精品_第三章_三角恒等变换(全)两角和与差的正弦余弦和正切公式.ppt

《精品_第三章_三角恒等变换(全)两角和与差的正弦余弦和正切公式.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《精品_第三章_三角恒等变换(全)两角和与差的正弦余弦和正切公式.ppt（69页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 3.1.1两角差的余弦公式目标导学目标导学1、了解两角差的余弦公式的推导和证明过程 ；2、掌握两角差的余弦公式并能利用公式进行简单的三角函数式的求值、化简和证明。不用计算器，求不用计算器，求 的值的值. 1. 15 能否写成两个特殊角的和或差的形式能否写成两个特殊角的和或差的形式? 2. cos15 =cos(45 -30 )=cos45 -cos30 成立吗成立吗? 3. cos (45 -30 )能否用能否用45 和和30 的角的的角的 三角函数来表示三角函数来表示? 4. 如果能如果能,那么一般地那么一般地cos(-)能否用能否用 、的的 角的三角函数来表示角的三角函数来表示?cos3

2、75cos375cos 375cos 36015cos15 解 ：问问题题探探究究如何用任意角如何用任意角与与 的的正弦、正弦、余弦来表示余弦来表示cos(-)cos(-)？思考：你认为会是思考：你认为会是cos(-)=cos(-)=cos-coscos-cos吗吗? ?-111-1 - - BAyxocossinOA , ,cossinOB , ,)cos(OBOAOBOA)cos(OBOAsinsincoscos cos(-)=coscos+sinsincos(-)=coscos+sinsinCC CS S- -差角的余弦公式差角的余弦公式结结论论归归纳纳 , , 对于任意角对于任意角co

3、s() cos cossin sin - - + + 注意：注意：1.公式的结构特点；公式的结构特点；2.2.对于对于,只要知道其正弦或余弦，就只要知道其正弦或余弦，就可以求出可以求出cos()不查表不查表, ,求求coscos(375(375) )的值的值. . 解解: cos( 375)=cos15 =cos(45 30 ) =cos45 cos30 +sin45 sin30 23212222624应用举例应用举例分析分析:cos15cos 4530cos15cos 6045思考：你会求思考：你会求 的值吗的值吗?sin75.利用差角余弦公式求利用差角余弦公式求 的值的值cos15学学以以

4、致致用用例例1.已知已知 2cos,3 3= = - -5 5求求 的值的值.cos4例例2.已知已知 2sin,，4 4= =5 5cos，5 5= = - -1 13 3是第三象限角，求求cos(-) )的值的值练习：练习： P140练习：练习：000055sin175sin55cos175cos. 12 21 1)24sin()21sin()24cos()21cos(. 200002 22 2思考题：思考题：已知已知 都是锐角都是锐角,， cos，4 4= =5 55cos13 + +cos求的值= = + +变角变角:分析：分析：coscoss si in ns si in nc co

5、 os sc co os s5 53 31 13 31 12 25 54 41 13 35 56 65 51 16 6三角函数中一定要注意观三角函数中一定要注意观察角度之间的关系，例如察角度之间的关系，例如= = + += = ( (- -) )+ +目标导学1、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导；2、能够利用公式进行简单的三角函数式的求值、化简和证明。 3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式 cos(+)=coscossinsin 公式的结构特征公式的结构特征: 左边是复角左边是复角+ 的余弦的余弦,右边是单角右边是单角、的余弦积与的余弦积与正弦积的差正弦积的差. cos()co

6、s() coscos()sinsin()cos(-)=coscos+sinsin 简记：简记：()CCCSScoscossinsin23sin,(,),cos,3243( ,),cos(),cos()2 例3、已知求),2(,32sin解：35sin1cos2)23,(,43cos27sin1 cos4 )cos(sinsincoscos)cos(sinsincoscos127253127253sin()?sin()?cos2 cos2sin2sincos2cossincoscossinsin用代sin) sin() sin cos() cos sin() (2cos cos2sin2sinc

7、os2cossincoscossinsin)sincoscossin(sin()sin)sincoscossin(sin)sincoscossin(SSCC S- -SSCC S+ +(1)sin75(2)sin195(5)cos79 cos56cos11 cos34例、求值： cos4cossin4 ;(4)cos20 cos70sin20 sin70 ;。（3)sin722722 你能推导 、 的公式吗？ tantantantantan1tantantantantan1tantan()TT （）简记为和35sin,sin(),54cos(),tan()44a 例 ：已知是第四象限的角，求的

8、值。,3解：由sin=-是第四象限的角，得522354cos1 sin1 (),5 sin3tancos4 所 以)sincoscossin444于 是 有sin(24237 2();252510 学习目标学习目标目标目标1目标目标2目标目标1目标目标2目标目标1目标目标1和角与差角正切公式的应用学习目标学习目标目标目标1目标目标2目标目标1目标目标2目标目标2和角与差角正切变形公式的应用和角与差角正切公式的应用学习目标学习目标朝花夕拾朝花夕拾目标目标1目标目标2目标目标1和角与差角正切公式的应用tantantan1tantantantantan1tantan目标目标2和角与差角正切变形公式的

9、应用 tantantan1tantan tantantan1tantan基础应用基础应用例题例题1例题例题3例题例题2例题1例题例题3例题例题2基础应用基础应用例题例题1例题例题1、不查表求值、不查表求值1 tan105（）75tan2）（15tan3）（tan(6045 )tan(4530 )23tan(4530 )23tan60tan451tan60tan453113 123 1221tan,tan(),tan(2).25 例题 、（）已知求例题例题1例题例题3例题2例题例题2基础应用基础应用2解：tan(2)tan()tantan()1tantan()12()25121()25 1124

10、42tan,tan(),tan2 .55 例题 、（2）已知求例题例题1例题例题3例题2例题例题2基础应用基础应用 2解：tan2tan ()()tan()tan()01tan() tan()212tan,tan(),tan().5444例题 、（3）已知求基础应用基础应用例题例题1例题例题3例题2例题例题244解：tantan44tan()tan41tan() tan4322例题例题3、计算、计算例题例题1例题3例题例题2例题例题3基础应用基础应用1tan341tan（ ）已知，化简1tan151tan15（1）1 cot151tan75（2）1tan153tan60 tan15（4）计算t

11、an45tan151tan45tan151tan75tan 4575tan1203.1tan75 =（）tan4，=11tan1511tan30333 1tan15=tantan1tantantan .1tan1tantantan 4515tan603.（）变形应用变形应用变形公式变形公式例题例题1例题例题3例题例题2例题例题4例题例题5例题例题6 tantantan1tantantantantan1tantan变形应用变形应用变形公式变形公式例题例题1例题例题3例题例题2例题例题4例题例题5例题例题6例题例题1 tantantan1tantantantantan1tantan1 tan17t

12、an433tan17 tan43例题 、tan 17431tan17 tan433tan17 tan43变形公式变形公式例题例题1例题例题3例题例题2例题例题4例题例题5例题例题6tan601tan17 tan433tan17 tan433.变形应用变形应用 tantantan1tantantantantan1tantantan3tan2tantan3 tan2tan .例题2、求证：tan 321tan3 tan2tantan1tan3 tan2tantan3 tan2tan.证明：左边右边原等式成立变形公式变形公式例题例题1例题例题3例题例题2例题例题4例题例题5例题例题2例题例题6变形应

13、用变形应用 tantantan1tantantantantan1tantantantantantantantan.ABCABC例题3、在非直角三角形中，求证：ABC证明：由题意变形公式变形公式例题例题1例题例题3例题例题2例题例题4例题例题5例题例题3例题例题6tan1tantantanABABC左边 tan1tantantanCABCtan1tantantanCABC tantantanABC右边.原等式成立变形应用变形应用 tantantan1tantantantantan1tantantantantantantantan.ABCkABCABC例题4、已知 ，求证： tan1tantant

14、antan1tantantanABABCkCABC证明： 左边 tan 21tantantan21,()tan1tantantantan1tantantantantantannCABCknnZCABCCABCABC 当时，左边右边 tan 21tantantan2 ,()tan1tantantantan1tantantantantantannCABCkn nZCABCCABCABC 当时，左边右边讨论：讨论：原等式成立原等式成立变形公式变形公式例题例题1例题例题3例题例题2例题例题4例题例题5例题例题4例题例题6变形应用变形应用 tantantan1tantantantantan1tantan

15、1tan1tan.4例题5、已知 、 满足，求的值1tan1tan1tantantantan 解：变形公式变形公式例题例题1例题例题3例题例题2例题例题4例题例题5例题例题5例题例题6 1tan1tantantantan 1tan1tantantantan4 2变形应用变形应用 tantantan1tantantantantan1tantan1tan1tan.4例题5、已知 、 满足，求的值 1tan1tan1tantantantan1tan1tantantantan1tan1tantantantan42 解：1tan1tan.4k例题6、若，求的值1tan11tan21tan31tan45

16、.（思考）求值变形公式变形公式例题例题1例题例题3例题例题2例题例题4例题例题5例题例题6例题例题6变形应用变形应用小结小结 tantantan1tantantantantan1tantan变形公式变形公式基础应用基础应用变形应用变形应用1、非特殊角的求值、非特殊角的求值2、角的组合、角的组合3、公式逆用、公式逆用1、典型例题、典型例题2、注意事项、注意事项达标测试达标测试2tantan()04xpxqpq1、已知和是方程的两个根，问 、 满足的关系式？tan45cot.tanAAA12、已知，求的值13(1)1tan66tan69tan66 tan69、计算：(2)tan16tan1013t

17、an16 tan101作业作业tan20tan40tan120tan20 tan404、求值：1tan11tan21tan431tan445、计算：二倍角的正弦二倍角的正弦、余弦余弦、正切公式正切公式目标导学目标导学1、理解二倍角公式的推导；、理解二倍角公式的推导；2、灵活掌握二倍角公式及其变形公式；、灵活掌握二倍角公式及其变形公式；3、能综合运用二倍角公式进行化简、计算、能综合运用二倍角公式进行化简、计算及证明。及证明。一、复习一、复习:两角和的正弦、余弦、正切公式两角和的正弦、余弦、正切公式:sincostan若上述公式中若上述公式中 ， 你能否对它进行变形？你能否对它进行变形？sinco

18、scossincoscossinsintantan1 tantan 对于对于 能否有其它表示形式？能否有其它表示形式？ 2C公式中的角是否为任意角？公式中的角是否为任意角？1222 coscos 2212sincos RR, ,且且 ， 42 k2 k Z k cossinsin22 222sincoscos 2122tantantan 二二倍倍角角公公式式：口答下列各式的值：口答下列各式的值： 002202020(1)sin22.5 cos22.5 ; (2)cossin;882tan15(3);(4)1 2sin 75 .1 tan 15公式识记公式识记5sin2,(,)sin4134 2

19、cos4tan4 已知，求，的值。例例1(5)8sincoscoscos48482412例例25(5) coscos1212、(1)(2)231tan2(3)(4) sin() cos()344tan244(1)sincos(2)sincos4422(6) cos36 cos72、练习练习231tan2(3)(4)sin() cos()344tan2231tan2(3)(4) sin() cos()344tan2231tan2(3)(4)sin() cos()344tan2(2)(4)(1)引申：公式变形：引申：公式变形：2)cos(sin2sin1 2cos22cos1 2sin22cos1

20、 升幂降角公式升幂降角公式化简化简 (1) 1sin 40 ;(2) 1sin 40 ;(3) 1cos 20 ;(4) 1cos 2022 sin 2 cos4变式：如何化简呢？例例3) 1cos2(cossin21)sin21 (cossin2122 证证明明：左左边边1 sin2cos2tan1 sin2cos2求证：)sin(coscos2)sin(cossin2 cossin 右右边边 tan.原原式式成成立立例例41 sin2cos2:1 sin2cos21.化简sincos,0,sin2cos212、已知3求和练习练习1、二倍角正弦、二倍角正弦、余弦余弦、正切公式的推导正切公式的

21、推导总结RR, ,且且 ， 42 k2 k Z k cossinsin22 222sincoscos 2122tantantan 1222 coscos21 2sin 2、注意正、注意正 用用 、逆用、变形用、逆用、变形用我们的目标我们的目标 掌握“合一变形”的技巧及其应用1、两角和、差角的余弦公式、两角和、差角的余弦公式cos)coscossinsin(cos)coscossinsin(C C 2、两角和、差角的正弦公式、两角和、差角的正弦公式sin)sincoscossin(sin)sincoscossin(S S 3、二倍角的正、余弦公式、二倍角的正、余弦公式2222cos2cossin

22、2cos11 2sin sin22sincos2C2S4、两角和、差的正切公式、两角和、差的正切公式tantantan)1tantan(tantantan)1tantan(5、二倍角的正切公式、二倍角的正切公式22tantan21tan用 代T T 2T引例引例31sincos22(1)把把下列各式化为一个角的三角函数形式下列各式化为一个角的三角函数形式sincos(2)sincosxbx(3)asincosxbxa化化 为一个角的三角函数形式为一个角的三角函数形式sincosxbxa222222sincosbabxxababa令令2222cossinabbaba22cossisc snino

23、abxx22sinabx22cosabx练习练习把把下列各式化为一个角的三角函数形式下列各式化为一个角的三角函数形式sincos(1) 231sincos22(2)sincos44xx26(3)44cos15sin15cos15sin1522sin50sin10 (13tan10 )2sin 80 .2、求值：2sin()2sin()3cos().333xxx1、化简：、化简：3、化简：、化简：4sincos.yxx、(1)求函数的值域3sin23 3cos21yxxxx(2)函数的最小值是，对应的 值是；最大值是，对应的的 值是？3sin5.2cosxyx、求函数的值域1、化简：、化简：si

24、n()sincos()cosxyxxyx2sin3cos0.2yxxx、求函数的值域0.23logsincos.yxx、求函数的最值55sin1cos2tan2sec1xyxy、求下列函数的值域：(1)(2)4sincos.y、若 是一个三角形的最小内角，则函数的值域为引例引例一组三角函数式的应用一组三角函数式的应用2sincos12sincos 2sincos1 2sincos 1sinsinsin,coscoscos,.、已知角 、 、 足求的值2sincossin cosyxxxx、求函数的值域.sin cos11 sincosxxyxx、求函数的最大值.2,sincosaRyxaxa、若求函数的最小值.1、化简：、化简：sin()sincos()cosxyxxyx2sin3cos0.2yxxx、求函数的值域0.23logsincos.yxx、求函数的最值55sin1cos2tan2sec1xyxy、求下列函数的值域：(1)(2)4sincos.y、若 是一个三角形的最小内角，则函数的值域为sin cos1 sincosxxyxx6、求函数的最大值.,sincosaRyxaxa7、若求函数的最小值.