辽宁省沈阳市2016年高三第一次模拟考试理科数学含答案.docx

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1、2016年沈阳市高三教学质量监测（一）数 学（理科）第卷一选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知为虚数单位，则复数所对应的点在（ ）A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2. 设全集，集合，,则下列结论正确的是（ ） A B C D3.下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是（ ）ABC D4. 已知两个非零向量满意，且，则（ ）A. B. C. D. 5. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在探讨球的体积的过程中构造的一个和谐美丽的几何体它由完全一样的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的

2、侧面上，好像两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)其直观图如下左图，图中四边形是为表达其直观性所作的协助线当其主视图和侧视图完全一样时，它的俯视图可能是（ ）DCBA6.设等差数列满意，是数列的前n项和，则使得最大的自然数是（ ）第7题图A9 B. C. D. 7. 某函数局部图像如图所示，它的函数解析式可能是（ ）A B开场s=0，n=1n2016s=s+n= n +1输出s完毕是否第8题图C D8.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（ ）A B0 C D9实数满意，则的最大值是（ ）A2 B4 C6 D810.已知是双曲线上随意一点，过点分别作双曲线的两条渐近线的垂线，

3、垂足分别为、，则的值是（ ）ABCD不能确定11.将3本一样的小说，2本一样的诗集全局部给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（ ）A24种B28种C32种D36种12.已知函数的图象在点处的切线为，若也及函数，的图象相切，则必满意（ ）AB CD第卷本卷包括必考题和选考题两局部，第13题第21题为必考题，每个试题考生都必需做答第22题第24题为选考题，考生依据要求做答二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）13.已知，则=_.14.已知抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，过作于点，当（为坐标原点）时, _.15.设数列的前项和为，且，则_.

4、16.已知函数 若方程恰有一个解时，则实数的取值范围 .三.解答题：(本大题共6小题,共70分,解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本小题满分12分)在中，角、对应的边分别是、， ，且.()证明：；()若的面积是1，求边.18. (本小题满分12分)已知长方体中，为的中点，如图所示.()在所给图中画出平面及平面的交线（不必说明理由）；ACDA1B1C1BD1E()证明：平面；()求平面及平面所成锐二面角的大小.19. (本小题满分12分) 某中学依据20022014年期间学生的爱好爱好，分别创立了“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团胜利及

5、否互相独立.2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团的概率依次为、，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且.()求及的值；()该校依据三个社团活动支配状况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分.求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数的分布列及期望.20.（本小题满分12分）已知椭圆的中心在坐标原点，左、右焦点、分别在轴上,离心率为，在其上有一动点，到点间隔 的最小值是1.过、作一个平行四边形，顶点、都在椭圆上，如图所示.O()求椭

6、圆的方程；()推断能否为菱形，并说明理由.()当的面积取到最大值时，推断的形态，并求出其最大值.21.（本小题满分12分）已知函数（）在其定义域内有两个不同的极值点. ()求的取值范围；()记两个极值点分别为，且.已知,若不等式恒成立,求的范围.请考生在22，23，24三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑22.（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲如图所示，两个圆相内切于点，公切线为，外圆的弦，分别交内圆于、两点，并且外圆的弦恰切内圆于点.TABCDM()证明：；()证明：.23.（本小题满分10分）选修44：坐标系及参数方

7、程在以直角坐标原点为极点，的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线的方程是，将向上平移1个单位得到曲线.()求曲线的极坐标方程；()若曲线的切线交曲线于不同两点,切点为.求的取值范围.24.（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知命题“，”是真命题，记的最大值为，命题“，”是假命题，其中.()求的值；()求的取值范围.2016年沈阳市高三教学质量监测（一） 数学（理科）参考答案及评分标准一选择题1.A 2.D 3.C 4.B 5.B 6.A 7.C 8.B 9.B 10.A 11.B 12.D题1A ，其对应的点为，故选A.题2D 化简集合，从而A、C错，故选D.题3C A虽增却非奇非偶，B、D

8、是偶函数，由奇偶函数定义可知是奇函数，由复合函数单调性可知在其定义域内是增函数（或），故选C.题4B 由题， 而，故选B.题5B 题6A 解出的公差，于是的通项为，可见是减数列，且，于是， ，从而该题选A.题7C 不妨令该函数解析式为，由图知，于是，即，是函数减时经过的零点，于是，所以可以是，选C.题8B 由框图知输出的结果，因为函数的周期是6，所以，故选B.xoyABC题9B 依题画出可行域如图，可见及内部区域为可行域，令，则为直线在轴上的截距，由图知在点处取最大值是4，在处最小值是-2，所以，所以的最大值是4,故选B.题10A 令点，因该双曲线的渐近线分别是，所以，又所以，选A.此题可以用

9、特别位置法解决：令P为实轴右顶点，此时，选A.题11B 由题五本书分给四名同学，每名同学至少1本，那么这四名同学中有且仅有一名同学分到两本书，第一步骤，先选出一名同学，即：；这名同学分到的两本书有三种状况：两本小说，两本诗集或是一本小说和一本诗集，因为小说、诗集都不区分，所以在第一状况下有种分法（剩下三名同学中选一名同学分到一本小说，其余两名同学各分到一本诗集），在第二状况下有1种分法（剩下三名同学各分到一本小说），在第三状况下有种分法（剩下三名同学中选一名同学分到一本诗集，其余两名同学各分到一本小说），这样第二步骤共有状况数是，故本题的答案是，选B.解法2：将3本一样的小说记为a,a,a;

10、2本一样的诗集记为b,b,将问题分成3种状况，分别是1、aa,a,b,b,此种状况有种；2、bb,a,a,a, 此种状况有种；3、Ab,a,a,b, 此种状况有种，总共有种，故选B题12D 由题，所以的方程为，因为也及函数的图象相切，令切点坐标为，所以的方程为，这样有，所以，,令，所该函数的零点就是，解除A、B选项，又因为，所以在上单调增，又，从而，选D.二.填空题13. 14. 15.66 16. 题13 依题，所以，答案为.题14 令及轴交点为，在中，所以，若，则，代入中，则，而，故答案为.几何法：如图所示，又 而，故答案为.题15 依题，及原式作差得， ，即，可见，数列从第二项起是公比为

11、3的等比数列，所以.故答案为66.题16当过点时，则，满意方程有两个解；当及相切时，则，满意方程有两个解；所求范围.三.解答题17解：（）由，以及正弦定理得， ， 3分又，所以，从而有.6分（）由，所以，即：，9分由余弦定理知， ，11分所以.12分ACDA1B1C1BD1EM18解：几何解法（）连接交于，则直线即为平面及平面的交线，如图所示；4分（）由（）因为在长方体中，所以为的中点，又为的中点所以在中是中位线，所以MB1平面图FC1CB，6分又平面，平面，所以平面；8分（）因为在长方体中，所以，MD11C1BAENF平面图平面即是平面，过平面上点作的垂线于，如平面图，因为在长方体中，平面，

12、 平面，所以，所以平面于. 过点作直线的垂线于，如平面图，连接，由三垂线定理可知，.由二面角的平面角定义可知，在中， 即是平面及平面所成锐二面角的平面角. 因长方体中，在平面图中，10分， ，在平面图中，由相像可知， 所以，所以平面及平面所成锐二面角的大小为.12分空间向量解法：（）见上述. 4分（）因为在长方体中，所以两两垂直，于是以所在直线分别为轴，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，因为,，所以，ACDA1B1C1BD1Exyz，.所以，6分令平面的一个法向量为所以，从而有，即，不妨令，得到平面的一个法向量为， 而，所以，又因为平面， 所以平面.8分（）由（）知，令平面的一个法向

13、量为,所以，从而有，即，不妨令，得到平面的一个法向量为，10分因为.11分所以平面及平面所成锐二面角的大小为.12分19解：（）依题，解得.6分（）由题令该新同学在社团方面获得校本选修课学分的分数为随机变量，则的值可以为0，1，2，3，4，5，6. 7分而；这样的分布列为： （每答对两个，加1分）012345611分于是，. 12分20解：（）依题，令椭圆的方程为，所以离心率，即.2分令点的坐标为，所以，焦点，即，（没有此步，不扣分）因为，所以当时，3分由题，结合上述可知，所以，O于是椭圆的方程为.4分（）由（）知，如图，直线不能平行于轴，所以令直线的方程为，联立方程，得，所以，.5分若是菱形

14、，则，即，于是有，6分又，所以有，7分得到 ，可见没有实数解，故不能是菱形. 8分（）由题，而，又 ，即，9分由（）知，.所以，10分因为函数，在时，11分即的最大值为6，此时，也就是时，这时直线轴，可以推断是矩形. 12分xyo1y=lnxy=axA21解：()依题，函数的定义域为，所以方程在有两个不同根.即，方程在有两个不同根.1分（解法一）转化为，函数及函数的图像在上有两个不同交点，如图. 3分可见，若令过原点且切于函数图像的直线斜率为，只须.令切点，所以，又，所以，解得，于是，所以.6分（解法二）转化为，函数及函数的图像在上有两个不同交点.又，即时，时，所以在上单调增，在上单调减.从而

15、3分又有且只有一个零点是1，且在时，在在时，xyoe a1所以的草图如下，可见，要想函数及函数的图像在上有两个不同交点，只须.6分（解法三）令，从而转化为函数有两个不同零点，而（）若，可见在上恒成立，所以在单调增，此时不行能有两个不同零点. 3分若，在时，在时，所以在上单调增，在上单调减，从而又因为在时，在在时，于是只须：，即，所以.综上所述，6分（）因为等价于.由（）可知分别是方程的两个根，即，所以原式等价于，因为，所以原式等价于.7分又由，作差得，即.所以原式等价于，因为，原式恒成立，即恒成立.令，则不等式在上恒成立. 8分令，又,当时,可见时,所以在上单调增,又，在恒成立,符合题意. 1

16、0分当时, 可见时, 时,所以在时单调增,在时单调减, 又,所以在上不能恒小于0,不符合题意,舍去.综上所述, 若不等式恒成立,只须,又,所以.12分22（）由弦切角定理可知，, 3分同理，,所以，,所以，. 5分TABCDM（）连接TM、AM,因为CD是切内圆于点M，所以由弦切角定理知，又由（）知，所以，又,所以. 8分在中,由正弦定理知, ,在中,由正弦定理知, ,因,所以,由知,所以,即, .10分yoT23（）依题,因,所以曲线的直角坐标下的方程为,x所以曲线的直角坐标下的方程为,3分又，所以,即曲线的极坐标方程为.5分()由题令，切线的倾斜角为，所以切线的参数方程为: (为参数). 7分联立的直角坐标方程得, , 8分即由直线参数方程中,的几何意义可知, ，因为所以. 10分(解法二)设点，则由题意可知当时，切线及曲线相交，由对称性可知，当时斜线的倾斜角为，则切线MN的参数方程为：（t为参数），7分及C2的直角坐标联立方程，得，8分则,因为，所以. 10分此题也可依据图形的对称性推出答案，此种方法酌情给分.24（）因为“，”是真命题，所以，恒成立，又，所以恒成立，所以，.3分又因为，“”成立当且仅当时.因此，于是. 5分（）由（）得，因为“，”是假命题，所以“，”是真命题. 7分因为（），因此，此时，即时. 8分即，由肯定值的意义可知，.10分