初高中数学衔接课程5一元二次不等式与分式不等式讲义.docx

《初高中数学衔接课程5一元二次不等式与分式不等式讲义.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初高中数学衔接课程5一元二次不等式与分式不等式讲义.docx（7页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、初高中数学连接课程第五讲 方程及不等式5.1 二元二次方程组解法方程 是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程。其中,叫做这个方程的二次项,叫做一次项,6叫做常数项。我们看下面的两个方程组： 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组。下面我们主要来探讨由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法。一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解。例1 解方程组解：由,得x2y2， 把代入,整理,得8y28y0，即y(y1)

2、0。解得y10，y21。 把y10代入,得x12；把y21代入,得x20。 所以原方程组的解是；说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采纳本例所介绍的代入消元法来求解。例2解方程组解：由，得 把代入，整理，得解这个方程，得。把代入，得；把代入，得。所以原方程的解是；【例3】解方程组分析：本题可以用代入消元法解方程组，但留意到方程组的特点，可以把、看成是方程的两根，则更简洁求解。说明：(1) 对于这种对称性的方程组，利用一元二次方程的根及系数的关系构造方程时，未知数要换成异于、的字母，如。(2) 对称形方程组的解也应是对称的，即有解，则必有解。【例4】解方程组分析：留意到方程，可分解成，即

3、得或，则可得到两个二元二次方程组，且每个方程组中均有一个方程为二元一次方程。【例5】解方程组分析：本题的特点是方程组中的两个方程均缺一次项，我们可以消去常数项，可得到一个二次三项式的方程【例6】解方程组分析：留意到两个方程都有项，所以可用加减法消之，得到一个二元一次方程，即转化为由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组例7解下列方程组:（1） （2） （2） （3） （4）5.2、一元二次不等式及其解法初中阶段已经学习了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法。高中阶段将进一步学习一元二次不等式和分式不等式等学问。本讲先介绍一些高中新课标中关于不等式的必备学问。1形如的不等式称为关于的一

4、元二次不等式。2一元二次不等式及二次函数及一元二次方程的关系(简称：三个二次)。以二次函数为例：(1) 作出图象；(2) 依据图象简洁看到，图象及轴的交点是，即当时，。就是说对应的一元二次方程的两实根是。 (3) 当时，对应图像位于轴的上方。就是说的解是。当时，对应图像位于轴的下方。就是说的解是。一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下：(1) 将二次项系数先化为正数；(2) 观测相应的二次函数图象。假如图象及轴有两个交点，此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根(也可由根的判别式来推断)。那么(图1)： 假如图象及轴只有一个交点，此时对应的一元二次方程有两个

5、相的实数根(也可由根的判别式来推断)。那么(图2)： 无解假如图象及轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根 (也可由根的判别式来推断) 。那么(图3)： 取一实在数 无解假如单纯的解一个一元二次不等式的话，可以依据一下步骤处理：(1) 化二次项系数为正；(2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根那么”型的解为(俗称两根之外)；“”型的解为(俗称两根之间)；【例1】解不等式。【例2】解下列不等式： (1) (2) （x-1）(x+2)(x-2)(2x+1)分析：要先将不等式化为的形式，通常使二次项系数为正数。【例3】解下列不等式：(1) (2) (3) 【例4】已知对于随意实

6、数，恒为正数，务实数的取值范围。例5、函数yx22ax1(a为常数)在2x1上的最小值为n，试将n用a表示出来。分析：由该函数的图象可知，该函数的最小值及抛物线的对称轴的位置有关，于是须要对对称轴的位置进展分类探讨。解：y(xa)21a2， 抛物线yx22ax1的对称轴方程是xa。(1)若2a1，由图2.3-3可知,当xa时，该函数取最小值n1a2；(2)若a-2时, 由图2.3-3可知, 当x-2时，该函数取最小值n4a+5；(3)若a1时, 由图2.3-3可知, 当x1时，该函数取最小值n-2a+2。综上,函数的最小值为图2.33yO21xaxxyO21xaxyO21xa5.3分式不等式的

7、解法1，简洁分式不等式【例1】解下列不等式：(1) （2)说明：(1) 转化为整式不等式时，肯定要先将右端变为0。(2) 本例也可以干脆去分母，但应留意探讨分母的符号：2、可化为一元二次方程的分式方程1去分母化分式方程为一元二次方程【例2】解方程 。分析：去分母，转化为整式方程。说明：(1) 去分母解分式方程的步骤：把各分式的分母因式分解； 在方程两边同乘以各分式的最简公分母；去括号，把全部项都移到左边，合并同类项； 解一元二次方程； 验根。2用换元法化分式方程为一元二次方程【例3】解方程 分析：本题若干脆去分母，会得到一个四次方程，解方程很困难。但留意到方程的构造特点，设，即得到一个关于的一

8、元二次方程。最终在已知的值的状况下，用去分母的方法解方程。说明：用换元法解分式方程常见的错误是只求出的值，而没有求到原方程的解，即的值。【例4】解方程 分析：留意视察方程特点，可以看到分式及互为倒数。因此，可以设，即可将原方程化为一个较为简洁的分式方程。说明：解决分式方程的方法就是实行去分母、换元等法，将分式方程转化为整式方程，表达了化归思想3、可化为一元二次方程的无理方程根号下含有未知数的方程，叫做无理方程1平方法解无理方程【例1】解方程 分析：移项、平方，转化为有理方程求解 说明：含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤：移项，使方程的左边只保存含未知数的二次根式，其余各项均移到方程

9、的右边；两边同时平方，得到一个整式方程；解整式方程；验根【例2】解方程 分析：干脆平方将很困难可以把一个根式移右边再平方，这样就可以转化为上例的形式，再用例4的方法解方程 2换元法解无理方程【例3】解方程 分析：本题若干脆平方，会得到一个一元四次方程，难度较大留意视察方程中含未知数的二次根式及其余有理式的关系，可以发觉：因此，可以设，这样就可将原方程先转化为关于的一元二次方程处理 说明：解决根式方程的方法就是实行平方、换元等法，将根式方程转化为有理方程，表达了化归思想4、含有字母系数的一元二次不等式【例1】求关于的不等式的解。【例2】已知关于的不等式的解为，务实数的值。分析：将不等式整理成的形式，可以考虑只有当时，才有形如的解，从而令。课堂小练1、 解不等式：（1） x22x30； （2）xx260；（3）4x24x10； （4）x26x90； （5）4xx20。2不等式1的解集是_3，取什么值时,方程组有一个实数解?并求出这时方程组的解。4，解关于x的不等式x2(1a)xa0（a为常数）。5.关于x不等式2x2bxc0的解为x1，或x3。试解关于x的不等式bx2cx40。6试求关于x的函数yx2mx2在0x2上的最大值k。