必修5第一章正弦定理和余弦定理知识点及典型例题.docx

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1、正弦定理和余弦定理要点梳理1正弦定理其中R是三角形外接圆的半径由正弦定理可以变形为：(1)abcsin Asin Bsin C；(2)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(3)sin A，sin B，sin C等形式，以解决不同的三角形问题2三角形面积公式SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.3余弦定理：余弦定理可以变形为：cos A，cos B，cos C.4在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角状况(2)中结果可能有一解、二

2、解、无解，应留意区分余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；(2)已知三边问题根底自测1在ABC中，若b1，c，C，则a 1 .2已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c，b，B120，则a_.3在ABC中，若AB，AC5，且cos C，则BC 4或5 .4已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc16，则三角形的面积为(C)A2 B8 C. D.题型分类 深度剖析题型一利用正弦定理求解三角形例1在ABC中，a，b，B45.求角A、C和边c.思维启迪 已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要留意解的推断解

3、:由正弦定理得，sin A.ab，A60或A120. 当A60时，C180456075，c；当A120时，C1804512015，c.探究进步(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需干脆用正弦定理代入求解即可(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要留意探讨该角，这是解题的难点，应引起留意变式训练1 已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a1，b，AC2B，则A解析AC2B，B. 由正弦定理知sin A.题型二利用余弦定理求解三角形例2在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且.（1）求角B的大小；(2)若b，ac4，求ABC的面积

4、解(1)由余弦定理知：cos B，cos C.将上式代入得：，整理得：a2c2b2ac. cos B.B为三角形的内角，B.(2)将b，ac4，B代入b2a2c22accos B，得b2(ac)22ac2accos B，13162ac，ac3.SABCacsin B.探究进步(1)依据所给等式的构造特点利用余弦定理将角化边进展变形是快速解答本题的关键(2)娴熟运用余弦定理及其推论，同时还要留意整体思想、方程思想在解题过程中的运用.变式训练2已知A、B、C为ABC的三个内角，其所对的边分别为a、b、c，且.(1)求角A的值； (2)若a2，bc4，求ABC的面积解(1)由，得1cos Acos

5、A0，即cos A.0A，A.(2)由余弦定理得，a2b2c22bccos A，A，则a2(bc)2bc，又a2，bc4，有1242bc，则bc4，故SABCbcsin A.题型三正、余弦定理的综合应用例3. 在ABC中，a、b、c 分别是角A、B、C 的对边 ABC 外接圆半径为（1）求角C的大小； （2）求ABC 面积的最大值.解: （1）ABC 外接圆半径为 由正弦定理得：即由余弦定理得：（2）探究进步在已知关系式中，若既含有边又含有角通常的思路是：将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求角变式训练3在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.(1)若c2，C，且A

6、BC的面积为，求a，b的值；(2)若sin Csin(BA)sin 2A，试推断ABC的形态解(1)c2，C，由余弦定理c2a2b22abcos C得a2b2ab4.又ABC的面积为，absin C，ab4. 联立方程组解得a2，b2.(2)由sin Csin(BA)sin 2A，得sin(AB)sin(BA)2sin Acos A，即2sin Bcos A2sin Acos A，cos A(sin Asin B)0，cos A0或sin Asin B0，当cos A0时，0A，A，ABC为直角三角形；当sin Asin B0时，得sin Bsin A，由正弦定理得ab，即ABC为等腰三角形A

7、BC为等腰三角形或直角三角形思想方法 感悟进步方法及技巧1正、余弦定理和三角形面积公式是本节课的重点，利用三角形内角和、边、角之间的关系，三角函数的变形公式去推断三角形的形态，求解三角形，以及利用它们解决一些实际问题2应娴熟驾驭和运用内角和定理：ABC，中互补和互余的状况，结合诱导公式可以削减角的种数3正、余弦定理的公式应留意敏捷运用，如由正、余弦定理结合得sin2Asin2Bsin2C2sin Bsin Ccos A，可以进展化简或证明4依据所给条件确定三角形的形态，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理施行边、角转换失误及防范在利用正弦定理解已知三角形的两边

8、和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要进展分类探讨过关精练一、选择题1在ABC中，A60，a4，b4，则B等于()A45或135 B135 C45 D以上答案都不对2ABC中，若a4b4c42c2(a2b2)，则角C的度数是()A60 B45或135 C120 D303在中，的外接圆半径为，则（ ）A1 B2 C3 D4在中，已知则等于（ ）A B C D5在中则等于（ ）A120 B60 C30 D1506在中， 则这个三角形的最大角为（ ）A B C D7在ABC中,已知三边之比，则（ ）A1 B2 C D8中，边的对角分别为A、B、C，且A=2B，（ ）A B C D二、填空题9在ABC中,已知2sinAcosB=sinC,那么ABC的形态是 三角形10在锐角ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a2csin A，则角C_. 11在ABC中，边a，b，c的对角分别为A、B、C，且。则角B= 。三、解答题12(12分)已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A是锐角，且b2asin B.(1)求A; (2)若a7，ABC的面积为10，求b2c2的值13. （12分）在ABC中，角A，B，C的对边为，向量，求角C