第03讲 不等式及性质（原卷版）.docx

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1、第03讲不等式及性质【基础知识网络图】【基础知识全通关】知识点01：两个重要不等式及几何意义.重要不等式：如果a/wR,那么。2+）2 22（当且仅当 =/?时取等号 J）.1 .基本不等式：如果。力是正数，那么S之4茄（当且仅当。=/?时取等号.【要点诠释】6?+/ 2 2。人和2之必两者的异同：2（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求力都是正数;C.假设aZ?O,且cb ,且那么必0 a b9、设 f（x）=ax?+bx,假设 lWf（T）W2, 2Wf W4,那么 f（ 2）的取值范围是10、设ow（0,g,匹|04那么2a g的取值范围是.JIJI11、（2022 天

2、津模拟）假设a , B满足一方 a8方，那么2 aB的取值范围是（） 乙乙A. - n2a -0OB. - n2a-0ji3叮jiC. -2 a - p D. 02a - P b,那么以下结论正确的选项是（填序号）.ab、22 In a2ln bl.近来鸡蛋价格起伏较大，每两周的价格均不相同，假设第一周、第二周鸡蛋价格分 别为a元/斤、b元/斤，家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同：家庭主妇甲每周买3斤鸡蛋, 家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋，试比拟谁的购买方式更优惠（两次平均价格低视为更优 惠）.（在横线上填甲或乙即可）13 . （2021 浙江宁海中学月考）等比数列a2, a3, aj满足aP （

3、0, 1）, a2e （1,2）, a3e（2, 3）,那么的取值范围是.14 .a+b0,试比拟工+3与工+；的大小.b a a b/、#、- a+b _c + d.右 be ad20, bd0,求证：一:-W-:-； b da b(2) cab0, 求证： c a c -b.（多项选择）假设 Oacl,那么（ ）C. ca-lba lD. logcalogba.某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：男学生人数多于女学生人数；女学生人数多于教师人数；教师人数的两倍多于男学生人数.假设教师人数为4,那么女学生人数的最大值为.该小组人数的最小值为.19 .实数a, b, c满

4、足b + c = 64a+3a,c-b=44a+a2,那么a, b, c的大小关系 为（）A. abWcB. bWcaC. bcaD. ba1X6 + 3X5, 1 X 5 + 3 X6 + 4X 71 X6 + 3 X 5 + 4X 71X 7 + 3X6+4X5.（1）假设两组数ai, a2与bi, b2,且aWa2, bWbz,那么ab+a2bzNab+a2bl是否成立,试证明.假设两组数 ai, a2, 与 bi, bz, b3且 aiW&Wg bWbzWbs,对 abs+a2bz+ehbi, ab+a2bl + a3b3, ab + a2b2+a3b3进行大小顺序（不需要说明理由）.

5、分h qb22、设ab。,试比拟/而与二的大小.b2 a223、假设a0, b0,那么p=十丁与q = a+b的大小关系为（）a DA. pqD. pq(2)取等号“二”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当。=时取等号”。2 12. 1. 1(3) 4+/7222H可以变形为：ab 2ab (a.b e R),当且仅当 时取号。1) (a/wR+),当且仅当 a=6 时取“=”号。3)I 22 (tz Z? 0)；特别地: b a4)总(a + bfI 4I。b)6Z3 +b3 +c3 3abc (a.b,c g 7?+)；5) a + b-c 3Mabc (a,b,c e R+)知识点04

6、：绝对值不等式的性质1. a-ha + ba + b；ci c| +1 c b| ；知识点05：柯西不等式.二维形式的柯西不等式：(1)向量形式：设2,分是两个向量，那么丹区|闻，当且仅当斤是零向量或存在实数k,使2 =历 时，等号成立。(2)代数形式:假设a、b、c、d都是实数，那么(qZ+/x*+42)2(00 + 匕1)2,当且仅当ac二bd时，等 号成立；假设a、b、c、d都是正实数，那么J4+/+ 12 2欧+ bd ,当且仅当ac二bd时，等号 成立；假设a、b、c、d都是实数，那么万启万 2|a+庆Z|,当且仅当ac=bd时，等号成立；【要点诠释】柯西不等式的代数形式可以看作是向

7、量形式的坐标化表示；(3)三角形式：设玉，工2，1，2尺，那么 Jx； +y： + Jx； + 货 / J(X)2 +(y 0oa2b作差法a三b（a, beR）、a b00abaaa作商法0 -=lab(aeR, b0)ar l=ab.不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性ab=ba=传递性ab, bcnac可加性ab=a+cb + c=可乘性abc0.= acbc注意c的符号ab cacb=a+cb + d cdj=同向同止口乘性abCcdCll=acbd )=可乘方性ab0= anbn (n N n21)a, b同为正数可开方性ab0=/a/b(nN, n22)a, b同为正数【微思

8、考】.两个正数a, b,如果ab,那么*与m的大小关系如何？提示如果abO,那么/电.1 .非零实数a, b,如果ab,贝A与1的大小关系如何？ a b提示 如果ab0且ab,那么 a b如果aOb,那么一二. a b【考点研习一点通】考点0L基本不等式J茄(色也求最值问题21 .设人0,贝ij/+_L+!一的最小值是ab a(a-b)A. 1B. 2C. 3D. 4【变式1xy0,且盯=3,求 的最小值及相应的二y值.xy.【变式2】求以下函数的最大(或最小)值.(1) y = xd(x 0)；x + 1(2) (2) = 2x2+ , (%0)；x95y = x(5-2x)29 (0% 一

9、)；J2x 12 y = 2xJ100-,(0x0,y 0,且一+ = 1,求x+y的最小值. x y考点02：利用基本不等式证明不等式2 .01, 0/?1, 0c Sabc【变式2x、y都是正数，求证：- + -2o考点03：利用绝对值不等式求最值3 .不等式|x 4| |尤+ 26。对xeR恒成立，那么实数。的取值范围是 ；【变式1】求|工一4|一|九+ 2|的最值【变式2 不等式|1 2x| + |2x + l|对xwR恒成立，那么常数的取值范围 是 ;考点04：利用柯西不等式求最值4.设2x + 3y + 5z = 29,求函数y =+ 网*4 +，5z + 6 的最大值.【变式1】

10、求函数y = 5+ J10 2x的最大值.【考点易错】易错题型01比拟两个数(式)的大小1 (1)(2022 首都师范大学附属中学月考)设M=2a(a2)+7, N= (a-2) (a-3),那么M与N的大小关系是()A. MNC. MND. MWN/、# In 3 In 4 In 5, z(2)右,=丁 b= 丁。=飞一那么(A. abcB. cbaC. cabD. ba0, y0, M=, N=二贝UM和N的大小关系为( x + 2y5A. MNB. MNC. M=ND.以上都有可能e2 020+ 1e2 021 + 1M=尸不T那么M, N的大小关系为易错题型02不等式的基本性质2 (1

11、)(2022 新乡模拟)a, b, c, d均为实数，那么以下命题正确的选项是() A.假设 ab, cd,那么 ac0,那么一一二0 a bC.假设 ab, cd,那么 a db cD.假设 ab, cd0,那么;（2）（多项选择）假设又（01 1C. abTa bD. In a2ln b2【变式】（1）假设2m年，那么以下结论一定成立的是（）A.一B. m|m| n|n|m nln（m-n）0D. n m-n0, ceR,那么以下不等式中正确的选项是（）-i iA. a2 -a ba+2 arrC. orD. ac bcb十2 b易错题型03不等式性质的综合应用3 （1）一 lx4, 2y

12、3,那么x y的取值范围是, 3x + 2y的取值范围是（2）3a8, 4bbc, 2a+b + c = 0,那么一的取值范围是（）aA. - 3_ 1B. 17aa 3D.zc - az0Pb,c d , l/iij ac bdc dB.假设 ab O,bc-ad 0,那么0a bC.假设那么 ca bD.假设a,cd0,那么一一 d c2、假设lVVO,给出以下不等式：|a|+b0；a，b； （4）ln a2lna ba+b aba bb? .其中正确的不等式是（）A.B. C. D.3.a （0,1）, a2e （0, 1）,记卜1 = 廊，N=ai + a2-l,那么M与N的大小关系是

13、（）A. MNC. M=ND.不确定4、（2022 邵东创新实验学校高三月考）以下不等式成立的是（）A.假设 a官B.假设 ab = 4,那么 a+b24,_.99什1 b b + mC.右 ab,那么 ac-bcD.右 ab0, m0,那么一a a + m5.（多项选择）cba,且acacB. c （b a） 0C. cb2ab2D. ac （ac） 06.（多项选择）有外表一样，重量不同的六个小球，它们的重量分别是a, b, c, d, e, f, a+b+c = d+e + f, a+b + ec + d + f, a+b + fc + d + e, a+ecfB. befC. cefD. bec 7、（2021届山东省滨州市三校高三上学期联考）（多项选择题）设。1, g,那么下列不等式中恒成立的是（）D. a1 b2）.1 11 19A. C. aa ba b8、（2022江苏盐城中学月考）（多项选择题）以下命题为真命题的是A.假设 ab ,那么b aa bB.假设aZ?0, cdQ9 那么一 d c