高中数学必修4三角恒等变换复习专题.docx

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1、考点一平面向量的有关概念【例1】 给出以下命题：6假设，那么ab；假设A，B，C，D是不共线的四点，那么是四边形为平行四边形的充要条件；假设ab，bc，那么ac；ab的充要条件是且ab.其中真命题的序号是考点二平面向量的线性运算例2】 如图，在平行四边形中，设a， b， ， .试用a，b表示， 及.【训练2】 (1)如图，在平行四边形中，对角线及交于点O， ，那么. (2)P，A，B，C是平面内四点，且，那么一定有 ()2 22 2考点三向量共线定理及其应用【例3】 (2021郑州一中月考)设两个非零向量a及b不共线(1)假设ab，2a8b，3(ab)求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数

2、k，使b和a共线【训练3】向量a，b不共线，且cab，da(21)b，假设c及d同向，那么实数的值为方法优化3准确把握平面向量的概念和运算【典例】设a，b是两个非零向量()A假设，那么a假设ab，那么C假设，那么存在实数，使得b假设存在实数，使得ba，那么【自主体验】在中，a，b，是边上的高，假设，那么实数 () 根底稳固题组1假设O，E，F是不共线的任意三点，那么以下各式中成立的是() 3对于非零向量a，b，“ab0”是“ab的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件4以下命题中，正确的选项是()A假设，那么ab或a假设ab0，那么a0或b0C假设0，那么

3、k0或a0D假设a，b都是非零向量，那么5假设点M是所在平面内的一点，且满足53，那么及的面积比为() .6)给出以下命题：向量的长度及向量的长度相等；向量a及b平行，那么a及b的方向一样或相反；两个有共同起点而且相等的向量，其终点必一样；两个有公共终点的向量，一定是共线向量；向量及向量是共线向量，那么点A，B，C，D必在同一条直线上其中不正确命题的序号是7在中，a，b，3，M为的中点，那么(用a，b表示)8设a，b是两个不共线向量，2a，ab，a2b，假设A，B，D三点共线，那么实数p的值为9在中，D，E分别为，边上的中点，G为上一点，且2，设a，b，试用a，b表示，.10假设a，b是两个不

4、共线的非零向量，a及b起点一样，那么当t为何值时，a，(ab)三向量的终点在同一条直线上？能力提升题组1知A，B，C 是平面上不共线的三点，O是的重心，动点P满足，那么点P一定为三角形的()A边中线的中点B边中线的三等分点(非重心)C重心D边的中点2在中，点O在线段的延长线上，且及点C不重合，假设x (1x)，那么实数x的取值范围是()A(，0) B(0，)C(1,0) D(0,1)3假设点O是所在平面内的一点，且满足|2|，那么的形状为第2讲平面向量根本定理及坐标表示考点一平面向量根本定理的应用【例1】 如图，在平行四边形中，M，N分别为，的中点，c，d，试用c，d表示，.【训练1】 在梯形

5、中，2，M，N分别为，的中点，假设，那么() 考点二平面向量的坐标运算【例2】 A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，设a，b，c，且3c，2b.(1)求3ab3c；(2)求满足a的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量的坐标【训练2】 (1)平面向量a(1,1)，b(1，1)，那么向量ab ()A(2，1) B(2,1) C(1,0) D(1,2)(2)在平行四边形中，为一条对角线，假设(2,4)，(1,3)，那么A(2，4) B(3，5)C(3,5) D(2,4)考点三平面向量共线的坐标表示【例3】 平面内给定三个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)假设(a)(2ba)，

6、求实数k；(2)假设d满足(dc)(ab)，且，求d的坐标【训练3】向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)假设为实数，(ab)c，那么 () C1 D2(2)梯形，其中，且2，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，那么点D的坐标为思想方法3方程思想在平面向量线性运算中的应用1设e1，e2是平面内一组基底，且ae12e2，be1e2，那么向量e1e2可以表示为另一组基底a，b的线性组合，即e1e2.2向量a，b(x,1)，其中x0，假设(a2b)(2ab)，那么x.根底稳固题组1如图，设O是平行四边形的两条对角线，的交点，以下向量组：及；及；及；及，其中可作为这个平行四边形所在

7、平面的一组基底的是()A B C D2点A(1,5)和向量a(2,3)，假设3a，那么点B的坐标为()A(7,4) B(7,14) C(5,4) D(5,14)3.如图，在中，P为线段上的一点，x y ，且2 ，那么()Ax，y Bx，yCx，y Dx，y4向量a(1,1)，b(3，m)，a(ab)，那么m()A2 B2 C3 D35在中，点P在上，且2，点Q是的中点，假设(4,3)，(1,5)，那么等于()A(2,7) B(6,21)C(2，7) D(6，21)6假设三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(0)共线，那么的值为7向量(3，4)，(0，3)，(5m，3m)，假设点A，B，

8、C能构成三角形，那么实数m满足的条件是8设D，E分别是的边，上的点，.假设1 2 (1，2为实数)，那么12的值为9a(1,2)，b(3,2)，当k为何值时，b及a3b平行？平行时它们是同向还是反向？10点O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，t1 t2 .(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t11时，不管t2为何实数，A，B，M三点都共线能力提升题组1在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p(ac，b)，q(ba，ca)，假设pq，那么角C的大小为()A30 B60 C90 D1202.如下图，A，B，C是圆O上的三点，的延长线及线段的延长线交于圆O外一点D

9、，假设m ，那么mn的取值范围是() A(0,1) B(1，) C(，1) D(1,0)3设(1，2)，(a，1)，(b,0)，a0，b0，O为坐标原点，假设A，B，C三点共线，那么的最小值为4.如图，点A(1,0)，B(0,2)，C(1，2)，求以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐第3讲平面向量的数量积考点一平面向量数量积的运算【例1】 (1)a(1,2)，2ab(3,1)，那么ab()A2 B3 C4 D5(2)设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，假设ae13e2，b2e1，那么向量a在b方向上的射影为【训练1】 (1)假设向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)

10、满足条件(8ab)c30，那么x()A6 B5 C4 D3(2)向量及的夹角为120，且|3，且，那么实数的值为考点二向量的夹角及向量的模【例2】 (1)假设非零向量a，b满足32，那么a及b夹角的余弦值为(2)向量a，b满足ab0，1，2，那么|2a.【训练2】 (1)向量a，b夹角为45，且1，|2a，那么.(2)假设平面向量a，b满足1，1，且以向量a，b为邻边的平行四边形的面积为，那么a和b的夹角的取值范围是考点三平面向量的垂直问题【例3】 a( ， )，b( ， )(0)(1)求证：ab及ab互相垂直；(2)假设b及a的模相等，求(其中k为非零实数)，【训练3】 平面向量a(，1)，

11、b.(1)证明：ab；(2)假设存在不同时为零的实数k和t，使ca(t23)b，d，且cd，试求函数关系式kf(t) 教你审题5数量积的计算问题M，N分别是边，上的点，且满足，那么的取值范围是【自主体验】在矩形中，2，点E为的中点，点F在边上，假设，那么的值是根底稳固题组1向量a(1,2)，b(0,2)，那么ab()A2 B(0,4) C4 D(1,4)2在边长为2的菱形中，120，那么在方向上的投影为() C1 D23向量a(，1)，b(0,1)，c(k，)假设a2b及c垂直，那么k()A3 B2 C1 D14假设非零向量a，b满足，且(2ab)b0，那么向量a，b的夹角为() 5在四边形中

12、，(1,2)，(4,2)，那么该四边形的面积为() B2 C5 D106两个单位向量a，b的夹角为60，c(1t)b.假设bc0，那么t.7在平面直角坐标系中，(3，1)，(0,2)假设0，那么实数的值为8.，在中，O为中点，假设1，3，60，那么|.9平面向量a(1，x)，b(2x3，x)(xR)(1)假设ab，求x的值；(2)假设ab，求.104，3，(2a3b)(2ab)61，(1)求a及b的夹角；(2)求；(3)假设a，b，求的面积能力提升题组1假设两个非零向量a，b满足2，那么向量ab及a的夹角为() 2在中，设222，那么动点M的轨迹必通过的()A垂心 B内心 C外心 D重心3设e

13、1，e2为单位向量，非零向量b12，x，yR.假设e1，e2的夹角为，那么的最大值等于4设两向量e1，e2满足1|2，2|1，e1，e2的夹角为60，假设向量217e2及向量e12的夹角为钝角，求实数t的取值范围考点一向量在平面几何中的应用【例1】 (1)(2021新课标全国卷)正方形的边长为2，E为的中点，那么.(2)(2021天津卷)在平行四边形中，1，60，E为的中点假设1，那么的长为审题路线(1)法一：把向量及分别用基底，表示法二：建立平面直角坐标系求向量，的坐标(2)把向量及分别用基底，表示利用1整理建立关于|的一元二次方程解得|.解析(1)法一()2222222.法二以A为原点建立

14、平面直角坐标系(如图)那么A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，E(1,2)(1,2)，(2,2)从而(1,2)(2,2)1(2)222.(2)由题意可知，.因为1，所以()1，即221.因为|1，60，所以|，因此式可化为1|21，解得|0(舍去)或，所以的长为.答案(1)2(2)规律方法 用平面向量解决平面几何问题时，有两种方法：基向量法和坐标系法，建立平面直角坐标系时一般利用的垂直关系，或使较多的点落在坐标轴上，这样便于迅速解题【训练1】 (1)(2021杭州质检)在边长为1的菱形中，60，E是的中点，那么() (2)在所在平面上有一点P，满足，那么及的面积之比值是()

15、 解析(1)建立如图平面直角坐标系，那么，.E点坐标为，(，0)，.(2)由可得2，P是线段的三等分点(靠近点A)，易知SS，即SS13.答案(1)D(2)A考点二向量在三角函数中的应用【例2】 设向量a(4 ， )，b( ，4 )，c( ，4 )(1)假设a及b2c垂直，求()的值；(2)求的最大值；(3)假设 16，求证：ab.(1)解因为a及b2c垂直，所以a(b2c)4 8 4 8 4()8()0，因此()2.(2)解由bc( ，4 4 )，得4.又当k(kZ)时，等号成立，所以的最大值为4.(3)证明由 16，得，所以ab.规律方法 (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，

16、运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等【训练2】 (2021江苏卷)向量a( ， )，b( ， )，0.(1)假设，求证：ab；(2)设c(0,1)，假设abc，求，的值解(1)由题意得22，即(ab)2a22abb22.又因为a2b2221，所以22ab2，即ab0，故ab.(2)因为ab( ， )(0,1)，所以由此得， ()，由0，得0，又0，故.代入 1得， ，而，所以，.学生用书第77页考点三向量在解析几何中的应用【例

17、3】 (2021湖南卷)平面上一定点C(2,0)和直线l：x8，P为该平面上一动点，作l，垂足为Q，且0.(1)求动点P的轨迹方程；(2)假设为圆N：x2(y1)21的任一条直径，求的最值解(1)设P(x，y)，那么Q(8，y)由()()0，得|2|20，即(x2)2y2(x8)20，化简得1.所以点P在椭圆上，其方程为1.(2)因()()()()()2221，P是椭圆1上的任一点，设P(x0，y0)，那么有1，即16，又N(0,1)，所以2(y01)22y017(y03)220.因y02，2，所以当y03时，2取得最大值20，故的最大值为19；当y02时，2取得最小值为134(此时x00)，

18、故的最小值为124.规律方法 向量在解析几何中的作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题(2)工具作用：利用abab0；abab(b0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比拟可行的方法【训练3】 点P(0，3)，点A在x轴上，点Q在y轴的正半轴上，点M满足0，当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程解设M(x，y)为所求轨迹上任一点，设A(a,0)，Q(0，b)(b0)，那么(a,3

19、)，(xa，y)，(x，by)，由0，得a(xa)3y0.由，得(xa，y)(x，by)，把a代入，得3y0，整理得yx2(x0)所以动点M的轨迹方程为yx2(x0) 1向量的坐标运算将向量及代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题2以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量及函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法3解析几何问题和向量的联系：可将向量用点的坐标表示，利用向量运算及性质解决解析几何问题 创新突破5破解平面向量及圆的交汇问题【典例】 (2021湖南卷改

20、编)a，b是单位向量，ab0.假设向量c满足a1，那么的最大值为突破1：根据条件转化到平面直角坐标系中突破2：把条件坐标化突破3：把坐标化后的式子配方整理可得到圆的方程突破4：利用圆的知识求.解析建立如下图的直角坐标系，由题意知ab，且a及b是单位向量，可设a(1,0)，b(0,1)，c(x，y)cab(x1，y1)，a1，(x1)2(y1)21，即点C(x，y)的轨迹是以M(1,1)为圆心，1为半径的圆而，的最大值为1，即1.答案1反思感悟 平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进展判

21、断；二是“数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值及值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决此题采用了“形化及“数化的结合，利用坐标运算将问题转化为圆的知识解决【自主体验】1外接圆的半径为1，圆心为O，且2 0，|，那么() C3 D2解析由2 0，得2 0，即，即O，B，C三点共线，为外接圆的直径，故90.又|，得B60，所以C30，且|(如下图)所以 3023.答案C2给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如下图，点C在以O为圆心的圆弧上运动假设x y ，其中x，yR，那么xy的最大值是解析法一以O为坐标原点，所在的直线为x轴

22、建立平面直角坐标系，如下图，那么A(1,0)，设，那么C( ， )，由x y ，得所以x ，y ，所以xy 2，又，所以当时，xy取得最大值2.法二依题意，|1，那么|21，又，|1，120，x22y2221，因此x2y22 1201，x2y21.3(xy)2132，即(xy)24.xy的最大值是2.答案2根底稳固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1(2021邵阳模拟)a(1，2x)，b(2， 2x)，其中x(0，)假设，那么 x的值等于()A1 B1 C 解析由知，ab.所以 2x22x，即2 x22x，而x(0，)，所以 x x，即x，故 x1.答案A2(2021南昌模拟)假设2 15，

23、4 15，a及b的夹角为30，那么ab的值是() C2 解析ab 308 15 154 30.答案B3.(2021哈尔滨模拟)函数yx的局部图象如下图，那么()()A4 B6 C1 D2解析由条件可得B(3,1)，A(2,0)，()()()221046.答案B42，0且关于x的方程x2ab0有两相等实根，那么向量a及b的夹角是()A B 解析由可得24ab0，即42422 0， ，又0，.答案D5(2021安庆二模)在中，a，b，c分别为角A，B，C所对应的三角形的边长，假设4a23c0，那么 B()A D解析由4a23c0，得4a3c22b()22，所以4a3c2b.由余弦定理得 B.答案A

24、二、填空题6在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，假设1，那么c.解析由题意知2，即()22c|.答案7(2021南通一调)在中，假设1，|，那么.解析易知满足|的A，B，C构成直角三角形的三个顶点，且A为直角，于是|1 60.答案8(2021东北三校一模)设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，假设(3bc) A C，S，那么.解析依题意得(3 B C) A C，即3 A C A(AC) B0，于是有 A， A，又S A，所以3，(A) A31.答案1三、解答题9圆C：(x3)2(y3)24及点A(1,1)，M是圆C上的任意一点，点N在线段的延长线上，且2，求点N的轨迹方程解设M(

25、x0，y0)，N(x，y)由2，得(1x0,1y0)2(x1，y1)，点M(x0，y0)在圆C上，(x03)2(y03)24，即(32x3)2(32y3)24.x2y21.所求点N的轨迹方程是x2y21.10(2021北京海淀模拟)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，假设k(kR)(1)判断的形状；(2)假设c，求k的值解(1) A， B，又， A B， A B，即 B A0，(AB)0，AB，AB，即为等腰三角形(2)由(1)知， Ak，c，k1.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1向量(2,0)，向量(2,2)，向量( ， )，那么向量及向量的夹角的取值范围是() 解析由题

26、意，得(2 ，2 )，所以点A的轨迹是圆(x2)2(y2)22，如图，当A位于使直线及圆相切时，向量及向量的夹角分别到达最大、最小值，应选D.答案D2(2021北京东城区期末)是等边三角形，且，|，那么四边形的面积为() C3 解析如下图，22，即322，|，|2 603，|2.又，|1，|2|2|2，.S四边形SS22 601 ，应选B.答案B二、填空题3(2021苏锡常镇二调)向量a，b满足，1，且对一切实数x，恒成立，那么a及b的夹角大小为解析，1，对一切实数x恒成立，两边平方整理得x22a2ab10对一切实数x恒成立，所以(2ab)24(2ab1)0，即(ab1)20，所以ab1，故，

27、又0，所以，即a，b的夹角是.答案三、解答题4(2021南通模拟)向量m，n.(1)假设mn1，求的值；(2)记f(x)mn，在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2ac) B C，求函数f(A)的取值范围解(1)mn 2 ，mn1，.122，.(2)(2ac) B C，由正弦定理得(2 A C) B C，2 B B C.2 B(BC)ABC，(BC) A0. B，0B，B，0A.，.又f(x)，f(A).故函数f(A)的取值范围是.方法强化练平面向量(对应学生用书P283)(建议用时：90分钟)一、选择题1(2021福建质检)向量a(m2,4)，b(1,1)，那么“m2”是“ab

28、的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析依题意，当m2时，a(4,4)，b(1,1)，所以a4b，即ab，即由m2可以推出ab；当ab时，m24，得，m2，所以不能推得m2，即“m2是“ab的充分不必要条件答案A2(2021德州一模)向量a(2,3)，b(k,1)，假设a2b及ab平行，那么k的值是()A6 B D14解析由题意得a2b(22k,5)，且ab(2k,2)，又因为a2b和ab平行，那么2(22k)5(2k)0，解得k.答案C3(2021浙江五校联考)21，那么2()A9 B3 C1 D2解析由21，得a24ab4b21，4ab4，22a24a

29、b4b2549，23.答案B4(2021郑州一模)平面向量a(2，m)，b(1，)，且(ab)b，那么实数m的值为()A2 B2 C4 D6解析因为(ab)b，所以(ab)babb20，即2m40，解得m2.答案B5(2021长春一模)1，6，a(ba)2，那么向量a及b的夹角为() 解析a(ba)aba22，所以ab3，所以.所以.答案B6(2021潮州二模)向量a(1， )，b(1,2 )且ab，那么 2等于()A1 B0 C 解析abab0，即1220， 20.答案B7(2021成都期末测试)O是所在平面内一点，D为边中点，且20，那么有()2 3 D2解析由20，得22，即22，所以，

30、即O为的中点答案B8(2021潍坊一模)平面上有四个互异点A，B，C，D，(2)()0，那么的形状是()A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D无法确定解析由(2)()0，得()()()0，所以()()0.所以|2|20，|，故是等腰三角形答案B9(2021兰州一模)在中，G是的重心，的边长分别为2,1，60.那么()A B D解析由2，1，60，所以，90，将直角三角形放入直角坐标系中，如下图，那么A(0,1)，B(，0)，所以重心，所以，所以.答案A10(2021皖南八校第三次联考)正方形(字母顺序是ABCD)的边长为1，点E是边上的动点(可以及A或B重合)，那么的最大值是()A1

31、C0 D1解析建立直角坐标系如下图，设E(x,0)，x0,1，那么D(0,1)，C(1,1)，B(1,0)，所以(x，1)(1,0)x，当x0时取得最大值0.答案C二、填空题11(2021济南模拟)假设a(1，2)，b(x,1)，且ab，那么x.解析由ab，得abx20，x2.答案212(2021昆明期末考试)向量a(1,1)，b(2,0)，那么向量a，b的夹角为解析a(1,1)，b(2,0)，2，.答案13(2021杭州质检)在中，C90，A30，1，D为斜边的中点，那么.解析()212 301.答案114(2021湖南长郡中学、衡阳八中联考)G1，G2分别为A1B1C1及A2B2C2的重心

32、，且e1，e2，e3，那么(用e1，e2，e3表示)解析由e1，e2，e3，且G1，G2分别为A1B1C1及A2B2C2的重心，所以C1G10，0，将相加得(e1e2e3)答案(e1e2e3)三、解答题15(2021漯河调研)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，向量a(2,1)，A(1,0)，B( ，t)(1)假设a，且|，求向量的坐标；(2)假设a，求y2 t2的最小值解(1)( 1，t)，又a，2t 10. 12t.又|，( 1)2t25.由得，5t25，t21.t1.当t1时， 3(舍去)，当t1时， 1，B(1，1)，(1，1)(2)由(1)可知t，y2 2 2，当 时，.16设向量a(

33、 x， x)，b( x， x)，x.(1)假设，求x的值；(2)设函数f(x)ab，求f(x)的最大值解(1)由2( x)2( x)242 x，2( x)2( x)21，及，得42 x1.又x，从而 x，所以x.(2)f(x)ab x x2 x 2x 2x，当x时，取最大值1.所以f(x)的最大值为.17(2021银川调研)点G是的重心，M是边的中点(1)求；(2)假设过的重心G，且a，b，求证：3.(1)解2，又2，0.(2)证明显然(ab)因为G是的重心，所以(ab)由P，G，Q三点共线，得，所以，有且只有一个实数，使.而(ab)ab，(ab)ab，所以ab.又因为a，b不共线，所以消去，整理得3mn，故3.18(2021太原模拟)f(x)ab，其中a(2 x， 2x)，b( x,1)(xR)(1)求f(x)的周期和单调递减区间；(2)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f(A)1，a，3，求边长b和c的值(bc)解(1)由题意知，f(x)22x 2x1 2x 2x12，f(x)的最小正周期T，y x在2k，2k(kZ)上单调递减，令2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)f(x)的单调递减区间，kZ.(2)f(A)121，1.又2A，2A.A.3，即6，由余弦定理得a2b2c22 A(bc)23,7(bc)218，bc5，又bc，b3，c2.