第03讲 不等式及性质（解析版）.docx

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1、第03讲 不等式及性质【基础知识网络图】【基础知识全通关】知识点0L两个重要不等式及几何意义1 .重要不等式：如果a/wR,那么。2+/72 2 2ab （当且仅当 = /?时取等号“二”）.2 .基本不等式：如果力是正数，那么22J茄（当且仅当=时取等号“二”）.2【要点诠释】/+/ 22和疝两者的异同：2（1）成立的条件是不同的：前者只要求4/都是实数，而后者要求Q/都是正数;此时，%x = 2同【变式1】求函数y = 5JR + J10 2x的最大值.【解析】函数的定义域为1, 5,且y0,y = 5 x Jx-l + V2 x5-xNB. M2NC. M0,所以 MN./、什 In 3

2、 In 4 In 5 , z 、 (2)右=， b ， c ， 那么( )345A. abcB. cbaC. cabD. bae时,f(x)0,函数f(x)单调递减，因为 e34f(4)f(5),即 cba.e： 一与e；一的大小关系为.e n e【解析】e又 0一1, 0 n el, J In - ep JI1,即f71,即 e11 - n e0,y0,2xM=c , N=x + 2y4 x -y r-,那么M和N的大小关系为()A. MNB.M0,y0,所以 M-N=rx yxJ 4xy + 8y2x 2y 2+4y25 x + 2y5 x + 2y0,即 MN.2 020 i 1/八乙e

3、 +1(2) M= 2 021 I 1 9e +1e 021 eA MN. 021 + 1N=产行那么M N的大小关系为【答案】MN2 020 12 021【解析】方法【解析】方法e+1eM N = 2 021 I 1 2 022 e+1e2 020 I 12 022 I2 021 I 2e +1 e +1 e +1方法二令 f (x)=e+l e b + 1 +14x+l I 1e +1x+l I 1 e +1=-+-e e11 一一 ex+1+r显然f(x)是R上的减函数，A f(2 020)f (2 021),即 MN.易错题型02不等式的基本性质2 (1)(2022 新乡模拟)a, b

4、, c, d均为实数，那么以下命题正确的选项是()A.假设 ab, cd,那么 ac0, be ad0,那么一一丁0 a bC.假设 ab, cd,那么 adb c,a bD.右 ab, cd0,那么：一 d c【答案】cb c ad【解析】 假设0ab, 0cd,那么ac0, be ad0,那么0,abcd即一一二0,应选项B错误；假设ab, cd,那么一d c,所以adb c,应选项C正确；假设 a bcd0,那么;0,假设ab0,那么应选项D错误. d cd c(2)(多项选择)假设工0aD. In a2ln b2【答案】AC【解析】 由可知ba0. a bA中，因为a+b0,所以J；。

5、.故有-:即A正确； a+b ab a+b abB 中,因为 ba0,所以一b-a0.故一b|a|,即 |a|+b0,故 B 错误；C中，因为ba；0,所以a，b故C正确; a ba ba bD中，因为ba0,根据y = x?在(-8, 0)上单调递减，可得b?%。，而y=lnx在定义域(0, +8)上单调递增，所以in b2ln a2,故D错误.思维升华判断不等式的常用方法直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意 前提条件.利用特殊值法排除错误答案.利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比拟大小时，可以利用指数函数、对 数函数、幕函数等函数的单调性来

6、比拟.【变式】假设2m2*那么以下结论一定成立的是()A.B. m|ni| n n|m nln(m-n)0D. nm-n2n,可取m=2, n=l,可得ACD不成立.(2)(多项选择)设ba0, cR,那么以下不等式中正确的选项是()- 1 1A. a2 -at-/ a c,讦？Ea b【答案】【答案】C. ac3bc3ABC_L11【解析】因为y=在(o, +8)上是增函数，所以20,所以a+2 a b + 25易错题型03不等式性质的综合应用3 (1)一lx4,2y3,那么x-y的取值范围是,3x + 2y的取值范围是【答案】(-4,2) (1,18)【解析】V-Kx4, 2y3,-3-y

7、-2,4x y2.由一lx4,2y3,得一33xG2,42y6,AK3x+2y18.(2)3a8, 4b9,那么的取值范围是【答案】件2【解析】【解析】又 3a8,1 a 1/.rX3-X8,即皆c, 2a+b + c = 0,那么一的取值范围是（） a【答案】A【解析】因为abc, 2a+b + c = 0,所以 a0, c c,解得一 3, a将 b2ac 代入 bc 中，得一2acc,即 a c,得21,所以一3 1.ji03a ,那么a B的取值范围是【答案】jiji【解析】 0 B ,.- 一 B 0,又 0 a , /. a B ,ji又 B 0,即 o a B b,cd ,那么

8、c 加/c dB.假设 ab O,bc- ad 。,那么0C.假设a4cd,贝 ca bD.假设。Z?,cd0,那么一 d c【答案】BC【解析】假设。0Z?, 0cd,那么故 A 错；假设曲0, bc-ad0,那么竺*0,化简得40,故B对； aha b假设 cd,那么又 a，那么故 C 对；abci h假设。=1, b = -2, c = 2, d = L 那么一=1, = 1, = = 1,故 D 错； dcd c应选：BC.2、假设给出以下不等式：|a|+b0；a，b：； ln a2ln a ba+b aba bb?.其中正确的不等式是()A.B. C.D.【答案】C【解析】方法一 因

9、为,2VO,故可取a= 1, b=-2. a b显然|a| +b=l2 = 10,所以错误.综上所述，可排除A, B, D.方法二由可知bVaVO.中，因为a+b0,所以=;0,故 a ba+b ab有士；，即正确； a+b ab中，因为 bVaa0.故一b|a|, B|J|a|+b0,故错误；中，因为 bVa0,又!一10, a ba b所以故正确； a b中，因为bVa/0,而y=lnx在定义域(0, +8)上为增函数，所以in b2ln a2,故错误.由以上分析，知正确.3. a(0, 1), a2e (0, 1),记、1=&, N=a1+a21,那么 M 与 N 的大小关系是()A.

10、MNC. M=ND.不确定【答案】B【解析】 M-N=aia2- (ai + a2-1)= ai2-ai-&+l= (ai 1) (a211),又 (0, 1), a2e (0, 1),/.ai KO, a2 KO.A (ai-1) (a2-l)0,即 MN0, AMN.4、(2022 邵东创新实验学校高三月考)以下不等式成立的是()A.假设1)b2B.假设 ab = 4,那么 a+b24b b + niC.假设，那么 acbc2D.假设 ab0, m0,那么一a a + m【答案】AD【解析】 对于A,假设avbvO,根据不等式的性质那么，故A正确;对于B,当。=2,匕=一2时，a + b

11、= -40, m0,所以Z?-40,所以J;Oaya + m）b b + m 八 （Irl b b + m 、所以 0,即一 成立，故I）正确.a a+m a a+m应选AD.方法总结：判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断 需要利用不等式的性质，常见的反例构成方式可从以下几个方面思考：不等式两边都乘以 一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0;不等式左边是正数，右边是负数, 当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变；不等式左边是正数，右边是负数，当两边 同时取倒数后不等号方向不变等.5.（多项选择）cbacB. c （b a） 0C. cb2ab2D.

12、ac （ac） 0【答案】ABD【解析】由cba且ac0且cc且a0知baca,故A 一定成立；Yba0 且 c0,故 B一定成立；当b = 0时，cb2=ab2=0,故C不一定成立；又 acO 且 acO, Aac （ac） c + d + f, a+b + fcfB. befC. cefD. bec【答案】ABD【解析】因为 a+b + c = d + e + f, a+b + ec + d + f,所以e cc e,所以ec,又因为 a+b + c = d + e + f, a+b + fc + d + e,所以c ff c,所以cf,所以ecf,所以C错误；又因为a+eb,所以ab,

13、eec, bef, bcf均成立,所以ABD正确.7、（2021届山东省滨州市三校高三上学期联考）（多项选择题）设。1,人/0,那么下 列不等式中恒成立的是（）B.一:C. ab2D. a2 b2a b1 1A.- a b【答案】CD【解析】当。=21二满足条件.但,0时，一 一,故B错误， a b, /.0Z?2l b-t：.a + b0,a-b0, /. a1 -b1 = （a + b）（a-b） 0,故 D 正确.应选：CD.8、（2022江苏盐城中学月考）（多项选择题）以下命题为真命题的是（）.A.假设Qb,那么b aa bB.假设。b0, cdQ,那么一b0 ,且cvO,那么二二cr

14、D.假设且那么仍0 a b【答案】BCD【解析】选项A：当取。=1,人=1时，,，,本命题是假命题. b a选项 B： a/?0, c d , 故一 0naZr0n0 , a Zrc z ,本命题是真命题. a b3 H 1 11 1 za b-a选项 D： 0 = 0,a ba b ab,： ab, ：. b-aQ, A ab0 ,二本命题是真命题.应选：BCD9、设 f(x)=ax?+bx,假设 lWf(1)W2, 2Wf(l)W4,那么 f( 2)的取值范围是. 【答案】5, 10【解析】方法一 设f (2) =mf (1)+nf (1) (m, n为待定系数)，那么4a2b=m(ab)

15、 + n (a+b),即 4a2b= (m+n) a+ (nm) b.m+n = 4,fm=3,于是得n解得 n m 2,n 1.f(-2)=3f(-l)+f(l).又Tf(DW2, 2f4. .53f(-l)+f (1)10,故 5Wf(2) W10.10、设a G (0弓),4G 那么2” ?的取值范围是.【答案】(工，乃) 6【解析工由题设得02a,0v24工 3 66363jiji11、（2022 天津模拟）假设a , B满足一那么2 aB的取值范围是（） 乙乙A. -n2a -30B, -n2a-Pn3 n兀C. -2 a - 13 D. 02a - P n乙乙【答案】cJIJI【解

16、析 */ a , A n 2 a n . 乙乙JI JTJIJIJI2a -P乙JI2a -P乙JI又 a B 0, a 【解析】MN=x2+y2+z2 2x 2y 2z+ n=(x 1)2+ (y1)2+ (z 1)2+ n -3三 n 30,故 MN.13 .非零实数a, b满足ab,那么以下结论正确的选项是(填序号).(Db3；22% (4)ln a2ln b2.【答案】【解析】 当a0, b0，故不正确； a b由函数y=x y=2的单调性可知，正确；当 a=l, b= l 时，In a2=ln b2=ln 1 = 0,故不正确.14 .近来鸡蛋价格起伏较大，每两周的价格均不相同，假设

17、第一周、第二周鸡蛋价格分 别为a元/斤、b元/斤，家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同：家庭主妇甲每周买3斤鸡蛋,（2）取等号“二”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当。=。时取等号”。2 . ? 2. 1. 1(3) 4+/72 2 2 ab可以变形为：ab-,以上可以变形为：ab 2ab （a,beR）,当且仅当 a当时取“二”号。3)a b 八 - + -2 b a1） -/ah (a,bwR+),当且仅当 a=6 时取“=”号。（a-b0）；特另U地：a + -2 （a。）；a家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋，试比拟谁的购买方式更优惠(两次平均价格低视为更优 惠).(在横线上填甲或乙即可)【

18、答案】乙_|_0k q _Lk【解析】由题意得甲购买产品的平均单价为一 =匚厂，乙购买产品的平均单价为20 2ab口 ,T7 77= _|_1 ? 由条件行 a Wb.10 10 a+b一十a ba + b2a + b22ab _ a -ba+b 2 a+b2-o,.a+b 2ab即乙的购买方式更优惠.15 . (2021 浙江宁海中学月考)等比数歹Ia1,a2, a3, &满足aP (0, 1), a2e(l,2), a3G (2, 3),那么出的取值范围是.【答案】(2明，9)【解析】设等比数歹!JE，a2, a3, aj的公比为q,由 aP (0,1), a2e (1,2), a3G 3

19、)可知,0ail, laiq2(2), 2aiq23(3),由可得lq2,即4心或qy2,+可得qL所以镜q0,试比拟总+与与,+!的大小.b a a ba , b (1 ab , b a【解析】解帝+二仁+句=丫+丁=(a b)=(a b)a+b ab 2Va+b0, (a-b)20,a+b a-b-a+b a-b-2-20.a+b c+d17 .假设 bead20, bd0,求证：；a bcab0,求证：r a【解析】证明Ybc沁d,肃。，.标广c , 、a a+b _c + dA-+l-+l, / (2) Vcab0, /.c a0, c b0.Vab0, /.0,XVc0,c -a c

20、ba b又 c a0, c b0又 c a0, c b0cZacZ：b，18 .(多项选择)假设 bcl,那么( )Ca-1/i a- 1.c bCa-1/i a- 1.c bc a、cBH有D. logcacl, T1. ()- 那么gig)，故正确对于 B,假设那么 be abbc ac,即 a(c b)0,这与 Oal, bcl 矛盾，故错误. b -a b对于 C, VOal, /.a1cl, /.ca-1b；，-1,故错误.对于 D, VOacl, /. logcay,【解析】 设男学生人数为X,女学生人数为y,教师人数为z,由得上”，且X,、2zx,V， z均为正整数.当z = 4

21、时，8xy4, x的最大值为7, y的最大值为6,故女学生人数的最大值为6.x5xyz7；,当x = 3时，条件不成立，当x = 4时，条件不成立，当x = 5时，5yz,此时 z = 3, y = 4.该小组人数的最小值为12.20 .实数a, b, c满足b + c = 64a+3a之,cb = 44a+a2,那么a, b, c的大小关系为()A. abWcB. bWcaD. bacD. bacC. bca, .aVbWc.21 .观察以下运算：1X5 + 3X61X6 + 3X5,1 X 5 + 3 X 6 + 4X 71 X 6 + 3 X5 + 4X71X7 + 3X 6+4X5.假

22、设两组数ai, 国与bi, b2,且aWa2, bWb2,那么abi+a2b22ab+a2bl是否成立,试证明.(2)假设两组数 a” &,为与 bi, bz, b3且 aiWazWa?, bib2b3,对 ab+a2bz+asbi, ab+a2bl + a3b3, ab + a2b2+a3b3进行大小顺序(不需要说明理由).【解析】解(1)成立，证明如下：aibi + a2b2- (aibz+azbi) =ai (bi b2) +a2(b2 bi) = (ai a2) (bi b2), 又 a】Wa2, biWbz, /. (aia2) (bib2) NO,即 ab + a2b22ab+a2

23、bl.(2)aib3+a2b2+a3b 1 ai b2+a2b 1 + a3b3 W ai b 1 + a2b2+a3b3.22、设ab0,试比拟a2 b2 Hab + b2a+b的大小.【解析】解法一(作差法)：a?b a-b (a + /-(4-匕乂/+匕?)I+r a+b(.a + b)_ (a-b)(a +)2 -(/ +/) _2ab(a-b)(tz2 +Z?2)(tz + Z?)(6Z + Z?)(CZ2 +Z?2)因为 ab0,所以 a+b0, a-b0, 2ab0.所以2aba-b(4 + 6)(/ +/)0,所以a2 b2 a ba2+b2a+b解法二（作商法）：2_i 2_

24、i因为ab0,所以4三口0, 妥0.a十ba十ba2 b2所以所以a2 + b2(a + Z?) a2+b2+2ab0a2+b2a+ba2+b2= 1+41 +b2 ,所以a2 b a -b a2 + b2a + b*b2 a223、假设a0, b0,那么p=+万与q=a+b的大小关系为（A. pqD. peq【答案】：Bi 22【解析】(作差法)p q=2+/ab a b(b2a，(ba) (b a)2(b + a) abab因为 a0, b0,所以 a+b0. 假设 =那么 p q = 0, 故p = q； 假设 aWb,那么 p q0,故 pq.综上，pWq.应选B.八 ci2 +Z?2

25、a + br-r lab ( t Jah (力$R+)V 22a+b )(a + Z?/l 2 4 a b)4) a2, +b3 +c3 3abc (a,b,c e /?+)；a + b + c 3abc (p,b,c w R1知识点04：绝对值不等式的性质a-babac + bd .当且仅当ac二bd时，等号 成立；假设a、b、c、d都是实数，那么Jo? +/+d2 ac + bd,当且仅当ac二bd时，等号成立；【要点诠释】柯西不等式的代数形式可以看作是向量形式的坐标化表示；(3)三角形式：设玉，工2，口，2火，那么 Jx； +必2 + JX； + y； N J(X| 一九2尸 +(y 一

26、2尸。2 .三维形式的柯西不等式(代数形式): 假设 4，2，3/1 也也都是实数，那么（。：+ a2 +。；）（月 + 后 +Z?3 ） - （。1 4 + a2b2 +。3b3）2 .当且仅当2=0,0 = 123）或存在实数k,使得q 二幼（i=123）时，等号成立。3 . 一般形式的柯西不等式（代数形式）: 假设，。，也也，包，都是实数，那么(a； + a； + , , , + a； )(b； + b： + , , + b：) N (。自 + a2bl + +，当且仅当月=0,（，= 12,）或存在实数匕 使得% =既式，=1,2,）时，等号成立。【拓展】.两个实数比拟大小的方法a-b

27、0ab作差法ab = 0=a三b（a, beR）口一b00a、bra/l=abb 一(2)作商法V 2=loa三b(aR, b0)a，loabLb -1 .不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性ab=bb,bc=ac=可加性ab=a+cb + cQ可乘性ab| c0.=acbc注意c的符号abl cojnacbcdna+cb + d=同向同正可乘性abCcdX)=acbd=可乘方性ab0= 址枝(n N, n21)a, b同为正数可开方性ab0=ya/b (nN, nN2)a, b同为正数【微思考1 .两个正数a, b,如果ab,那么%与电的大小关系如何?提示如果ab0,那么徐怖,.非零实

28、数a, b,如果ab,贝A与的大小关系如何？ a b提示如果ab0且ab,那么,白 a b如果aOb,那么a b【考点研习一点通】考点01：基本不等式必(求最值问题 21.设人0,那么/+-L+一!一的最小值是 ab a(a-b)A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】2 1 1 2 , , 1 1ci H1- a - ab + ab H1ab a(a-b)ab a(a-b)ci(ci - /?) H- (cib -)a(a-b) ab4a(a b) =当且仅当a(a-b)即。=叵。=上时取等号.712ab =ab【答案】D2 .2 _ 2【变式1xy0,且孙=3,求一匕二的最小值及相应的值.

29、 x-y.【解析x 0, /. x-0,又=3,x + y2 (x y)2 + 2xy 244:+h 卜x = 3时取等号 y = ixy 0当且仅当 0)；x + 19 5(2) (2) y = 2，+_, (x0)；x95y = x(5-2x), (0 x )2y = x + / 1, (x/)；4112y = 2x7100-x2，(0x10)【解析】(1) 0 , x+1 1, y = x + l-1 2a/(x +1)()1 = 1x+l V x+1当且仅当x + l = L,即x = 0时取等号 x + 1二.x = 0 口寸，ymin = 1(2) Vx0, A= 2x2 +- =

30、 2x2 + + 33/2x2A = 2, 100x 2x 2x v 2x 2x 2当且仅当2-=工即1=：3时，ymin=-V100.2x V4 /mm 2 0 x 02.c、21 4 c x/-1 4% + 5 2x + 5 2x 31 IO? 250/. y x(5 - 2x) = x 4x(5 - 2x)(5 2x) .* x - 92x - 1 0y x , 2% - 1h/1T/1 T2J2x 12 J2x 1 J2x 1 2引（2）高.正+ ； = 2当且仅当2x-l=-=即X = 1时、为in=2. HZ(4) V0x0 y = 2xV100-x2 = 2J，(ioo九2)0,

31、y 0,且一H = 1,求x+y的最小值. x y一1 9【解析】方法一：0,y 0,且一+ = 1 x yQvO veyO 丫 x+y = (_ + )(x+y) = 10 +2+ 210 + 2x3=16 (当且仅当 2 = 即xy工)xyx = 4, y = 12时等号成立).x+y的最小值是16.t 19V方法二：由一+ = 1,得x =3一，x yy-9/x0,y 0 , y 9y99I 9：.x+y = -+y = l + y +- = (-9) +- + 102 (y-9)- + 10 = 16y-9y-9y-9y-99当旦仅当y 9 =，即 =12时取等号，此时x = 4. y

32、 9x+y的最小值是16.1 9方法三：由一+ = 1得丁 + 9%=冲，(1 1)(丁-9) = 9% y X+y = 10 + (1)+ (y 9)N 10 + 27155 = 10 + 6 = 16.x-l = y-9 rx 4当且仅当1 9 即 时取等号，-+ = 1y = 12x+y的最小值是16.考点02：利用基本不等式证明不等式2.01, 0Z? 1, 0c；那么有J(l_q)Z?+叫c +&一山 ；(*)又*-a)b + J(1 -Z7)c + J(1 c)a1 a + b 1Z? + c 1 c + a 3 , / 、 2ylab 0 (当且仅当 二0寸，取等号)b + c2

33、yfbc0 (当且仅当b = c时，取等号) c + a 2而 0 (当且仅当c = 时，取等号)/.(6Z + b)(b + c)(c + a) 2yab - 2bc - 2y/ca = Sabc (当且仅当 q = Z? = c时，取等号)即(a + b)(b + c)(c + a) Sahc .【变式2x、y都是正数，求证： + -2o % y【解析】:、y都是正数，.20,)0, y x.- + 2 -=2 (当且仅当上=色即x = y时，等号成立) y x xx y故 2 +土 2.x y考点03：利用绝对值不等式求最值3 .不等式|九4| |x + 2|2a对xeR恒成立，那么实数