小学四年级数学奥数基础教程.doc

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1、小学奥数根底教程四年级第1讲 速算与巧算一 第2讲 速算与巧算二 第3讲 高斯求和 第4讲 4，8，9整除数特征 第5讲 弃九法 第6讲 数整除性二 第7讲 找规律一第8讲 找规律二第9讲 数字谜一第10讲 数字谜二第11讲 归一问题与归总问题第12讲 年龄问题第13讲 鸡兔同笼问题与假设法第14讲 盈亏问题与比拟法一第15讲 盈亏问题与比拟法二第16讲 数阵图一第17讲 数阵图二第18讲 数阵图三第19将 乘法原理第20讲 加法原理一第21讲 加法原理二第22讲 复原问题一第23讲 复原问题二第24讲 页码问题第25讲 智取火柴第26讲 逻辑问题一第27讲 逻辑问题二第28讲 最不利原那么第

2、29讲 抽屉原理一第30讲 抽屉原理二第1讲 速算与巧算一计算是数学根底，小学生要学好数学，必须具有过硬计算本领。准确、快速计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力开展。我们在三年级已经讲过一些四那么运算速算与巧算方法，本讲和下一讲主要介绍加法基准数法和乘法补同与同补速算法。例1 四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验成绩分数如下：86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。求这10名同学总分。分析与解：通常做法是将这10个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。观察这些数不难发

3、现，这些数虽然大小不等，但相差不大。我们可以选择一个适当数作“基准，比方以“80作基准，这10个数与80差如下：6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-号表示这个数比80小。于是得到总和=80106-2-3311-8009809。实际计算时只需口算，将这些数与80差逐一累加。为了清楚起见，将这一过程表示如下：通过口算，得到差数累加为9，再加上8010，就可口算出结果为809。例1所用方法叫做加法基准数法。这种方法适用于加数较多，而且所有加数相差不大情况。作为“基准数如例180叫做基准数，各数与基准数差和叫做累计差。由例1得到：总和数=基准数加数个数+累计差，平均数=基准

4、数+累计差加数个数。在使用基准数法时，应选取与各数差较小数作为基准数，这样才容易计算累计差。同时考虑到基准数与加数个数乘法能够方便地计算出来，所以基准数应尽量选取整十、整百数。例2 某农场有10块麦田，每块产量如下单位：千克：462，480，443，420，473，429，468，439，475，461。求平均每块麦田产量。解：选基准数为450，那么累计差=123073023211811251150，平均每块产量=4505010455千克。答：平均每块麦田产量为455千克。求一位数平方，在乘法口诀九九表中已经被同学们熟知，如7749七七四十九。对于两位数平方，大多数同学只是背熟了1020平方，

5、而2199平方就不大熟悉了。有没有什么窍门，能够迅速算出两位数平方呢？这里向同学们介绍一种方法凑整补零法。所谓凑整补零法，就是用所求数与最接近整十数差，通过移多补少，将所求数转化成一个整十数乘以另一数，再加上零头平方数。下面通过例题来说明这一方法。例3 求292和822值。解：292=292929129-11230281840+1841。822828282282222808446720+46724。由上例看出，因为29比30少1，所以给29“补1，这叫“补少；因为82比80多2，所以从82中“移走2，这叫“移多。因为是两个一样数相乘，所以对其中一个数“移多补少后，还需要在另一个数上“找齐。本例

6、中，给一个29补1，就要给另一个29减1；给一个82减了2，就要给另一个82加上2。最后，还要加上“移多补少数平方。由凑整补零法计算352，得3535403052=1225。这与三年级学个位数是5数平方速算方法结果一样。这种方法不仅适用于求两位数平方值，也适用于求三位数或更多位数平方值。例4 求9932和20042值。解：9932=9939939937993-7+7210009864998600049986049。20042=200420042004-42004+442200020211616。下面，我们介绍一类特殊情况乘法速算方法。请看下面算式：6646，7388，1944。这几道算式具有一

7、个共同特点，两个因数都是两位数，一个因数十位数与个位数一样，另一因数十位数与个位数之和为10。这类算式有非常简便速算方法。例5 8864？分析与解：由乘法分配律和结合律，得到88648086048086080848060860804848060806804848060648480601084861100+84。于是，我们得到下面速算式：由上式看出，积末两位数是两个因数个位数之积，本例为84；积中从百位起前面数是“个位与十位一样因数十位数与“个位与十位之和为10因数十位数加1乘积，本例为861。例6 7791？解：由例3解法得到由上式看出，当两个因数个位数之积是一位数时，应在十位上补一个0，本例

8、为7107。用这种速算法只需口算就可以方便地解答出这类两位数乘法计算。练习11.求下面10个数总和：165，152，168，171，148，156，169，161，157，149。2.农业科研小组测定麦苗生长情况，量出12株麦苗高度分别为单位：厘米：26，25，25，23，27，28，26，24，29，27，27，25。求这批麦苗平均高度。3.某车间有9个工人加工零件，他们加工零件个数分别为：68，91，84，75，78，81，83，72，79。他们共加工了多少个零件？4.计算：131610+1117121512161312。5.计算以下各题：1372； 2532； 3912；4682： 51

9、082； 63972。6.计算以下各题：17728；26655；33319；48244；53733；64699。练习1 答案1.1596。 2.26厘米。3.711个。 4.147。5.11369； 22809； 38281；44624； 511664； 6157609。6.12156； 23630； 3627；43608； 51221； 64554。第2讲 速算与巧算二上一讲我们介绍了一类两位数乘法速算方法，这一讲讨论乘法“同补与“补同速算法。两个数之和等于10，那么称这两个数互补。在整数乘法运算中，常会遇到像7278，2686等被乘数与乘数十位数字一样或互补，或被乘数与乘数个位数字一样或互

10、补情况。7278被乘数与乘数十位数字一样、个位数字互补，这类式子我们称为“头一样、尾互补型；2686被乘数与乘数十位数字互补、个位数字一样，这类式子我们称为“头互补、尾一样型。计算这两类题目，有非常简捷速算方法，分别称为“同补速算法和“补同速算法。例1 17674？ 23139？分析与解：本例两题都是“头一样、尾互补类型。1由乘法分配律和结合律，得到76747670+470670764707067070464707064647070106477+110064。于是，我们得到下面速算式：2与1类似可得到下面速算式：由例1看出，在“头一样、尾互补两个两位数乘法中，积末两位数是两个因数个位数之积不够

11、两位时前面补0，如1909，积中从百位起前面数是被乘数或乘数十位数与十位数加1乘积。“同补速算法简单地说就是：积末两位是“尾尾，前面是“头头+1。我们在三年级时学到1515，2525，9595速算，实际上就是“同补速算法。例2 17838？ 24363？分析与解：本例两题都是“头互补、尾一样类型。1由乘法分配律和结合律，得到78387083087083070887030+83070888703083070887310081008873810088。于是，我们得到下面速算式：2与1类似可得到下面速算式：由例2看出，在“头互补、尾一样两个两位数乘法中，积末两位数是两个因数个位数之积不够两位时前面补

12、0，如3309，积中从百位起前面数是两个因数十位数之积加上被乘数或乘数个位数。“补同速算法简单地说就是：积末两位数是“尾尾，前面是“头头+尾。例1和例2介绍了两位数乘以两位数“同补或“补同形式速算法。当被乘数和乘数多于两位时，情况会发生什么变化呢？我们先将互补概念推广一下。当两个数和是10，100，1000，时，这两个数互为补数，简称互补。如43与57互补，99与1互补，555与445互补。在一个乘法算式中，当被乘数与乘数前面几位数一样，后面几位数互补时，这个算式就是“同补型，即“头一样，尾互补型。例如， 因为被乘数与乘数前两位数一样，都是70，后两位数互补，7723100，所以是“同补型。又

13、如，等都是“同补型。当被乘数与乘数前面几位数互补，后面几位数一样时，这个乘法算式就是“补同型，即“头互补，尾一样型。例如，等都是“补同型。在计算多位数“同补型乘法时，例1方法仍然适用。例3 1702708=？ 217081792？解：12计算多位数“同补型乘法时，将“头头+1作为乘积前几位，将两个互补数之积作为乘积后几位。注意：互补数如果是n位数，那么应占乘积后2n位，缺乏位补“0。在计算多位数“补同型乘法时，如果“补与“同，即“头与“尾位数一样，那么例2方法仍然适用见例4；如果“补与“同位数不一样，那么例2方法不再适用，因为没有简捷实用方法，所以就不再讨论了。例4 28657265？解：练习

14、2计算以下各题：62； 97；87； 39；62； 607；607； 6085。第3讲 高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天教师出了一道题让同学们计算：123499100？教师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：110029939849525051。1100正好可以分成这样50对数，每对数和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为1+10010025050。小高斯使用这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列求和问题。假设干个数排成一列称为数列，数列中每一个数称为一项，其中

15、第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如：11，2，3，4，5，100；21，3，5，7，9，99；38，15，22，29，36，71。其中1是首项为1，末项为100，公差为1等差数列；2是首项为1，末项为99，公差为2等差数列；3是首项为8，末项为71，公差为7等差数列。由高斯巧算方法，得到等差数列求和公式：和=首项+末项项数2。例1 1231999？分析与解：这串加数1，2，3，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。由等差数列求和公式可得原式=1199919992。注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判

16、断题目中各个加数是否构成等差数列。例2 11121331？分析与解：这串加数11，12，13，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11121项。原式=11+31212=441。在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然，这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差关系，可以得到项数=末项-首项公差+1，末项=首项+公差项数-1。例3 371199？分析与解：3，7，11，99是公差为4等差数列，项数=9934125，原式=3992521275。例4 求首项是25，公差是3等差数列前40项和。解：末项=25340-1142，和=251424023340。利用等差数列求和公式及求

17、项数和末项公式，可以解决各种与等差数列求和有关问题。例5 在以下图中，每个最小等边三角形面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。问：1最大三角形面积是多少平方厘米？2整个图形由多少根火柴棍摆成？分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层小三角形数目及所用火柴数目如下表：由上表看出，各层小三角形数成等差数列，各层火柴数也成等差数列。解：1最大三角形面积为13515121158212768厘米2。2火柴棍数目为369+2432482=108根。答：最大三角形面积是768厘米2，整个图形由108根火柴摆成。例6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二

18、次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球？分析与解：一只球变成3只球，实际上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了22只球第十次多了210只球。因此拿了十次后，多了212221021210255110只。加上原有3只球，盒子里共有球1103113只。综合列式为：3-11210321101023113只。练习31.计算以下各题：1246200；217192139；358111450；43101724101。2.求首项是5，末项是93，公差是4等差数列和。3.求首项是13，公差是5等差数列前3

19、0项和。4.时钟在每个整点敲打，敲打次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。问：时钟一昼夜敲打多少次？5.求100以内除以3余2所有数和。6.在所有两位数中，十位数比个位数大数共有多少个？第四讲我们在三年级已经学习了能被2，3，5整除数特征，这一讲我们将讨论整除性质，并讲解能被4，8，9整除数特征。数整除具有如下性质：性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数和与差也一定能被这个自然数整除。例如，21与15都能被3整除，那么2115及21-15都能被3

20、整除。性质3 如果一个数能分别被两个互质自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质自然数乘积整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9763整除。利用上面关于整除性质，我们可以解决许多与整除有关问题。为了进一步学习数整除性，我们把学过和将要学习一些整除数字特征列出来：1一个数个位数字如果是0，2，4，6，8中一个，那么这个数就能被2整除。2一个数个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。3一个数各个数位上数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。4一个数末两位数如果能被4或25整除，那么这个数就能被4或25整除。5一个数末三位数如果能被8或125整除，那

21、么这个数就能被8或125整除。6一个数各个数位上数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。其中123是三年级学过内容，456是本讲要学习内容。因为100能被4或25整除，所以由整除性质1知，整百数都能被4或25整除。因为任何自然数都能分成一个整百数与这个数后两位数之和，所以由整除性质2知，只要这个数后两位数能被4或25整除，这个数就能被4或25整除。这就证明了4。类似地可以证明5。6正确性，我们用一个具体数来说明一般性证明方法。83780030781003107899139178998393789939837。因为99和9都能被9整除，所以根据整除性质1和性质2知，8x993x9能被9整

22、除。再根据整除性质2，由837能被9整除，就能判断837能被9整除。利用456还可以求出一个数除以4，8，9余数：4一个数除以4余数，与它末两位除以4余数一样。5一个数除以8余数，与它末三位除以8余数一样。6一个数除以9余数，与它各位数字之和除以9余数一样。例1 在下面数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？234，789，7756，8865，3728.8064。解：能被4整除数有7756，3728，8064；能被8整除数有3728，8064；能被9整除数有234，8865，8064。例2 在四位数562中，被盖住十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除？解：如果56

23、2能被9整除，那么56213应能被9整除，所以当十位数是5，即四位数是5652时能被9整除；如果562能被8整除，那么62应能被8整除，所以当十位数是3或7，即四位数是5632或5672时能被8整除；如果562能被4整除，那么2应能被4整除，所以当十位数是1，3，5，7，9，即四位数是5612，5632，5652，5672，5692时能被4整除。到现在为止，我们已经学过能被2，3，5，4，8，9整除数特征。根据整除性质3，我们可以把判断整除范围进一步扩大。例如，判断一个数能否被6整除，因为623，2与3互质，所以如果这个数既能被2整除又能被3整除，那么根据整除性质3，可判定这个数能被6整除。同

24、理，判断一个数能否被12整除，只需判断这个数能否同时被3和4整除；判断一个数能否被72整除，只需判断这个数能否同时被8和9整除；如此等等。例3 从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被2，5，3整除数，并将这些数从小到大进展排列。解：因为组成三位数能同时被2，5整除，所以个位数字为0。根据三位数能被3整除特征，数字和270与570都能被3整除，因此所求这些数为270，570，720，750。例4 五位数能被72整除，问：A与B各代表什么数字？分析与解：能被72整除。因为7289，8和9是互质数，所以既能被8整除，又能被9整除。根据能被8整除数特征，要求能被8整除，由此可确定B6。再根据

25、能被9整除数特征，各位数字之和为A329BA3f296A20，因为lA9，所以21A2029。在这个范围内只有27能被9整除，所以A7。解答例4关键是把72分解成89，再分别根据能被8和9整除数特征去讨论B和A所代表数字。在解题顺序上，应先确定B所代表数字，因为B代表数字不受A取值大小影响，一旦B代表数字确定下来，A所代表数字就容易确定了。例5 六位数是6倍数，这样六位数有多少个？分析与解：因为623，且2与3互质，所以这个整数既能被2整除又能被3整除。由六位数能被2整除，推知A可取0，2，4，6，8这五个值。再由六位数能被3整除，推知3ABABA33A2B能被3整除，故2B能被3整除。B可取

26、0，3，6，9这4个值。由于B可以取4个值，A可以取5个值，题目没有要求AB，所以符合条件六位数共有5420个。例6 要使六位数能被36整除，而且所得商最小，问A，B，C各代表什么数字？分析与解：因为3649，且4与9互质，所以这个六位数应既能被4整除又能被9整除。六位数能被4整除，就要能被4整除，因此C可取1，3，5，7，9。要使所得商最小，就要使这个六位数尽可能小。因此首先是A尽量小，其次是B尽量小，最后是C尽量小。先试取A=0。六位数各位数字之和为12BC。它应能被9整除，因此BC6或BC15。因为B，C应尽量小，所以BC6，而C只能取1，3，5，7，9，所以要使尽可能小，应取B1，C5

27、。当A=0，B=1，C5时，六位数能被36整除，而且所得商最小，为150156364171。练习41能被4，8，9，24，36，72中哪几个数整除？2个位数是5，且能被9整除三位数共有多少个？3一些四位数，百位上数字都是3，十位上数字都是6，并且它们既能被2整除又能被3整除。在这样四位数中，最大和最小各是多少？4五位数能被12整除，求这个五位数。5有一个能被24整除四位数23，这个四位数最大是几？最小是几？6从0，2，3，6，7这五个数码中选出四个，可以组成多少个可以被8整除没有重复数字四位数？7在123左右各添一个数码，使得到五位数能被72整除。8学校买了72只小足球，发票上总价有两个数字已

28、经识别不清，只看到是元，你知道每只小足球多少钱吗？ 第5讲 弃九法从第4讲知道，如果一个数各个数位上数字之和能被9整除，那么这个数能被9整除；如果一个数各个数位上数字之和被9除余数是几，那么这个数被9除余数也一定是几。利用这个性质可以迅速地判断一个数能否被9整除或者求出被9除余数是几。例如，这个数，各个数位上数字之和为364573230，30被9除余3，所以这个数不能被9整除，且被9除后余数为3。但是，当一个数数位较多时，这种计算麻烦且易错。有没有更简便方法呢？因为我们只是判断这个式子被9除余数，所以但凡假设干个数和是9时，就把这些数划掉，如369，459，729，把这些数划掉后，最多只剩下一

29、个3如以下图，所以这个数除以9余数是3。这种将和为9或9倍数数字划掉，用剩下数字和求除以9余数方法，叫做弃九法。一个数被9除余数叫做这个数九余数。利用弃九法可以计算一个数九余数，还可以检验四那么运算正确性。例1 求多位数除以9余数。分析与解：利用弃九法，将和为9数依次划掉。只剩下7，6，1，5四个数，这时口算一下即可。口算知，7，6，5和是9倍数，又可划掉，只剩下1。所以这个多位数除以9余1。例2 将自然数1，2，3，依次无间隔地写下去组成一个数如果一直写到自然数100，那么所得数除以9余数是多少？分析与解：因为这个数太大，全部写出来很麻烦，在使用弃九法时不能逐个划掉和为9或9倍数数，所以要配

30、适宜当分析。我们已经熟知123945，而45是9倍数，所以每一组1，2，3，9都可以划掉。在199这九十九个数中，个位数有十组1，2，3，9，都可划掉；十位数也有十组1，2，3，9，也都划掉。这样在这个大数中，除了0以外，只剩下最后100中数字1。所以这个数除以9余1。在上面解法中，并没有计算出这个数各个数位上数字和，而是利用弃九法分析求解。此题还有其它简捷解法。因为一个数与它各个数位上数字之和除以9余数一样，所以题中这个数各个数位上数字之和，与12100除以9余数一样。利用高斯求和法，知此和是5050。因为5050数字和为5050=10，利用弃九法，弃去一个9余1，故5050除以9余1。因此

31、题中数除以9余1。例3 检验下面加法算式是否正确：。分析与解：假设干个加数九余数相加，所得和九余数应当等于这些加数和九余数。如果不等，那么这个加法算式肯定不正确。上式中，三个加数九余数依次为8，4，6，8+4+6九余数为0；和九余数为1。因为01，所以这个算式不正确。例4 检验下面减法算式是否正确：783。分析与解：被减数九余数减去减数九余数假设不够减，可在被减数九余数上加9，然后再减应当等于差九余数。如果不等，那么这个减法计算肯定不正确。上式中被减数九余数是3，减数九余数是6，由9+3-66知，原题等号左边九余数是6。等号右边九余数也是6。因为66，所以这个减法运算可能正确。值得注意是，这里

32、我们用是“可能正确。利用弃九法检验加法、减法、乘法见例5运算结果是否正确时，如果等号两边九余数不相等，那么这个算式肯定不正确；如果等号两边九余数相等，那么还不能确定算式是否正确，因为九余数只有0，1，2，8九种情况，不同数可能有一样九余数。所以用弃九法检验运算正确性，只是一种粗略检验。例5 检验下面乘法算式是否正确：468769537447156412。分析与解：两个因数九余数相乘，所得数九余数应当等于两个因数乘积九余数。如果不等，那么这个乘法计算肯定不正确。上式中，被乘数九余数是4，乘数九余数是6，4624，24九余数是6。乘积九余数是7。67，所以这个算式不正确。说明：因为除法是乘法逆运算

33、，被除数=除数商+余数，所以当余数为零时，利用弃九法验算除法可化为用弃九法去验算乘法。例如，检验383801253=1517正确性，只需检验1517253=383801正确性。练习51求以下各数除以9余数：1； 2；3； 46678254193。2求以下各式除以9余数：16723582564； 297256-47823；327836451； 43477+265841。3用弃九法检验以下各题计算正确性：122822250616；2334336112224；362363748；4123456789。4有一个2000位数A能被9整除，数A各个数位上数字之和是B，数B各个数位上数字之和是C，数C各个数

34、位上数字之和是D。求D。第6讲 数整除性二这一讲主要讲能被11整除数特征。一个数从右边数起，第1，3，5，位称为奇数位，第2，4，6，位称为偶数位。也就是说，个位、百位、万位是奇数位，十位、千位、十万位是偶数位。例如9位数768325419中，奇数位与偶数位如以下图所示：能被11整除数特征：一个数奇数位上数字之和与偶数位上数字之和差大数减小数如果能被11整除，那么这个数就能被11整除。例1 判断七位数能否被11整除。分析与解：奇数位上数字之和为1363=13，偶数位上数字之和为897=24，因为24-13=11能被11整除，所以能被11整除。根据能被11整除数特征，也能求出一个数除以11余数。

35、一个数除以11余数，与它奇数位上数字之和减去偶数位上数字之和所得差除以11余数一样。如果奇数位上数字之和小于偶数位上数字之和，那么应在奇数位上数字之和上再增加11整数倍，使其大于偶数位上数字之和。例2 求以下各数除以11余数：141873； 2296738185。分析与解：14831711=71107，所以41873除以11余数是7。2奇数位之和为26315=17，偶数位之和为978832。因为1732，所以应给17增加11整数倍，使其大于32。17+112-327，所以296738185除以11余数是7。需要说明是，当奇数位数字之和远远小于偶数位数字之和时，为了计算方便，也可以用偶数位数字之

36、和减去奇数位数字之和，再除以11，所得余数与11差即为所求。如上题2中，32-171114，所求余数是11-4=7。例3 求除以11余数。分析与解：奇数位是101个1，偶数位是100个9。9100-110111=79911=727，11-7=4，所求余数是4。例3还有其它简捷解法，例如每个“19奇偶数位上数字相差9-18， 奇数位上数字和与偶数位上数字和相差899=8911，能被11整除。所以例3相当于求最后三位数191除以11余数。例4 用3，3，7，7四个数码能排出哪些能被11整除四位数？解：只要奇数位和偶数位上各有一个3和一个7即可。有3377，3773，7337，7733。例5 用19

37、九个数码组成能被11整除没有重复数字最大九位数。分析与解：最大没有重复数字九位数是987654321，由97531-86425知，987654321不能被11整除。为了保证这个数尽可能大，我们尽量调整低位数字，只要使奇数位数字和增加3偶数位数字和自然就减少3，奇数位数字之和与偶数位数字之和差就变为532=11，这个数就能被11整除。调整“4321，只要4调到奇数位，1调到偶数位，奇数位就比原来增大3，就可到达目。此时，4，3在奇数位，2，1在偶数位，后四位最大是2413。所求数为987652413。例6 六位数能被99整除，求A和B。分析与解：由99=911，且9与11互质，所以六位数既能被9

38、整除又能被11整除。因为六位数能被9整除，所以A+2+8+7+5+B22+A+B应能被9整除，由此推知AB5或14。又因为六位数能被11整除，所以A8527BA-B4应能被11整除，即A-B+4=0或A-B+4=11。化简得B-A4或A-B7。因为A+B与A-B同奇同偶，所以有在1中，A5与A7不能同时满足，所以无解。在2中，上、下两式相加，得BAB-A144，2B18，B=9。将B=9代入AB=14，得A5。所以，A=5，B9。练习61为使五位数6295能被11整除，内应当填几？2用1，2，3，4四个数码能排出哪些能被11整除没有重复数字四位数？3求能被11整除最大没有重复数字五位数。4求以

39、下各数除以11余数：12485； 263582； 3987654321。5求除以11余数。6六位数5A634B能被33整除，求A+B。7七位数3A8629B是88倍数，求A和B。第7讲 找规律一我们在三年级已经见过“找规律这个题目，学习了如何发现图形、数表和数列变化规律。这一讲重点学习具有“周期性变化规律问题。什么是周期性变化规律呢？比方，一年有春夏秋冬四季，百花盛开春季过后就是夏天，赤日炎炎夏季过后就是秋天，果实累累秋季过后就是冬天，白雪皑皑冬季过后又到了春天。年复一年，总是按照春、夏、秋、冬四季变化，这就是周期性变化规律。再比方，数列0，1，2，0，1，2，0，1，2，0，是按照0，1，2

40、三个数重复出现，这也是周期性变化问题。下面，我们通过一些例题作进一步讲解。例1 节日夜景真漂亮，街上彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接3盏黄灯，然后又是5盏红灯、4盏蓝灯、3盏黄灯、这样排下去。问：1第100盏灯是什么颜色？2前150盏彩灯中有多少盏蓝灯？分析与解：这是一个周期变化问题。彩灯按照5红、4蓝、3黄，每12盏灯一个周期循环出现。11001284，所以第100盏灯是第9个周期第4盏灯，是红灯。215012=126，前150盏灯共有12个周期零6盏灯，12个周期中有蓝灯41248盏，最后6盏灯中有1盏蓝灯，所以共有蓝灯481=49盏。例2 有一串数，任何相邻四个数之和都等于25。第1个数是3，第6个数是6，第11个数是7。问：这串数中第24个数是几？前77个数和是多少？分析与解：因为第1，2，3，4个数和等于第2，3，4，5个数和，所以第1个数与第5个数一样。进一步可推知，第1，5，9，13，个数都一样。同理，第2，6，10，14，个数都一样，第3，7，11，15，个数都一样，第4，8，12，16个数都一样。也就是说，这串数是按照每四个数为一个周期循环出现。所以，第2个数等于第6个数，是6；第3个数等于第11个数，是7。前三个数依次是3，6，7，第四个数是25-3+6+7=9。这串数按照3，6，7，9顺序循环出现。第