《等腰直角三角形中的常用模型》(4页).doc

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1、-等腰直角三角形中的常用模型-第 4 页等腰直角三角形中的常用模型一【知识精析】1、等腰直角三角形的特征：边、角方面的特征：两直角边相等，两锐角相等（都是45）边之间的关系：已知任意一边长，可得到其它两边长。2、等腰直角三角形与全等三角形：以等腰直角三角形为背景的几何问题中，常常包含全等三角形，发现并证明其中的全等三角形往往是解题的关键突破口。熟悉以下基本模型，对解决等腰直角三角形问题很有好处。模型一：一条直线（不与三角形的边重合）过等腰直角三角形的直角顶点（1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全等的直角三角形：例1如图：RtABC中，BAC=90，AB=AC，点D是B

2、C上任意一点，过B作BEAD于点E，过C作CFAD于点F。（1）求证：BE-CF=EF；（2）若D在BC的延长线上（如图（2），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明。如图1，等腰RtABC中，AB=CB，ABC=90，点P在线段BC上（不与B、C重合），以AP为腰长作等腰直角PAQ，QEAB于，连CQ交AB于M。（1）求证：M为BE的中点（2）若PC=2PB，求的值（2）以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边，必定可以构造一对全等的直角三角形：3、如图：RtABC中，BAC=90，AB=AC，点D是BC上任意一点，过B作BEAD于点E，交AC于点G，过C作CFAC交AD的延

3、长线与于点F。（1）求证：BG=AF；（2）若D在BC的延长线上（如图（2），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明。变式1：如图，在RABC中，ACB=45，BAC=90，AB=AC，点D是AB的中点，AFCD于H交BC于F，BEAC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE. 变式2：等腰RtABC中，AC=AB，BAC90，点D是AC的中点，AFBD于点E，交BC于点F，连接DF，求证：1=2。变式3：等腰RtABC中，AC=AB，BAC90，点D、E是AC上两点且AD=CE，AFBD于点G，交BC于点F连接DF，求证：1=2。模型二：等腰直角三角形与另一个直角三角形共

4、斜边等腰直角三角形与另一个直角三角形有公共斜边，一定可以以两腰为对应边构造全等三角形例1：等腰RtABC中，AC=AB，BAC90，E是AC上一点，过C作CDBE于D，连接AD，求证：ADB45。变式1：等腰RtABC中，AC=AB，BAC90，E是AC上一点，点D为BE延长线上一点，且ADC135求证：BDDC。变式2：等腰RtABC中，AC=AB，BAC90，BE平分ABC交AC于E，过C作CDBE于D，DMAB交BA的延长线于点M，（1）求的值；（2）求的值。模型三：两个等腰直角三角形共一个顶点（1）两个等腰直角三角形共直角顶点，必定含一对全等三角形：例1、如图1，ABC、BEF都是等腰

5、直角三角形，ABC=BEF=90，连接AF、CF，M是AF的中点，连ME，将BEF绕点B旋转。猜想CF与EM的数量关系并证明；（2）两个等腰直角三角形共锐角顶点且直角开口方向相同，必定含一对相似三角形：（3）两个等腰直角三角形共锐角顶点且直角开口方向相反，必定可利用平移构造含一对全等三角形：如图，ABC和EBD都是等腰直角三角形，BAC=BED=90。把DE平移到CF，使E与C重合，连接AE、AF，则AEB与AFC全等（关键是利用平行证明ABE=ACF）例.如图：两个直角三角形ABC、ADE的顶点A重合，P是线段BD的中点，连PC、PE。（1）如图1，若BAC=DAE=45，当A、C、D在同一

6、直线上时，线段PC、PE的关系是 ；（2）如图2、3，将BAC绕A旋转度，（1）中的结论是否仍然成立？任意选择一个证明你的结论。三【巩固练习】1如图，在中，,、为上两点，为外一点，且,则下列结论：;,其中正确的是A、B、C、 D、2已知：RtABC中，AB=AC，BAC=90，若O是BC的中点，以O为顶点作MON，交AB、AC于点M、N。（1）若MON=90（如图1），求证：OM=ON；BM2+CN2=MN2；（2）若MON=45（如图2），求证：AM+MN=CN；3、如图，在平面直角坐标系中，AOB为等腰直角三角形，A（4，4）。（1） 若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角AC

7、D，ACD=90，连OD，求AOD的度数；（2） 过A作y轴的垂线交y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰RtEGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连FM，等式是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由。4.在ABC和DCE中，AB=AC，DC=DE,BAC=EDC=90，点E在AB上，连AD，DFAC于点F。试探索AE、AF、AC的数量关系；并求出DAC的度数。5如图：等腰RtABC和等腰RtEDB，AC=BC，DE=BD，ACBEDB90，E为AB是一点，P为AE的中点。连接PC，PD；则PC，PD的位置关系是 ；数量关系是 ；并证明你的结论。当E在线段A

8、B上变化时，其它条件不变，作EFBC于F，连接PF，试判断PCF的形状；在点E运动过程中，PCF是否可为等边三角形？若可以，试求ACB与EDB的两直角边之比。6（2013年湖南常德10分）已知两个共一个顶点的等腰RtABC，RtCEF，ABC=CEF=90，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MBCF；（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；（3）如图2，当BCE=45时，求证：BM=ME7、如图，在平面直角坐标系中，A (4，0)，B (0，4)。点N为OA上一点，OMBN于M，且ONB=45+MON。（1） 求证：BN平分OBA；（2） 求的值；（3） 若点P为第四象限内一动点，且APO=135，问AP与BP是否存在某种确定的位置关系？请证明你的结论。8已知：PA=，PB=4，以AB为直角边作等腰直角三角形ABD，且P、D两点在直线AB的两侧.(1)如图，当APB=45时，求AB及PD的长;(2)当APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值及相应APB的大小.