一元二次方程知识点的总结(7页).doc

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1、-一元二次方程知识点的总结-第 7 页一元二次方程知识点的总结知识结构梳理（1）含有 个未知数。（2）未知数的最高次数是 1、概念（3）是 方程。 （4）一元二次方程的一般形式是 。（1） 法，适用于能化为 的一元。 二次方程一元二次方程（2） 法，即把方程变形为ab=0的形式， 2、解法 （a，b 为两个因式）, 则a=0或 （3） 法 （4） 法，其中求根公式是 当 时，方程有两个不相等的实数根。（5） 当 时，方程有两个相等的实数根。当 时，方程有没有的实数根。可用于解某些求值题 （1） 一元二次方程的应用（2） （3） 可用于解决实际问题的步骤 （4） （5） （6） 知识点归类考点一

2、 一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：方程是整式方程。它只含有一个未知数。未知数的最高次数是2.同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。例 下列关于的方程，哪些是一元二次方程？；（3）；（4）；（5）考点二 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为（a，b，c是已知数，）。其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和

3、常数项，必须把它先化为一般形式。（3）形如不一定是一元二次方程，当且仅当时是一元二次方程。例1 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。（1）； （2）； （3）例2 已知关于的方程是一元二次方程时，则 考点三 解一元二次方程的方法 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当时，所以是方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。法一 直接开平方法解一元二次方程若，则叫做a的平方根，表示为，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。（1）的解是；（2）的解是；（3）的解是。例 用直接开平方法解下列一元二次方程（1）； （2）； （3）法二 配方法解一

4、元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。注意：用配方法解一元二次方程，当对方程的左边配方时，一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。例 用配方法解下列方程：（1）； （2）法三 因式分解法如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0。用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。（3）令每个因式分别为0，得

5、两个一元一次方程。（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。关键点：（1）要将方程右边化为0；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。 例 用因式分解法解下列方程：（1）； （2）； （3）。法四 公式法一元二次方程的求根公式是：用求根公式法解一元二次方程的步骤是：（1）把方程化为的形式，确定的值（注意符号）；（2）求出的值；（3）若，则把及的值代人求根公式，求出。例 用公式法解下列方程（1）； （2）； （3）技巧 选择适合的方法解一元二次方程 直接开平方法用于解左边的含有未知数的平方式，右边是一个非负数或也是一个含未知数的平

6、方式的方程因式分解要求方程右边必须是0，左边能分解因式；公式法是由配方法推导而来的，要比配方法简单。注意：一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配方法，因为配方法解题比较麻烦。例 用适当的方法解下列一元二次方程：（1）；（2）；（3）考点四 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式 =运用根的判别式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情况：（1） =0方程有两个不相等的实数根；（2） =0方程有两个相等的实数根；（3） =0方程没有实数根；利用根的判别式判定一元二次方程根的情况

7、的步骤：把所有一元二次方程化为一般形式；确定的值；计算的值；根据的符号判定方程根的情况。例 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况：（1）；（2）；（3）考点五 根的判别式的逆用在方程中，（1）方程有两个不相等的实数根0（2）方程有两个相等的实数根=0（3）方程没有实数根0注意：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件。例 为何值时，方程的根满足下列情况：（1）有两个不相等的实数； （2）有两个相等的实数根； （3）没有实数根；考点六 一元二次方程的根与系数的关系若是一元二次方程的两个根，则有， 根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系：（

8、1） （2）（3）；（4）=例 已知方程的两根为，不解方程，求下列各式的值。（1）； （2）。考点七 根据代数式的关系列一元二次方程 利用一元二次方程解决有关代数式的问题时，要善于用一元二次方程表示题中的数量关系（即列出方程），然后将方程整理成一般形式求解，最后作答。例 当取什么值时，代数式与代数式的值相等？强化练习一、选择题1.一元二次方程x2=2x的根是（）A、x=2B、x=0C、x1=0，x2=2D、x1=0，x2=22.将代数式x2+4x1化成（x+p）2+q的形式（）A、（x2）2+3 B、（x+2）24 C、（x+2）25 D、（x+2）2+43.方程x24=0的解是（）A、x=2

9、B、x=2C、x=2D、x=44.小华在解一元二次方程x2x=0时，只得出一个根x=1，则被漏掉的一个根是（）A、x=4B、x=3C、x=2D、x=05.若方程式（3xc）260=0的两根均为正数，其中c为整数，则c的最小值为何？（）A、1B、8C、16D、616.已知a是方程x2+x1=0的一个根，则的值为（）A.B.7.已知三角形的两边长是方程x25x+6的两个根，则该三角形的周长L的取值范围是（）A1L5B2L6 C5L9D6L108方程（x+1）（x2）=x+1的解是（）A、2B、3C、1，2D、1，39.分三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x26x+8=0的解，则这个三角形的周长

10、是（）A、11B、13C、11或13D、不能确定10.一元二次方程（x3）（x5）=0的两根分别为（）A、3，5 B、3，5 C、3，5 D、3，5二、填空题1. （2011江苏淮安，13，3分）一元二次方程x24=0的解是 .2. （2011江苏南京，19，6分）解方程x24x+1=03. （2011山东济南，18，3分）方程x22x=0的解为 4. （2011泰安，21，3分）方程2x25x30的解是_5. （2011山东淄博14，4分）方程x22=0的根是 6.（2011四川达州，10，3分）已知关于x的方程x2mx+n=0的两个根是0和3，则m=，n=7. （2011浙江衢州，11，4

11、分）方程x22x=0的解为 8. （2011黑龙江省黑河， 7，3分）一元二次方程a24a7=0的解为（ ）。三、解答题1. （2011江苏无锡，20，8分）（1）解方程：x2+4x2=0；2. （2011山东烟台，19，6分）先化简再计算：，其中x是一元二次方程的正数根. 3. （2011清远，18，5分）解方程：x24x104. （2011湖北武汉，17，6分）解方程：x2+3x+1=05、已知x1，x2是一元二次方程（a-6）x2+2ax+a=0的两个实数根（1）是否存在实数a，使-x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值6、已知关于x的一元二次方程（x-m）2+6x=4m-3有实数根（1）求m的取值范围；（2）设方程的两实根分别为x1与x2，求代数式x1x2-x12-x22的最大值