历年名牌大学自主招生数学考试试题及答案.docx

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1、上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题一、填空题（每小题5分，共50分）1设函数满足，则 2设均为实数，且，则 3设且，则方程的解的个数为 4设扇形的周长为6，则其面积的最大值为 5 6设不等式与的解集分别为M和N若，则k的最小值为 7设函数，则 8设，且函数的最大值为，则 96名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 10已知函数，对于，定义，若，则 二、计算与证明题（每小题10分，共50分）11工件内圆弧半径测量问题为测量一工件的内圆弧半径，工人用三个半径均为的圆柱形

2、量棒放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒顶侧面的垂直深度，试写出用表示的函数关系式，并计算当时，的值12设函数，试讨论的性态（有界性、奇偶性、单调性和周期性），求其极值，并作出其在内的图像13已知线段长度为，两端均在抛物线上，试求的中点到轴的最短距离和此时点的坐标参考答案：1. 2. 3. 2 4. 5. 6. 27. 8. 9. 10. 11.，12. ；偶函数；周期为 13. ；14.略；反证法 15. 2；3；2008年交大冬令营数学试题参考答案2008.1.1一填空题1若，则22函数的最大值为_3等差数列中，则前项和取最大值时，的值为_204复数,若存在

3、负数使得，则5若，则6数列的通项公式为，则这个数列的前99项之和7中的系数为39212258数列中，此数列的通项公式为 9甲、乙两厂生产同一种商品甲厂生产的此商品占市场上的80%，乙厂生产的占20%；甲厂商品的合格率为95%，乙厂商品的合格率为90%若某人购买了此商品发现为次品，则此次品为甲厂生产的概率为10若曲线 与 的图像有3个交点，则 二解答题130个人排成矩形，身高各不相同把每列最矮的人选出，这些人中最高的设为；把每行最高的人选出，这些人中最矮的设为（）是否有可能比高？（）和是否可能相等？1 解：不可能 若为同一人，有； 若在同一行、列，则均有； 若不在同一行、列，同如图1以5*6的矩

4、形为例，记所在列与所在行相交的人为。因为为列最矮的人，所以有；又因为为列最高的人，所以有；于是有。综上，不可能有 有可能，不妨令30个人身高由矮至高分别为，如图2所示： 此时有3世界杯预选赛中，中国、澳大利亚、卡塔尔和伊拉克被分在A组，进行主客场比赛规定每场比赛胜者得三分，平局各得一分，败者不得分比赛结束后前两名可以晋级（）由于4支队伍均为强队，每支队伍至少得3分于是 甲专家预测：中国队至少得10分才能确保出线； 乙专家预测：中国队至少得11分才能确保出线问：甲、乙专家哪个说的对？为什么？（）若不考虑中条件，中国队至少得多少分才能确保出线？解：乙专家 若中国队得10分，则可能出现其余三队12分

5、、10分、10分的情况，以澳大利亚12分，卡塔尔10分，伊拉克3分为例，得分情况如下表。中国队无法确保晋级，因此甲专家说的不对。澳澳中中卡卡伊伊总分澳30303312中03130310卡03103310伊0030003 假设中国队得了11分而无法晋级，则必为第三名，而第一名、第二名均不少于11分，而第四名不少于3分。12场比赛四队总得分至多36分，所以前三名11分，第四名3分。而四队总分36分时不能出现一场平局，而11不是3的倍数，故出线平局，矛盾！ 所以中国队得11分可以确保出线。 若中国队得12分，则可能出线如表情况，仍无法确保晋级。澳澳中中卡卡伊伊总分澳30303312中03033312

6、卡03303312伊0000000 假设中国队得13分仍无法出线，则必为第3名，则第一名、第二名均不少于13分，总得分已经不少于39分大于36分，矛盾！ 故中国队至少得13分才可以确保出线。4通信工程中常用n元数组表示信息，其中或1，设，表示和中相对应的元素不同的个数（）问存在多少个5元数组 使得；（）问存在多少个5元数组 使得；（）令，求证：解：5； ；记中对应项同时为0的项的个数为，对应项同时为1的项的个数为，则对应项一个为1，一个为0的项的个数为；即是中1的个数，即是中1的个数，是中对应项一个为1，一个为0的项的个数。于是有中1一共有个，即所以有于是5曲线与圆交于两点，线段的中点在上，求

7、解：设， 联立与，得：知，； 且 得 又 所以 解得或（舍）2011年同济大学等九校(卓越联盟)自主招生 数学试题一、选择题,1.已知向量为非零向量,则夹角为( ) A. B. C. D. 2.已知则( ) A. B. C . D.3.在正方体中,为棱的中点,是棱上的点,且,则异面直线与所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 4.为虚数单位,设复数满足,则的最大值为( ) A. B. C. D. 5.已知抛物线的顶点在原点,焦点在轴上,三个顶点都在抛物线上,且的重心为抛物线的焦点,若边所在的直线方程为,则抛物线方程为( ) A. B. C. D. 6.在三棱柱中,底面边长与侧棱长均不等

8、于2,且为的中点,则点到平面的距离为( ) A. B. C. D. 7.若关于的方程有四个不同的实数解,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 8.如图,内接于,过中点作平行于的直线交于,交于,交在点处的切线于,若,则的长为( )OABCDEFGPl第8题图 A. B. C. D.9.数列共有11项,且 满足这种条件的不同数列的个数为( ) A. 100 B. 120 C. 140 D. 16010.设是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为的旋转,表示坐标平面关于轴的镜面反射.用表示变换的复合,先做,再做.用表示连续次的变换,则是( ) A. B. C. D.二、解答题13.已知椭圆的两个

9、焦点为,且椭圆与直线相切.(1)求椭圆的方程;(2)过作两条互相垂直的直线,与椭圆分别交于及,求四边形面积的最大值与最小值.14.一袋中有个白球和个黑球.从中任取一球,如果取出白球,则把它放回袋中;如果取出黑球,则该黑球不再放回,另补一个白球放到袋中.在重复次这样的操作后,记袋中白球的个数为.(1)求;(2)设,求(3)证明:参考答案:一.选择题二.解答题13.【解】设椭圆方程为,因为它与直线只有一个公共点,所以方程组只有一解,整理得.所以得.又因为焦点为,所以联立上式解得所以椭圆方程为.(2)若斜率不存在(或为0)时,则.若斜率存在时,设为,则为.所以直线方程为.设与椭圆交点坐标为联立方程化

10、简得.则所以同理可得所以 因为（当且仅当时取等号）所以,也所以所以综上所述,的面积的最小值为,最大值为2.14.【解】(1)时,袋中的白球的个数可能为个(即取出的是白球),概率为;也可能为个(即取出的是黑球),概率为,故.(2)首先,时,第次取出来有个白球的可能性有两种;第次袋中有个白球,显然每次取出球后,球的总数保持不变,即个白球(故此时黑球有个),第次取出来的也是白球,这种情况发生的概率为第次袋中有个白球,第次取出来的是黑球,由于每次球的总数为个,故此时黑球的个数为.这种情况发生的概率为.故(3)第次白球的个数的数学期望分为两类: 第次白球个数的数学期望,即.由于白球和黑球的总个数为,第次

11、取出来的是白球,这种情况发生的概率是;第次取出来的是黑球,这种情况发生的概率是,此时白球的个数是 故 清华大学保送生暨自主招生北京冬令营数学笔试试题（2009年12月30日）1.求的单调区间及极值.2.设正三角形边长为，是的中点三角形，为除去后剩下三个三角形内切圆面积之和.求.3.已知某音响设备由五个部件组成，A电视机，B影碟机，C线路，D左声道和E右声道，其中每个部件工作的概率如下图所示.能听到声音，当且仅当A与B中有一工作，C工作，D与E中有一工作；且若D和E同时工作则有立体声效果.A 0.90B 0.95C 0.95D 0.94E 0.94求：（1）能听到立体声效果的概率； （2）听不到

12、声音的概率.4.(1)求三直线，所围成三角形上的整点个数； (2)求方程组的整数解个数.5.已知，ABC是正三角形，且B、C在双曲线一支上.(1)求证B、C关于直线对称；(2)求ABC的周长.复旦大学2010年选拔生考试数学试题一、填空(每小题5分，共45分)1sinx+siny=0，则cos2x-sin2y=_2平面p1, p2成a的二面角，平面p1中的椭圆在平面p2中的射影是圆，那么椭圆短轴与长轴之比为_3(x2+2x+2)(y2-2y+2)1，则x+y=_4电话号码0，1不能是首位，则本市电话号码从7位升到8位，使得电话号码资源增加_52002=83a3+82a2+8a1+a0，0a0,

13、a1,a2,a37正整数，则a0=_6的常数项为_7_8空间两平面a,b，是否一定存在一个平面均与平面a,b垂直？_9在ABC中，cos(2A-C)cos(2C-B)，则此三角形的形状是_二、解答题(共87分)1求解：cos3xtan5xsin7x2数列3，3-lg2，,3-(n-1)lg2问当n为几时，前n项的和最大？3求证：xR时，|x-1|4|x3-1|4a为何值时，方程有解？只有一解？5一艘船向西以每小时10公里的速度航行，在它的西南方向有一台风中心正以每小时20公里速度向正北方向移动，船与台风中心距离300米，在台风中心周围100米处将受到影响，问此船航行受台风影响的时间段长度？6x

14、3-2y31的所有整数解(x,y)，试证明：1设f(x)的原函数是，则_2设，则函数(的最小值是_3方程的解x_4向量在向量上的投影_5函数的单调增加区间是_6两个等差数列200，203，206，和50，54，58都有100项，它们共同的项的个数是_7方程7x2-(k+13)x+k2-k-20的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则k的取值范围是_8将3个相同的球放到4个盒子中，假设每个盒子能容纳的球数不限，而且各种不同的放法的出现是等可能的，则事件“有3个盒子各放一个球”的概率是_2、选择题(本题共15分，每小题3分在每小题给出的4个选项中，只有一项正确，把所选项的字母填在括号内)1若今

15、天是星期二，则31998天之后是( )A星期四B星期三C星期二D星期一2用13个字母A，A，A，C，E，H，I，I，M，M，N，T，T作拼字游戏，若字母的各种排列是随机的，恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率是( )ABCD3方程cos2x-sin2x+sinxm+1有实数解，则实数m的取值范围是( )ABm -3Cm -1D4若一项数为偶数2m的等比数列的中间两项正好是方程x2+px+q0的两个根，则此数列各项的积是( )ApmBp2mCqmDq2m5设f (x0)2，则( )A-2B2C-4D43、证明与计算（本题61分）1(6分)已知正数列a1，a2，an，且对大于1的n有，

16、试证：a1，a2，an中至少有一个小于12(10分)设3次多项式f(x)满足：f(x+2)-f(-x)，f(0)1，f(3)4，试求f(x)3(8分)求极限4(10分)设在x0处可导，且原点到f(x)中直线的距离为，原点到f(x)中曲线部分的最短距离为3，试求b，c，l，m的值(b,c0)5(8分)证明不等式：，6(8分)两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是若射手甲先射，谁先命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概率OyxB1A2A1B27(11分)如图所示，设曲线上的点与x轴上的点顺次构成等腰直角三角形OB1A1，A1B2A2，直角顶点在曲线上试求An的坐标表达式，

17、并说明这些三角形的面积之和是否存在1. 数的位数是_。2. 求_。3. ，则用表示_。4. ，求_。5. ，求的最小值为_。6. 有一盒大小相同的球，它们既可排成正方形，又可排成一个正三角形，且正三角形每边上的球恰比每边上正方形多2个小球，球数为_。7. 数列中，求_。8. 展开式中系数为_。9. 一人排版，有三角形的一个角，大小为，角的两边一边长，一边长，排版时把长的那边错排成长，但发现角和对边长度没变，则_。10. 掷三粒骰子，三个朝上点恰成等差列的概率为_。11. ，则（ ）12. A B C D13. 某人向正东走，再左转朝新方向走了，结果离出发点，则（ ）A B C3 D不确定14.

18、 （ ）A B C D15. ，则（ ）A， B的面积 C对，第一象限 D，的圆心在上16. 一个圆盘被条等间隔半径与一条割线所分割，则不交叠区域最多有（ ）个A B C D17. （ ）A B C D18. 对，定义，则满足（ ）A交换律 B结合律 C都不 D都可19. ，则（ ）A3 B4 C5 D620. ，在上最小值为，求。21. ，求的最小值。22. ，求23. （为参数）求顶点轨迹，求在上截得最大弦长的抛物线及其长。24. 为递增数列，在上对应为，以与曲线围成面积为，若为的等比数列，求和。1三次多项式f(x)满足f(3)2f(1)，且有两个相等的实数根2，则第三个根为_2用长度为1

19、2的篱笆围成四边形，一边靠墙，则所围成面积S的最大值是_3已知，x+2y1，则的最小值是_4有4个数，前3个成等比数列，后3个成等差数列，首末两数和为32，中间两数和为24，则这四个数是_5已知f(x)=ax7+bx5+x2+2x-1，f(2)=-8，则f(-2)=_6投三个骰子，出现三个点数的乘积为偶数的概率是_7正四面体的各个面无限延伸，把空间分为_个部分8有n个元素的集合分为两部分，空集除外，可有_种分法9有一个整数的首位是7，当7换至末位时，得到的数是原数的三分之一，则原数的最小值是_10100!末尾连续有_个零二、解答题（本大题共60分，每题10分）11数列an的a1=1，a2=3，

20、3an+2=2an+1+an，求an和123个自然数倒数和为1求所有的解13已知x1000+x999(x+1)+(x+1)1000，求x50的系数14化简：(1) ；(2) 15求证：为最简分式1函数，当x=1时，则f(x)_2方程x2+(a-2)x+a+1=0的两根x1,x2在圆x2+y2=4上，则a=_3划船时有8人，有3人只能划右边，1人只能划左边，共有_种分配方法4Ax|log2(x2-4x-4)0，Bx|x+1|+|x-3|6，则=_5数列an的前n项和为Sn，若ak=kpk(1-p),(p1)，则Sk_6若(x-1)2+(y-1)2=1，则的范围是_7边长为4的正方形ABCD沿BD

21、折成60o二面角，则BC中点与A的距离是_8已知|z1|=2，|z2|=3，|z1+z2|=4，则=_9解方程，x_10(a0)，_二、解答题(本大题共120分)11已知|z|1，求|z2+z+4|的最小值12a1,a2,a3,an是各不相同的自然数，a2，求证：1，则_2已知，则的范围是_3椭圆，则椭圆内接矩形的周长最大值是_412只手套（左右有区别）形成6双不同的搭配，要从中取出4只正好能形成2双，有_种取法5已知等比数列中，且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项为_6的所有整数解之和为27，则实数的取值范围是_7已知，则的最大值为_8设是方程的两解，则=_9的非零解是_10的值域是_二、解答题（每题15分，共120分）1解方程：2已知，且，求3已知过两抛物线C1：，C2：的交点的各自的切线互相垂直，求4若存在，使任意（为函数的定义域），都有，则称函数有界问函数在上是否有界？5求证：一、填空题：1. 2. 3.20 4. 二、解答题：5证明1： =（而 原式1+=证明2： 原式