高数同济7版教案第一章函数与极限.docx

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1、广西民族师范学院数计系高等数学课程教案课程代码：_ _ 061041210_总学时周学时： 51/3 开课时间： 2015年9 月16 日第 3周至第18周 授课年级、专业、班级：_制药本152班 运用教材：_ 高等数学_同济高校第7版_教研室： _ _数学及应用数学教研室_授课老师：_ _一、课程教学安排表章 次内 容讲 授实 践一函数及极限13二导数及微分8三微分中值定理及导数应用6四不定积分8五定积分6六定积分的应用6七复习4八九总学时51二、教案正文第一章 函数及极限（一）教学目的：1理解映射及函数的概念，驾驭函数的表示方法，并会建立简洁应用问题中的函数关系式。2理解函数的奇偶性、单调

2、性、周期性和有界性。3理解复合函数及分段函数的概念，理解反函数及隐函数的概念。4驾驭根本初等函数的性质及其图形。5理解极限的概念，理解函数左极限及右极限的概念，以及极限存在及左、右极限之间的关系。6驾驭极限的性质及四则运算法则。7理解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，驾驭利用两个重要极限求极限的方法。8理解无穷小、无穷大的概念，驾驭无穷小的比拟方法，会用等价无穷小求极限。9理解函数连续性的概念（含左连续及右连续），会判别函数连续点的类型。10理解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。（二）重点、难点1重点

3、函数及复合函数的概念，根本初等函数及初等函数，实际问题中的函数关系，极限概念及极限运算，无穷小，两个重要极限公式，函数连续的概念及初等函数的连续性。 2难点 函数符号的运用，复合函数的复合过程，极限定义的理解，两个重要极限的敏捷运用。（三）教学方法、手段：老师讲授，提问式教学，多媒体教学第一节 映射及函数一、映射1. 映射概念定义4.设X、Y是两个非空集合, 假如存在一个法则,使得对X中每个元素x, 按法则, 在Y中有唯一确定的元素y及之对应, 则称为从X到Y的映射, 记作f : XY.其中y称为元素x(在映射f下)的像, 并记作, 即,元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像; 集合X称为映

4、射f的定义域, 记作, 即。X中全部元素的像所组成的集合称为映射的值域,记为 , 或f(X), 即 =f(X)=f(x)|xX. 留意:1)映射的三要素: 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2)对每个xX,元素 x 的像 y 是唯一的; 但对每个yR元素y 的原像不肯定唯一 . 例1设 f : RR, 对每个xR, f(x)=x2.f 是一个映射, f 的定义域Df =R,值域 =y|y0. 例2设X=(x, y)|x2+y2=1,Y=(x, 0)|x|1,f : XY,对每个(x, y)X,有唯一确定的(x, 0)Y及之对应.f 是一个映射, f 的定义域Df=X, 值域 =Y.在几何上,

5、这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间-1, 1上.2、满射、单射和双射设f是从集合X到集合Y的映射.（1）若 =Y, 即Y中任一元素y都是X中某元素的像, 则称f为X到Y上的映射或满射;（2）若对X中随意两个不同元素x1x2, 它们的像f(x1)f(x2), 则称f为X到Y的单射;（3）若映射f既是单射, 又是满射, 则称f为一一映射(或双射). 从实数集（或其子集）X到实数集Y的映射通常称为定义在X上的函数.3. 逆映射及复合映射逆映射定义：设f是X到Y的单射, 则由定义, 对每个y , 有唯一的xX, 合适f(x)=y, 于是, 我们可定义一个从到X的新映射g

6、, 即g : X,对每个y , 规定g(y)=x, 这x满意f(x)=y. 这个映射g称为f的逆映射, 记作f -1, 其定义域为 , 值域为X . 按定义，只有单射才存在逆映射。例如, 映射其逆映射为复合映射定义：设有两个映射g : XY1, f : Y2Z, 其中Y1Y2. 则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则, 它将每个xX映射成fg(x)Z. 明显, 这个对应法则确定了一个从X到Z的映射, 这个映射称为映射g和f构成的复合映射, 记作f o g,即 f o g: XZ, (f o g)(x)=fg(x), xX . 说明：（1）映射g和f 构成复合映射的条件是： g的值域R必需

7、包含在 f 的定义域内，即R D f .（2）映射的复合是有依次的,f o g有意义并不表示g o f 也有意义. 即使它们都有意义,f o g及g o f也未必一样.例3 设有映射 g : R-1, 1, 对每个xR, g(x)=sin x, 映射，对每个则映射g和f构成复映射f o g: R0, 1,对每个xR,有二、函数1. 函数的定义：设和是两个变量，是一个给定的数集，假如对于给定的每个数，变量依据肯定法则总有确定的数值和它对应，则称是的函数，记作，数集叫做这个函数的定义域，叫做自变量，叫做因变量的取值范围叫函数的值域2. 定义域的求法原则：（1）分母不为零（2）（3）（4）（5）同时

8、含有上述四项时，要求使各部分都成立的交集3. 分段函数用两个以上表达式表达的函数关系叫分段函数如称为分段点4. 复合函数若，当的值域落在的定义域内时称是由中间变量u复合成的复合函数5. 反函数设函数的定义域为，值域为对于随意的，在上至少可以确定一个及对应，且满意假如把看作自变量，看作因变量，就可以得到一个新的函数：我们称这个新的函数为函数的反函数，而把函数称为干脆函数说明：一个函数若有反函数，则有恒等式相应地有例如，干脆函数的反函数为，并且有，由于习惯上表示自变量，表示因变量，于是我们约定也是干脆函数的反函数6. 函数的性质（1）有界性有界定义：若有正数存在，使函数在区间上恒有，则称在区间上是

9、有界函数；否则，在区间上是无界函数上界定义：假如存在常数（不肯定局限于正数），使函数在区间上恒有f(x)M，则称在区间上有上界，并且随意一个的数都是在区间上的一个上界；下界定义：假如存在常数，使在区间上恒有，则称在区间上有下界，并且随意一个的数都是在区间上的一个下界明显，函数在区间上有界的充分必要条件是在区间上既有上界又有下界（2）单调性严格单调递增：设函数在区间上的随意两点，都有（或），则称在区间上为严格单调增加（或严格单调削减）的函数严格单调递增：假如函数在区间上的随意两点，都有（或），则称在区间上为广义单调增加（或广义单调削减）的函数广义单调增加的函数，通常简称为单调增加的函数或非减函数

10、；广义单调削减的函数则简称为单调削减的函数或非增函数例如，函数在区间内是严格单调削减的；在区间内是严格单调增加的而函数在区间内都是严格单调增加的（3）奇偶性若函数在关于原点对称的区间上满意（或）则称为偶函数（或奇函数）偶函数的图形是关于轴对称的；奇函数的图形是关于原点对称的例如，在定义区间上都是偶函数而、在定义区间上都是奇函数（4）周期性对于函数，假如存在一个非零常数,对一切的均有，则称函数为周期函数并把称为的周期应当指出的是，通常讲的周期函数的周期是指最小的正周期7. 初等函数根本初等函数图1-1 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数这6类函数叫做根本初等函数这些函数在中学

11、的数学课程里已经学过（1）幂函数 它的定义域和值域依的取值不同而不同，但是无论取何值，幂函数在内总有定义当或时，定义域为常见的幂函数的图形如图1-1所示图1-2（2）指数函数 它的定义域为，值域为指数函数的图形如图1-2所示图1-3（3）对数函数 定义域为，值域为对数函数是指数函数的反函数其图形见图1-3在工程中，常以无理数e2.718 281 828作为指数函数和对数函数的底，并且记，而后者称为自然对数函数（4）三角函数三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数其中正弦、余弦、正切和余切函数的图形见图1-4图1-4（5）反三角函数反三角函数主要包括反正弦函数、反余弦

12、函数、反正切函数和反余切函数等它们的图形如图1-5所示图1-5图1-66常量函数为常数 （为常数）定义域为，函数的图形是一条程度的直线，如图1-6所示初等函数 通常把由根本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的并用一个解析式表达的函数，称为初等函数非初等函数常常遇到例如符号函数，取整函数等分段函数就是非初等函数在微积分运算中，常把一个初等函数分解为根本初等函数来探讨，学会分析初等函数的构造是非常重要的作业 P16 第1题的（1）、（3）、（5）、（7）、（9）小结及思索：本节复习了中学学过的各种函数，应当熟记六种根本初等函数的性态，为后继课的学习作好打算1是否为初等函数？第二节

13、 数列的极限一、 数列极限的定义极限概念是由于求某些实际问题的准确解答而产生的引例 我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法割圆术，就是极限思想在几何学上的应用设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为；再作内接正十二边形，其面积记为；再作内接正二十四边形，其面积记为；循此下去，每次边数加倍，一般地把内接正边形的面积记为这样，就得到一系列内接正多边形的面积：它们构成一列有次序的数当越大，内接正多边形及圆的差异就越小，从而以作为圆面积的近似值也越准确但是无论获得如何大，只要取定了，终究只是多边形的面积，而还不是圆的面积因此，设想无限增大（记为，读作趋于无穷大），即内

14、接正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时也无限接近于某一确定的数值，这个确定的数值就理解为圆的面积这个确定的数值在数学上称为上面这列有次序的数（所谓数列）当时的极限在圆面积问题中我们看到，正是这个数列的极限才准确地表达了圆的面积在解决实际问题中渐渐形成的这种极限方法，已成为高等数学中的一种根本方法，因此有必要作进一步的说明数列的概念 假如依据某一法则，有第一个数，第二个数，这样依次序排列着，使得对应着任何一个正整数有一个确定的数，那么，这列有次序的数就叫做数列数列中的每一个数叫做数列的项，第项叫做数列的一般项例如：都是数列的例子，它们的一般项依次为以后，数列也简记

15、为数列数列极限定义一般地：假如数列及常数有下列关系：对于随意给定的正数（不管它多么小），总存在正整数，使得对于时的一切，不等式都成立，则称常数是数列的极限，或者称数列收敛于，记为或 假如数列没有极限，就说数列是发散的如：例1 已知，证明数列的极限是0。证 （设e N时就有即 例2 证明析 不能干脆解来求N，需变形，放大，再求N。证 解得 取 ，故因此，二、收敛数列的性质性质1（极限的唯一性） 数列不能收敛于两个不同的极限性质2（收敛数列的有界性） 假如数列收敛，那么数列肯定有界性质3 假如且，那么存在正整数，当时，有性质4（收敛数列及其子数列间的关系） 假如数列收敛于，那么它的任一子数列也收敛

16、，且极限也是练习 P26 1 、2小结及思索：1 中国古代数学家刘徽在九章算术注中介绍割圆术计算圆周率“割之弥细，所失弥少割之又割以致于不行割，则及圆合体而无所失矣”这句话明确的表达了极限思想第三节 函数的极限一、函数极限的定义一般地， 在自变量的某个变更过程中，假如对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做在这一变更过程中函数的极限。1函数当时的极限满意的的范围称作以为中心的邻域，满意的范围称作以为中心，以为半径的去心邻域，记作如今考虑自变量的变更过程为假如在的过程中，对应的函数值无限接近于确定的数值，那么就说是函数当时的极限当然，这里我们首先假定函数在点的某个去心邻域内是有

17、定义的函数极限的解析定义：设函数在点的某一去心邻域内有定义假如对于随意给定的正数（不管它多么小），总存在正数，使得对于合适不等式的一切，对应的函数值都满意不等式那么常数就叫做函数当时的极限，记作或（当）上述时函数的极限概念中，是既从的左侧也从的右侧趋于的但有时只能或只需考虑仅从的左侧趋于（记作）的情形，或仅从的右侧趋于（记作）的情形在的情形，在的左侧，在的定义中，把改为，那么就叫做函数当时的左极限，记作或类似地，在的定义中，把改为，那么就叫做函数当时的右极限，记作或依据时函数的极限的定义，以及左极限和右极限的定义，简洁证明：函数当时极限存在的充分必要条件是左极限及右极限各自存在并且相等，即因此

18、，即使和都存在，但若不相等，则不存在而左右极限统称为单侧极限。注：若极限存在时（1）是唯一确实定的常数；（2）表示从的左右两侧同时趋于； （3）极限的存在及在有无定义或定义的值无关图1-7例1 函数当时的极限不存在证 当时的左极限，而右极限，因为左极限和右极限存在但不相等，所以不存在（图1-7）2函数当时的极限我们知道，当时越来越接近零假如函数当无限增大时，取值和常数要多接近就有多接近，此时称是当时的极限，记作函数极限的解析定义：设函数当大于某一正数时有定义假如对于随意给定的正数（不管它多么小），总存在着正数，使得对于合适不等式的一切，对应的函数值都满意不等式，那么常数就叫做函数当时的极限，记

19、作或（当）注：若（1）是唯一确实定的常数；（2）既表示趋于，也表示趋于假如时，取值和常数要多接近就有多接近，我们称是当时的极限，记作假如时，取值和常数要多接近就有多接近，我们称是当时的极限，记作明显，存在的充分必要条件是二、 函数极限的性质定理1 函数极限唯一性。及数列极限的唯一性一样定理2 函数极限的部分有界性。及数列极限的有界性类同定理3（极限的部分保号性） 假如，而且（或），那么就存在着点的某一去心邻域，当在该邻域内时，就有（或）定理1 假如（），那么就存在着的某一去心邻域，当时，就有定理2 假如在的某一去心邻域内（或），而且，那么（或）练习P33 1、3小结：本节讲解并描绘了各种趋势下

20、的极限的定义第四节 无穷大及无穷小前面我们探讨了 数列的极限、 函数的极限、 函数的极限、 函数的极限、 函数的极限、 函数的极限、 函数的极限，这七种趋近方式下面我们用表示上述七种的某一种趋近方式，即一、无穷小定义1 当在给定的下，以零为极限，则称是下的无穷小量，即无穷小及函数极限的关系:定理1 函数具有极限A的充分必要条件是，其中是无穷小.一、无穷大定义2 当在给定的下，无限增大，则称是下的无穷大量，记作明显，时，都是无穷大量， 时，都是无穷小量注：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变更趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变

21、量的变更趋势无穷小及无穷大的关系：定理2 在自变量的同一变更过程中，假如为无穷大，则为无穷小；反之，假如为无穷小，且，则为无穷大例1 当时，是 （ ）A） 无穷小 B） 无穷大 C） 有界函数 D） 无界的但不是无穷大分析：取，则，此时取，则，此时答案：D作业 P37 2、4小结及思索：本节给出了无穷小量和无穷大量的概念和它们的相关性质，留意不要错误的利用这些性质求极限 分析：含有肯定值符号，必需去掉肯定值，要考虑从左、右极限入手解：所以 原极限=1第五节 极限运算法则本节探讨极限的求法，主要介绍极限的四则运算法则和复合函数极限的运算法则，利用这些法则，可以求某些函数的极限在下面的探讨中，记号

22、“”表示定理对及都是成立的定理1有限个无穷小的和也是无穷小定理2有界函数及无穷小的乘积是无穷小推论1常数及无穷小的乘积是无穷小推论2有限个无穷小的乘积是无穷小定理3假如，那么存在，且（1）证因，由1.4定理1有，其中为无穷小于是由定理1知为无穷小，再由定理知定理可推广到有限个函数的情形例如，假如都存在，则有假如，那么存在，且（16）推论1假如存在，为常数，则推论2假如存在，为正整数，则定理4假如，且，则存在，且（17）以上定理和推论对于数列也是成立的定理5 假如，而都存在，那么例1 求解 事实上，设多项式，则例2 求解因所以 假如，其中都是多项式，假如，则但必需留意，假如，则关于商的运算法则不

23、能应用，须要特殊考虑例3 求解当时，分子分母的极限都是零，所以不能运尖用商的运算法则但时，所以例4 求解因为，不能商的运算法则但，故由定理4得例5 求解 例6 求解 例7 求解 因为，所以更一般地，当，和为非负整数时，有例8 求解 当时，分子分母的极限都不存在，不能应用商的运算法则但，而是时的无穷小，是有界函数，所以依据定理6，有前面已经看到，对于有理函数（有理整函数或有理分式函数），只要在点处有定义，那么时的极限必定存在且等于在点的函数值一般地，假如函数具有上述性质，即，就称函数在点连续因此有理函数在其定义域内的每一点处都是连续的我们指出：一切根本初等函数在其定义域内的每一点处都是连续的因此

24、，假如为根本初等函数，其定义域为，而，则有例如，是根本初等函数，它在点处有定义，所以下面介绍一个半球复合函数求极限的定理定理6 设函数当时的极限存在且等于，即，而函数在点连续，那么复合函数当时的极限存在且（18）证明从略因为，所以公式（18）又可写成例9 求解 例10 求解 作业 P45 1、（1）（3）（5）（7）（9）（11）（13），2，3小结及思索：本节探讨了极限的求法，主要介绍极限的四则运算法则和复合函数极限的运算法则，利用这些法则，可以求某些函数的极限1. 求解 2. 求解 .第六节 极限存在准则 两个重要极限准则I 假如数列、及满意下列条件: (1),(2) ,那么数列的极限存在

25、，且准则I 假如函数、及满意下列条件: (1), (2),那么存在, 且注：在上面的定理中，记号“”下面没有标明自变量的变更过程。事实上，定理对及都是成立的。准则I及准则I称为夹逼准则（或迫敛性准则）。第一个重要极限证 如图,设圆心角,DB1OCAx因为 AOB的面积圆扇形AOB的面积0,使得对任一xa, b，满意；且至少有一点x1a, b, 使f(x1)是f(x)在a, b上的最大值, 又至少有一点x 2a, b, 使f(x 2)是f(x)在a, b上的最小值. 如图1-40. 留意: 假如函数在开区间内连续, 或函数在闭区间上有连续点, 那么函数在该区间上就不肯定有界，也不肯定有最大值或最

26、小值. 例: 在开区间 考察函数y=tanx. 又如, 图1-41所示的函数在闭区间0, 2上无最大值和最小值.二、零点定理及介值定理 零点: 假如x0 使f(x0 )=0, 则x0 称为函数f(x)的零点. 定理2（零点定理）设函数f(x)在闭区间a, b上连续, 且f(a)及f(b)异号, 那么在开区间(a, b)内至少有一点x 使f(x)=0.(图1-42) 定理3（介值定理）设函数f(x)在闭区间a, b上连续, 且在这区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B,那么, 对于A及B之间的随意一个数C, 在开区间(a, b)内至少有一点x , 使得f(x )=C .定理3 的几何意义: 连续曲线弧y=f(x)及程度直线y=C至少交于一点. (图1-43) 推论 在闭区间上连续的函数必获得介于最大值M及最小值m之间的任何值. 例1.证明方程x 3-4x 2+1=0在区间（0, 1）内至少有一个根. 证: 函数f(x)= x 3-4x 2+1在闭区间0, 1上连续, 又f(0)=10, f(1)=-20. 依据零点定理, 在(0, 1)内至少有一点x , 使得f(x)=0, 即 x 3-4x 2+1=0 (0x1). 这等式说明方程x 3-4x 2+1=0在区间（0, 1）内至少有一个根是x . 小结：本节讲解并描绘了闭区间上连续函数的性质及其应用。