垂径定理强化练习1.docx

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1、垂径定理强化练习1学校:姓名：班级：考号：一、单项选择题1 .如图，AB是。0的直径，弦CD交AB于点P, AP=2, BP=6, NAPC=30。，那么A. V15B. 2逐C. 2715D. 82 .如图，AB为。的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DELAB于点E, 延长DE交。0于点F,假设AC=12, AE=3,那么。的直径长为()C. 16D. 183.：如图，AB是。0的直径，点P在BA的延长线上，弦CD交AB于E,连接 OD、PC、BC, ZA0D = 2ZABC, ZP=ZD,过 E 作弦 GFLBC 交圆与 G、F 两 点，连接CF、BG.那么以下结论：CD_LAB；PC是

2、。的切线；ODGF；4.在。中按如下步骤作图:(1)作。的直径49；(2)以点。为圆心，。长为半径画弧，交。于& C两点;(3)连接。3, DC, AB9 AC, BC.没有给出NB=30。，错误;是直径, ZACB=909VFBC,J.AC/EF, 弧CQ弧AG,：.AG=CF, OQ.LCF. OZ上BG,：.CQ=AG, 0Z= J AG, BZ=；BG, OZ=CQ,V OC=OB, ZOQC=ZOZB=909:OCQQXBOZ,：.OQ=BZ*BG, 正确.【点睛】此题是圆的综合题，考查了垂径定理及其推论，切线的判定，等腰三角形的性质，平行线 的性质，全等三角形的判定与性质.解答此题

3、的关键是熟练掌握圆的有关知识点.4. D【解析】【分析】 根据作图过程可知：AO是。的直径，BD = CD，根据垂径定理即可判断A、B、。正确，再根据。=。，可得AQ=2C。，进而可判断。选项.【详解】答案第4页，共24页解：根据作图过程可知:AQ是。的直径， ZABD=90,选项正确；：BD=CD,； BD = CD,：.ZBAD=ZCBD, 3选项正确；根据垂径定理，得ADBC,C选项正确； : DC=OD,：.AD=2CD, ）选项错误.应选：D.【点睛】此题考查作图复杂作图、含30度角的直角三角形、垂径定理、圆周角定理，解决此题的 关键是熟练掌握相关知识点.5. C【解析】【分析】连接

4、03,作与根据垂径定理和勾股定理，求出。尸的取值范围即可判断.【详解】解：连接。&作。与M.* OMAB,答案第5页，共24页1 AM-BM-AB=4, 2在直角 OBM 中，0B=5, OM = yOB2-BM2 = V52-42 = 3 ：.3OP.AD=-,AB + AC _ Aq =2cosa.ADcos aAD cos a(1)连接OD,由角平分线的性质可得NBAD=NCAD,可得面=而，由垂径定理可得OD1BC,可证ODLMN,可得结论；(2)连接AO并延长交。于H,通过证明AC AF ACFAAHB,可得=,可得结论；(3)由“HL”可证R3 DQB/RS DPC,AH ABRt

5、A DQARtA DPA,可得BQ=CP, AQ = AP,可得AB+AC = 2AQ,由锐角三角函数可得ad=2,即可求解.cos。【点评】此题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，角平分线的性质，全等三角形的判定 和性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是此题 的关键.19. (1) 5； (2) 2V13【解析】【分析】(1)根据垂径定理可得AC = 4,再由勾股定理可求得OO半径的长;答案第18页，共24页(2)连接跖构造出用ABE,利用勾股定理可求得5E = 6,再利用勾股定理解心CHE 即可求得答案.【详解】解:(1) V ODAB, AB = 8：.A

6、C = -AB = 42 设OO的半径。4 =厂 OC = OD-CD = r-2;在 R/A4OC 中，OA2=AC2 + OC2r2 =42+(r-2)2/. r = 5 OO半径的长为5.(2)连接的，如图：丁 AE是OO的直径A Zz4BE = 90, AB = 204 = 10 ? AB = 8e在 Rt/ABE 中，BE =4AE? - AB? = 6BC = -AB = 4 2，在心C3E中，EC = ylBE2 + BC2 =2/13，EC = 2万.【点睛】此题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理等，做出合适的辅助线是解题的关键.答案第19页，共24页20.见解析；BC =

7、4见解析【解析】【分析】(1)根据条件结合等边等角，三角形内角和定理可得/ACB = 90。，即可证明A3C为直角三角形；连接04, 0D,利用垂径定理得到0Z5_LAC且AH=CH,设。H=x,那么0H=4-x,利用勾股定理列出方程求得。的值，再利用三角形的中位线定理得到BC=2DH；(2)延长04交。于点八 连接。凡FC,由可得ND4C=NOC4=45。；利用同弧所对的圆周角相等，得到NOA1=N=NOC4=45。，ZDFC= ZDAC=45,由于 与AOE关于对称，于是NO04=NE=45。，那么得尸为等腰直角三角形，QFC为直角三角形；利用勾股定理可得：尸+。尸，QF2=2DQ2；利用

8、 QD4也FOC得到。4 =尸。，等量代换可得结论.(1) 解：AD=CD, BD=AD,：.DB=DC.：.ADAC = NDCA NDCB = ZDBC ABAC+ZACB + ZB = 180 . ADAC+ZDCA+ZDCB+ZDBC = 180. NDCA + /DCB = 90。即 ZACB = 90ABC为直角三角形；证明：连接QA, OD,如图，答案第20页，共24页9：ADCD, AD = CD，OQ_LAC 且 AH=CH.TO。的半径为4, ：.0A = 0D=4.设 DH=x,那么 0H=4-x,A*。/,AH2=AD2-DH2, /.52-x2=42- (4-x) 2

9、.25 解得：户9.o.nw_25 jL/li.8由知：BCLAC,; ODAC,：.OD/BC.：AH=CH,25 ：BC=2DH= .4延长Q4交。于点凡连接。凡FC,如图,V ZAC=90, AD=CD,：.ZDACZDCA=45.：.ZDFA= ZE= ZDCA=45, /DFC= ZZ)AC=45. ZQFC= ZAFD- ZD FC=90.答案第21页，共24页QC2=QF2+CF2.9： ADQ与八ADE关于AD对称， ：.ZDQA=ZE=459 ：.ZDQA=ZDFA=45, ：.DQ=DF.：.Z QDF= 180- ZDQA- Z QFD=90. ：.DQ2DF2=QF2.

10、即。尸=2。2VZ2DF=ZAZ)C=90, ：.ZQDA=ZCDF. 在 QDAb。中，/QAD = /DCF = 30。，那么CO的长为10 .如图，A3是。的直径，弦CDLA8于点区 假设A3=10, AE=1,那么弦CD的长11 .如图，45是O。的直径，弦COLA8于点E, AE = CD = 6,那么的半径为12 .如图，在平面直角坐标系xQy中，直线丁 =1 +其I与O。相交于A, 3两点,33且点A在x轴上，那么弦45的长为x13 .如图AB与圆O相切于A,。是圆。内一点，03与圆相交于C.3C=OC=3,。=2, AB=6,那么圆的半径为AAE=ED；(2) VOCAD,AC

11、 = BD ，AZABC=ZCBD=36,NAOC=2NABC=2x360=72。,-AC72x5 =2 万.180点睛：此题考查弧长公式，关键是根据弧长公式和垂径定理解答.答案第24页，共24页14 .直线机与半径为5cm的。相切于点P, A3是。的一条弦，且pa = P8, 假设A3=6cm,那么直线机与弦A3之间的距离为 .15 .如图，AB是O。的直径，弦C0_LAB于点E, CD = 10, BE = 2,那么O。的半径 OC=.16 .如图，ZR4C = 30,在射线AC上顺次截取40 = 3cm, DB = 10cm,以DB为直径作O。交射线AP于E、尸两点，那么线段石厂的长是

12、cm.三、解答题.Q0的半径是5cm,弦AB = Scm.求圆心到A8的距离；（2）弦AB两端在圆上滑动，且保持AB = 8cm, AB的中点在运动过程中构成什么图形，请说明理由.17 .如图， ABC内接于。O, AD平分NBAC交BC边于点E,交。0于点D,过点A作AF_LBC于点F,设。0的半径为R, AF=h.（1）过点D作直线MNBC,求证：MN是。的切线；（2）求证：ABAC=2Rh；AR* AC（3）设NBAC = 2a,求 的值（用含a的代数式表示）.AD连结18 .如图，。的半径ODJ_弦A8于点C,连结AO并延长交。于点E,EC. AB = 8, CD = 2.D(1)求。

13、半径的长；(2)求EC的长.19 .A、C、。为O。上三点，且AD = CD.(1)如图1,延长至点3,使= 连接求证：A8C为直角三角形；假设O。的半径为4, AD=59求BC的值；作 ADE作 ADE(2)如图2,假设NAOC = 90。，石为OO上的一点，且点。，E位于4c两侧,关于AO对称的图形 AOQ,连接QC求证：。*+2。2=。2.20 .如图，在。中，AC=3C,COJ_OA 于 DC_L03 于 E求证：AD=BE.21 .如图，AB是。0的直径，C, D是。上的点，OCBD,交AD于点E, 连结BC.(1)求证:AE=ED；(2)假设 AB=10, ZCBD=36,求 AC

14、 的长.参考答案:1. c【解析】【分析】作OHLCD于H,连结0C,如图，根据垂径定理由OHLCD得到HC=HD,再利用 AP=2, BP=6可计算出半径0A=4,那么OP=OAAP=2,接着在RQ OPH中根据含30。的 直角三角形的性质计算出OH=；OP=1,然后在RtA OHC中利用勾股定理计算出CH二 足,所以CD=2CH=2 厉.【详解】作OHLCD于H,连结OC,如图，VOH1CD,AHC=HD,VAP=2, BP=6,AB=8,OA=4,二OP=OA - AP=2,在 RtA OPH 中，*. NOPH=30。， Z POH=30, /. OH= - OP= 1,2在 RtA

15、OHC 中，VOC=4, OH=1,#- CH= OC2-OH2 =V15，.CD=2CH=2Vi5 .应选C.【点睛】此题主要考查圆中的计算问题，熟练掌握垂径定理、含30。的直角三角形的性质以及勾股答案第1页，共24页定理等知识点，掌握数形结合的思想是解答的关键B【解析】【分析】在放4。命中，利用勾股定理构建方程即在放4。命中，利用勾股定理构建方程即连接OF,首先证明AC=DF=12,设。4=OF=x, 可解决问题.【详解】解:如图,连接OF.：DE 上 AB, DE=EF, AD = AF:点。是弧AC的中点, AD = CD， AC = DF：.AC=DF=n,：.EF=-DF=6, 2

16、设。4二0/二x,在心。石厂中,那么有/=62+在-3) 2,解得广；，2：.AB=2x=59应选：B.【点睛】此题考查了勾股定理，垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会 利用参数构建方程解决问题.2. A答案第2页，共24页【解析】【分析】连接 50、OC、AG. AC,过。作 OQJLCb于 Q, OZLBG 于 Z,求出/ABC=从 而有弧4?二弧4。，由垂径定理的推论即可判断的正误；由CZ)J_P3可得到NP+NPCZ90。，结合NP=NOC。、等边对等角的知识等量代换可得到 ZPCO=90,据此可判断的正误；假设OOG厂成立，那么可得到N4BC=30。，判断由已

17、知条件能否得到乙钻C的度数即可判断的正误；求出CG4G,根据垂径定理和三角形中 位线的知识可得至lj CQ=OZ,通过证明OCQgZXBOZ可得到0Q=8Z,结合垂径定理即可 判断.【详解】连接 50、OC、AG,过。作 OQJ_C/于。，OZLBG 于 Z,? 0D=0B,：./ABD=/ODB,9： /AOD= /0BD+ / 0DB=2/ OBD,9： ZA0D=2ZABC,：.NABC=/ABD,：.AC=AD,二川？是直径，：.CDAB,，正确；: CDLAB,：./P+/PCD=90。,9： 0D=0C,：/OCD=/ODC=/P,：.ZPCD+Z0CD=9Q,：.NPCO=90。,PC是切线，正确；彳段设 0QGR 那么NAOO=NFE5=2NA3C,A3ZABC=90, ZABC=30,答案第3页，共24页