学生会三角形的边长,角度,周长,面积等都是不变量。(设计意图:由特殊到一般,引出求垂线段长度的常用方法:等面积法)(教师行为:出示题之后,
4、让学生做,教师下去看。叫用方法1的同学先站起来回答,然后再叫用方法2的同学。以达到过渡到下一题的目的。)问:我把题中的5改为a,6改为b,PE+PF还是定值吗?你能求出这个定值吗?答:是定值,求解方法不变。问:由这题,你能得出等腰三角形的一个一般性结论吗?结论:等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为定值PE+PF=(a为腰长,b为底边长,h为的边上的高)(等面积法可以求解,注意当顶角为钝角的情况)(设计意图:培养学生探究的精神,养成勤总结的习惯)问题:通过前面几题,你能说说在解答动态几何问题时解题的关键是什么?应该注意什么问题?答:不要被动、变迷惑,通过观察,分析,动中窥静,变化之中求不变
5、,从而明确图形之间的内在联系,找到不变量或不变关系,找到解题的途径。在解题过程中要注意点或线在运动的过程中,是否需要讨论。过渡:上面两题中的动点都是在一定线段或直线上运动,有些同学可能还是觉得不够刺激,下面再来一道刺激一点的,让点在一个区域内运动,请看:【变式2】已知P为边长为a的等边三角形ABC内任意一动点, P到三边的距离分别为h1,h2,h3,则P到三边的距离之和是否为定值?为什么?(由上题的启示,学生可能很容易想到等面积法) 为定值 (M为BC中点) (板书)可以用几何画板度量长度,进行演示(设计意图:使学生更深一步理解等面积法的应用)过渡:研究完了P在三角形内部运动的情况,我们不防降
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