高中数学复习学教案第40讲简单的线性规划及实际应用.docx

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1、题目第七章直线和圆的方程简洁的线性规划及实际应用高考要求1理解二元一次不等式表示平面区域2理解线性规划的意义并会简洁的应用学问点归纳1二元一次不等式表示平面区域:在平面直角坐标系中，已知直线Ax+By+C=0，坐标平面内的点P（x0，y0）B0时，Ax0+By0+C0，则点P（x0，y0）在直线的上方；Ax0+By0+C0，则点P（x0，y0）在直线的下方对于随意的二元一次不等式Ax+By+C0（或0），无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数当B0时，Ax+By+C0表示直线Ax+By+C=0上方的区域；Ax+By+C0表示直线Ax+By+C=0下方的区域2线性规划:求线性目的

2、函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题满意线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，由全部可行解组成的集合叫做可行域（类似函数的定义域）；使目的函数获得最大值或最小值的可行解叫做最优解消费实际中有很多问题都可以归结为线性规划问题线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：（1）根据题意，设出变量x、y；（2）找出线性约束条件；（3）确定线性目的函数z=f（x，y）；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目的函数作平行直线系f（x，y）=t（t为参数）；（6）视察图形，找到直线f（x，y）=t在可行域上使t获得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案题型讲

3、解例1 求不等式x1+y12表示的平面区域的面积分析：根据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积解：x1+y12可化为或或或其平面区域如图面积S=44=8点评：画平面区域时作图要尽量精确，要留意边界例2 某人上午7时，乘摩托艇以匀速v n mile/h（4v20）从A港动身到距50 n mile的B港去，然后乘汽车以匀速w km/h（30w100）自B港向距300 km的C市驶去应当在同一天下午4至9点到达C市设乘汽车、摩托艇去所须要的时间分别是x h、y h（1）作图表示满意上述条件的x、y范围；（2）假如已知所需的经费p=100+3（5x）+2（8y）（元），那么v、w分别是多少时

4、走得最经济?此时需花费多少元?分析：由p=100+3（5x）+2（8y）可知影响花费的是3x+2y的取值范围解：（1）依题意得v=，w=，4v20，30w1003x10，y由于乘汽车、摩托艇所需的时间和x+y应在9至14个小时之间，即9x+y14因此，满意的点（x，y）的存在范围是图中阴影局部（包括边界）（2）p=100+3（5x）+2（8y），3x+2y=131p设131p=k，那么当k最大时，p最小在通过图中的阴影局部区域（包括边界）且斜率为的直线3x+2y=k中，使k值最大的直线必通过点（10，4），即当x=10，y=4时，p最小此时，v=125，w=30，p的最小值为93元点评：线性规

5、划问题首先要根据实际问题列出表达约束条件的不等式然后分析要求量的几何意义例3某矿山车队有4辆载重量为10 t的甲型卡车和7辆载重量为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂已知甲型卡车每辆每天可来回6次，乙型卡车每辆每天可来回8次甲型卡车每辆每天的本钱费为252元，乙型卡车每辆每天的本钱费为160元问每天派出甲型车及乙型车各多少辆，车队所花本钱费最低?分析：弄清题意，明确及运输本钱有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目的函数，用图解法求其整数最优解解：设每天派出甲型车x辆、乙型车y辆，车队所花本钱费为z元，那么z=252x+160y，作出不等式组所表

6、示的平面区域，即可行域，如图作出直线l0：252x+160y=0，把直线l向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在y轴上的截距最小视察图形，可见当直线252x+160y=t经过点（2，5）时，满意上述要求此时，z=252x+160y获得最小值，即x=2，y=5时，zmin=2522+1605=1304答：每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用本钱费最低点评：用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f（x，y）=t的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好运用“网点法”先作出可行域中的各整点例4设，式中变量满意条件求的最大值和最小值解：由已知，变量满意的每

7、个不等式都表示一个平面区域，因此所表示的区域为如图中的四边形ABCD当过点C时，取最小值，当过点A时，取最大值即当时，当时，例5 某糖果公司得一条流水线不管消费及否每天都要支付3000元的固定费用，它消费1千克糖果的本钱是10元，而销售价是每千克15元，试问：每天应消费并销售多少糖果，才能使收支平衡，即它的盈亏平衡点是多少？解：设消费千克的糖果的本钱函数为，销售千克的糖果的收益函数为，在同一坐标系中画出它们的图像，交点的横坐标就是反映盈亏平衡的产销量，令，得，即每天必需消费并销售600千克糖果，这条流水线才能做到盈亏平衡，从图中可以看出，当时，表示有盈利，反之则表示赔本例6 某人有楼房一幢，室

8、内面积共180m，拟分隔成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为18，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元，小房间每间面积为15，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元，装修大房间每间须要1000元，装修小房间每间须要600元，假如他们只能筹8000元用于装修，且游客能住满客房，它应隔出大房间和小房间各多少间，能获最大利益？ 解：设应隔出大房间间和小房间间，则且，目的函数为，作出约束条件可行域：根据目的函数，作出一组平行线当此线经过直线和直线的交点，此直线方程为，由于不是整数，所以经过整点（3，8）时，才是他们的最优解，同时经过整点(0,12)也是最优解即应隔大房间3间，小房间8间，或者

9、隔大房间0间，小房间12间，所获利益最大假如考虑到不同客人的须要，应隔大房间3间，小房间8间小结：简洁的线性规划在实际消费生活中应用特别广泛，主要解决的问题是：在资源的限制下，如何运用资源来完成最多的消费任务；或是给定一项任务，如何合理支配和规划，能以最少的资源来完成如常见的任务支配问题、配料问题、下料问题、布局问题、库存问题，通常解法是将实际问题转化为数学模型，归结为线性规划，运用图解法解决图解法解决线性规划问题时，根据约束条件画出可行域是关键的一步一般地，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的非封闭平面区域第二是画好线性目的函数对应的平行直线系，特殊是其斜率及可行域边界直线斜率的大小

10、关系要推断精确通常最优解在可行域的顶点（即边界限的交点）处获得，但最优整数解不肯定是顶点坐标的近似值它应是目的函数所对应的直线平移进入可行域最先或最终经过的那一整点的坐标学生练习1下列命题中正确的是A点（0，0）在区域x+y0内B点（0，0）在区域x+y+12x内D点（0，1）在区域xy+10内解析：将（0，0）代入x+y0，成立答案：A2设动点坐标（x，y）满意（xy+1）（x+y4）0，x3，则x2+y2的最小值为A B C D10解析：数形结合可知当x=3，y=1时，x2+y2的最小值为10答案：D3不等式组2xy+10，x2y10，x+y1表示的平面区域为A 在第一象限内的一个无界区域

11、 B等腰三角形及其内部C不包含第一象限内的点的一个有界区域 D正三角形及其内部答案：B4点（2，t）在直线2x3y+6=0的上方，则t的取值范围是_解析：（2，t）在2x3y+6=0的上方，则2（2）3t+60，解得t答案：t5不等式组表示的平面区域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）共有_个解析：（1，1），（1，2），（2，1），共3个答案：36（x1）2+（y1）2=1是x1+y11的_条件A充分而不必要 B必要而不充分C充分且必要 D既不充分也不必要答案：B7（x+2y+1）（xy+4）0表示的平面区域为A B C D答案：B8画出以A（3，1）、B（1，1）、C（1，3）为顶点的A

12、BC的区域（包括各边），写出该区域所表示的二元一次不等式组，并求以该区域为可行域的目的函数z=3x2y的最大值和最小值分析：本例含三个问题：画指定区域；写所画区域的代数表达式不等式组；求以所写不等式组为约束条件的给定目的函数的最值解：如图，连结点A、B、C，则直线AB、BC、CA所围成的区域为所求ABC区域直线AB的方程为x+2y1=0，BC及CA的直线方程分别为xy+2=0，2x+y5=0在ABC内取一点P（1，1），分别代入x+2y1，xy+2，2x+y5得x+2y10，xy+20，2x+y50因此所求区域的不等式组为x+2y10，xy+20，2x+y50作平行于直线3x2y=0的直线系3

13、x2y=t（t为参数），即平移直线y=x，视察图形可知：当直线y=xt过A（3，1）时，纵截距t最小此时t最大，tmax=332（1）=11；当直线y=xt经过点B（1，1）时，纵截距t最大，此时t有最小值为tmin=3（1）21=5因此，函数z=3x2y在约束条件x+2y10，xy+20，2x+y50下的最大值为11，最小值为59某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100 g含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价05元，米食每100 g含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价04元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少

14、?解：设每盒盒饭须要面食x（百克），米食y（百克），所需费用为S=05x+04y，且x、y满意6x+3y8，4x+7y10，x0，y0，由图可知，直线y=x+S过A（，）时，纵截距S最小，即S最小故每盒盒饭为面食百克，米食百克时既科学又费用最少10配制A、B两种药剂，须要甲、乙两种原料，已知配一剂A种药需甲料3 mg，乙料5 mg；配一剂B种药需甲料5 mg，乙料4 mg今有甲料20 mg，乙料25 mg，若A、B两种药至少各配一剂，问共有多少种配制方法?解：设A、B两种药分别配x、y剂（x、yN），则x1，y1，3x+5y20，5x+4y25上述不等式组的解集是以直线x=1，y=1，3x+5

15、y=20及5x+4y=25为边界所围成的区域，这个区域内的整点为（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（3，1）、（3，2）、（4，1）所以，在至少各配一剂的状况下，共有8种不同的配制方法11某公司支配在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量特别大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际状况（如资金、劳动力）确定产品的月供给量，以使得总利润到达最大已知对这两种产品有干脆限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：资金单位产品所需资金（百元）月资金供给量（百元）空调机洗衣机本钱3020300劳动力（工资）510110单

16、位利润68试问：怎样确定两种货物的月供给量，才能使总利润到达最大，最大利润是多少?解：设空调机、洗衣机的月供给量分别是x、y台，总利润是P，则P=6x+8y，由题意有30x+20y300，5x+10y110，x0，y0，x、y均为整数由图知直线y=x+P过M（4，9）时，纵截距最大这时P也取最大值Pmax=64+89=96（百元）故当月供给量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9600元12实系数方程f（x）=x2+ax+2b=0的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，求：（1）的值域；（2）（a1）2+（b2）2的值域；（3）a+b3的值域解：由题意知f（0）0，f（1）0，f（2）0b0，a+b+10，a+b+20如图所示 A（3，1）、B（2，0）、C（1，0）又由所要求的量的几何意义知，值域分别为（1）（，1）；（2）（8，17）；（3）（5，4）课前后备注