2022全国甲卷理科解析.docx

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1、2022年全国统一高考数学试卷甲卷（理科）考前须知：1 . 输r,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、濯鑫号、考场号、座位号填写在 答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置 贴好条形码。2 .回答选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。在每题给出的四个选，如种项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。1 .假设二= l + 6i,那么一一三一 1A

2、. - 1 + JJiC.+四332.【答案】C【解析】由= 画，应选：c4 3 3某社区通过公益讲座以及普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10 位社区居民让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居 民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如F图：A.讲座前问卷答题的止确率的中位数小于70%讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%评用前B.p / 八tan a-tan。乂 tan(a 一夕)=-1 + tanatan/?K必+844设 A7(xqJ,N(X2承),4与/3),8(匕/4),由 可知尸(1,0),。(2,0) 那么修屎一小又N,D,B三点、共线,

3、那么k、D = kBD，那么上2 =上9,那么牛9 二牛29-2 z-2生_2左一2得外” 二一8 ,即y4 = %同理由M,。,/三点共线可得y3 = 产必同理由M,。,/三点共线可得y3 = 产必那么 lan a =-必必软 为+乂 - 2(必+为)必+必=4m、必必=一4由题可知，直线斜率不为0,不妨设/,：X = W + l(7V0)y2 = 4x= j2 - 4wy - 4 = 0x = my +141-41那么 tan 0 =,tanor =1，痣1，痣47 m-2 x 4/7? 2m那么 tan(a_) =1=，1 4 2m + 2m m m-以上i 掰S。B那么句知当7 = -

4、注时，tan(a-4)最大，即。一最大，此时4AB 的直线方程为y-% =(x-xj，BPx-(y3+ y4)y + y3y4 =0%+乂又为+ 以=d = Z?12iZd = 87 = -4 0 弘以 y28 为乂 =那么48的直线方程为4x + 4-16 = 0,即+ 肉4 = 0尊k峨O21. (12 分)己知函数/*） =nx + x-a.（1 假设/）20,求。的取值范围;（2）证明:假设，（x）有两个零点X,不，那么xr1.【答案】（1） （一8,6+1； （2）见证明【解析】（1）/*）定义域为（0,+ 8），/6）=也0-1+1 =叵土斗曰 X XX令/（x） = 0nx =

5、1,所以Ovxvl时/（x）1时/（幻0 /单调递增：./（初避=1） = 0 + 1-。，要使得共幻20恒成立即满足以=/（l） = e + l- a2O = e +1次.癖0（2）由（1）知要使得有/（X）两个零点，那么./（幻僦=/（1） = 6 + 1-40 = 0+14假设Ov% vlvx,.要证明x/,vl即证明1 、1，又由于/（外在（1,+ oc）单增，即证明 f（x2） /（-） /区） /（,）.下面构造函数 ax）=/*）/d）（ox ex ex ex+ x = (e+)x ,又函数 y =砥软:13) = /(x) + *),= g”+eT)x谬由于 e ex ex e

6、x+ x = (e+)x ,又函数 y =砥软:1xe“在（0,1）单减,- J卜卜/. xe戈8 e = -xex - 1一e 1.二，+ x - xex - 1 v e +1 - e.0、0=/。)在(0,1)单调递增，rfoF(I) = /(l)-/(l) = 0./(x)0n/(x)写出q的普通方程;（/是参数），曲线G的参数方程为（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴建立极坐标系，曲线g的极坐标方程为2cos6-sin6 = 0,求静G交点的直角坐标，及G与C交点的直角坐标.【答案】）/V = 6一 2（0）；涉，那小（2） G与G交点为（；,】）和（1,2）： G与交点为（-1,-2）

7、和（-1,7）。2 + 1【解析】（1）由G： ,【解析】（1）由G： ,一 6消去参数/得/=6%-2（介0）.3 = &2pcos0 - psinO = 0.(2) C3：2cos。- sinB = 0,两边乘 P ,=C3:y=2x.,2 = 6.产0）解得（ y=急於彳 C2消去参数年晶，2 = F-2曜0）解得y = 2x联立联立( 1 x =- 2ty = 12 = -6% 2 (y0)综上所述，C3与G交点为 弓，1）和（1, 2）： C3与C2交点为（T, -2）和（A-l）o ，223.选修4-4：不等式选讲（10分）正实数ab.c满足+ 4。2 = 3求证：a + + 2c

8、 _一31=222I 之a 4c a + 4c+ -3.cC.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差【答案】B _曲技【解析】由图表信息可知讲座后问卷答题的正确率的平均数为89.5%85%,应选：B3.3.D-2,0设全集U = -2-l,0J,2,3,集合集=-1,2, 8 = */ -4x + 3 = 0,那么(；设U8)=A. 1,3【答案】D【解析】由 8 = 巾 2-4、+ 3 = 0 = 1,3,4118 = -1,123,所以(；(4 U 8) = -2,0,故选：D.4.如图,网格纸上绘制的是个多面体的三视图

9、体积为A.B.412，网格小正方系的边长为1，那么该多面体的5.C.D.1620【答案】B【解析】该多面体的体积一个长方体体积减去一个三棱柱的体积得到，即B.I*2x4x2 x 22x2x2 = 12 应选：B.7)cosx在区间-,自的图像大致为函数J =(【答案】A【解析】设无)=(3-3一【解析】设无)=(3-3一掂sx， f(-x) = (3-x -3x)cos(-x) = -f(x),所以/(x)为奇函数，用6.6.当x = 1时，函数/(戈)=ilnA. 一 1XB.- 2D. 1【答案】B【解析】小可$由条件,得靠工,所以一，即7.在长方体44GA中，q。与平面/8C。和平面所成

10、的角均为30 , 那么A. AB = 2ADB. AB = 2ADC. 与平面力qCQ所成的角为30。AC = CB.D. BD与平面BBC所成的角为45。斌所成的C.【答案】D【解析】片。与平面48C。即/片。8,耳。与平面44耳8即/。耳4 ,那么N8QB =/。8/=30 ,设片。=2,那么4 0= 8华1,由长方体对角线长公式 八尸=+/+白磷从而/q=耳，AB = 41 AD , 噗角4/8的正弦值为七，AC = C 艮 CB8Q与平面BBC。所成的角/。4。的正弦值为,8.沈括的梦溪笔谈是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”,如图，48是以为。圆心，04为半径

11、的圆弧，。是48的中点，。在48上，CDLAB 会圆术”给出”的弧长的近似值s的计算公式：s = 4B +生当。4 = 2, 408 = 60时, 0A一r 9-36 2口 11-46 D. 2A,且2222那么B. 272C.甲A. X/59.甲、乙两个圆锥的母线长相等“侧面展开图的圆心角之和为24，侧面积分别为海和另，D平【答案】B 【解析】由条件得，MUB为等边三角形,有。=6，CD = 2-B 所以5 = 2 +三回=2 + * =匕逋一QS c体积分别为乙和夕?假设现=2, 广潸s乙【答案】C【解析】如图，甲、乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆，设圆的半径（即圆锥母线）为3,甲、乙

12、两个圆锥的底面半径分别为个 八，高分别为九，九，那么2町=44,由勾股定理，由勾股定理，殳 ,身库加九仃/r池口2&3 -得九=石，加缴I ,所以，出10.椭圆。：=+ * = 1（。60）的左顶点为4,点P, 7010.椭圆。：=+ * = 1（。60）的左顶点为4,点P, 70。均在。上,且关于歹轴对称.假设直线4P, 4。的斜率之积为1,那么的离心率为4C.Px【答案】A解析】椭圆C的右顶点为B，由于点P ,。均在C上，且关于y轴对称，所以直线BP,“我.也关于歹轴对称;即k”kRp=_k”k1 /。=一111./（x） = sin（69x4-）区间在（0,4）上恰有三个极值梆3两个零点

13、，那么”的取值范围是A盟B.5 19A3, 6-JD.13 19了7【答案】C【解析】设717T/ g ,7ra）+ （33）,行两个零点可得2万 万，0 +。忘3万，即1。又因为有三个极值点，（sin/f = cos/，所以综上得12 v （号 63即选。歹广有匆12.4 =卫，ft = cos-,32c = sin-,那么44A. c b aB. b a cC. a b cD. a c b【答案】A 【解析】构造函数洌x) = l父-cosx，X贝 Ijg(x) = (x) =-x + sinx, g(x) = -l + cosx(0鄢Or -i所以g(x)0(O) = 0 ,因此，h(x

14、)在弓 上递减，所以6(/= 4- b v力(0) = 0 ,即a vb.另一方面， =4.14sin- tan4 二1 一 1cos 444,显然 x g 0, 时，tanx二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。13.设向量,方的夹角的余弦值为:，且同=】，W = 3,那么(2a + b” =【答案】11【解析】代入展开即可.14 .假设双曲线/ 一二二1(如0：的渐近线与圆x2+/4y + 3 = 0相切，那么加=3【答案】8【解析】由圆心为(0,2),半径为1的圆与直线x = 少相切可得?=立15 .从正方体的8个顶点中任选4个，那么这4个点在同一平面上的概率为【答案】 35【解

15、析】126D = 2BD .当生取 AB16 .中，点。在边8。上，ZJDB = 120, 得最小值时，BD =.【答案】、万一1【解析】令8。= /,以与为胭标原点，DC为C(2/,0), 4(1,丽，8(T,0),x轴建立直角坐标系，/ (2- 1)2+3 /一 (1 + 1)2+34 4 - 23/ + 1 + r + 1当且仅当，+ 1 =即8。= JJ-1时取等号.三、解答题：共70分。解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、 要求作答。(-)必考题：共60分。 广货 17.(12分玄。2s记s为数歹ij m的前项和.一+=2。+

16、1. n(I)证明：J是等差数列:(2)假设。仃%,生成等比数列，求工的最小值.【答案】(1)略；(2) -782s 一人【解析】(1)由于，上+ = 2( + 1,变形为2S=2nan + 一 / ,记为式,又2S =2(-1)。 1+一 1一(一1)2,记为式，即为一可一 =1.22.N*,所以4是等差数列:(2)由题意可知可=45，即(4+6= (q+3)(q+8),解得q=-12,所以4 =-12 + (-l)xl =-13 ,其中 4 生 ./3y = 0不妨设y =1,那么 = （6,1）,设与平面尸48的所成角为。，那么sin 6= cos向.|卜阎一阀|旷方x/_ 5尸。与平面

17、218的所成的角的正弦值为0断19. （12分）、布算甲、w两个学校进行体育比赛755一，比赛共设三个工程一每杂加目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个工程比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.甲学校在三个工程中获胜的概率分别为0. 5, 0. 4, 0. 8,各工程的比赛结果相互独立.(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.【解析】记甲学校获得冠军为事件【答案】(1)。(6：，.2) 13.那么尸(力)=0.5x0 4x(l-O. 8 )+0.5x(l-O. 4)x0 8+ (1-0. 5)x04x0 8+0. 5x04x0.8=0.6甲学校获得冠军

18、的概率是0.6.(2) X的可能取值为0,10, 20, 30那么 P(X = 0) = 0.5x0.4x0 8 = 0.16P(X = 10) = 0.5x0,4x(1-0.8) + 0.5x(1-0.4)x0.8 + (1-0.5)x04x08 = 0.44P(% = 20) = 0.5 x(l-0.4)tl 0.8)4-(1-0.5)x(l-0.4)x0.8 + (l-0.5)x0.4x(-0.8) = 0.34P(% = 30) = (10.5)x(1-04)x(!-0.8) = 0.06X 的期望值为 E(X) = 0x0.I6+I0x0.44 + 20x0.34 + 30x0.06

19、=I3 20. (12 分)设抛物线。:/ = 2px(p0)的焦点为/，点。(p,0),过产的直线交。于A/,N两点,当直线MOlx轴时，眼r| = 3.(1)求。的方程；X,(2)设直线A/。、NO与。的另一个交点分别为43,记直线MN、的倾斜角分别为外万，当a-/?取得最大值时，求直线48的方程.脚彳【答案】 /的方程为V=4x： (2) 48的直线方程为历与二4 二 0.【解析】(1)由题可知，当x = p时，/ = 2p2,那么以,=及夕那么在对AM尸。中,那么在对AM尸。中,fd|2+|da/|2=|fa/|2得(，/+(何)2=9,解得p = 2 ,.A那么C的方程C：V凌4K2盘(2)要使a-/?最大，那么tan(a-/?)最大，且易知当直线的斜率为负时，a-夕为正春二大。姬”