新编数学教学论期末复习南师大.doc

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1、第1章 数学教育目一、对数学教育价值观一般性认识：实践价值。指数学科学对于认识客观世界、改造客观世界实践活动所具有教育作用和意义。在这一层面上，一般可论及是数学作为计算工具、作为科学语言、作为科学抽象手段等等方面。认识价值。指学习和掌握数学知识及其过程在开展人认识能力上所具有教育作用和意义。实现这一价值主要支撑点是“数学是锻炼思维体操，数学教育可以培养以思维能力为核心诸多功能。德育价值。指数学在形成和开展人科学态度和世界观、道德素养和个性特征方面所具有教育作用和意义。表达这一价值要点是辩证唯物主义世界观，求真、严谨、刻苦品质锻炼。美育价值。指数学在培养开展学生审美情趣和能力方面所具有教育作用和

2、意义。如对数学美感悟、欣赏及数学美育教育等。第2章 数学学习理论一、几种学习理论1行为主义学习理论代表人物：桑代克、斯金纳1桑代克试误学习理论 著名实验：迷箱实验 桑代克由此否认了顿悟类型学习，指出如果猫是突然获得观念话,那么学习曲线应呈一种突然改善之势，但是实际上呈现是一种由慢到快渐进过程。猫学到不是观念之间联结，而是刺激和反响之间直接联结。行为改良是通过一种机械过程自动地完成，不需要观念和顿悟。学习是在一种几乎没有意识和思维参与情况下自动地形成刺激-反响联结过程。在此实验根底之上，桑代克提出了他试误学习理论。根本观点：学习即形成刺激-反响联结教学那么是安排各种情境，以便导致理想联结并感到满

3、意2斯金纳操作学习理论 实验：斯金纳箱实验 斯金纳(B.Skinner)在刺激与反响联接中更强调“强化作用。行为主义认为学习过程就是形成刺激和反响之间联结过程，同时认为动物和人学习过程是一样。它把人学习过程看作和动物鸽子、白鼠学习过程一样。两者都是通过情景反复刺激、养成行为习惯反响过程。情景刺激 反响行为主义学习理论在实际教学和教育工作中有着非常广泛应用。这些应用中影响最大就是程序教学。程序教学是20世纪第一个具有全球影响教学改革运动，深刻地影响到当时美国及世界其它国家地教学改革运动。简单地说，程序教学是通过教学机器呈现程序化教材而进展自学一种方法。它把一门课程总目标分为几个单元，再把每个单元

4、分成许多小步子。学生在学完每一步骤课程之后，马上就能知道自己学习结果。在学习过程中，学生可以自定学习步调，自主进展反响，逐步到达总目标。 2认知主义学习理论认知主义学习理论起源于德国格式塔心理学派完形理论。格式塔德语名词是Gestait，含义是完形，指被别离整体或组织构造。格式塔心理学是以反对元素分析、强调心理整体组织为其根本特征。它认为每一种心理现象都是一个别离整体，是一个格式塔，是一种完形。人脑对环境作组织反响，提供一种组织或完形，即顿悟，其作用就是学习。格式塔心理学创始人是德国心理学家魏特墨M.Wertheimer、科夫卡K.Koffka和克勒。克勒发挥了格式塔理论，提出了顿悟说：1学习

5、是组织、构造一种完形，而不是刺激与反响简单联结。1917年克勒在?猩猩智慧?一书中发表了他顿悟学习理论。认为学习并非是简单刺激反响联结，也不是幸运试误，而是通过对学习情境中事物关系理解构成一种完形而实现，是通过有目主动了解和顿悟而组织起来一种完形。例如，黑猩猩接起短棒打下高处香蕉实验2学习是顿悟，而不是通过尝试错误来实现。总之，顿悟说重视是刺激和反响之间组织作用，认为这种组织表现为知觉经历中旧组织构造格式塔豁然改组或新构造顿悟。认知主义学习理论认为在人类行为背后都有一个思维过程，人学习有主动积极思维活动，是复杂过程。三要素：情景刺激心理活动行为反响现代认知学习理论代表人物是布鲁纳和奥苏贝尔。他

6、们都强调学习者原有认知构造作用和学习材料本身构造作用，都重视内在学习动机与学习活动本身带来内在强化作用。但对于如何获得新知识过程，他们强调重点却有所不同，布鲁纳强调发现，而奥苏贝尔强调承受。布鲁纳学习理论。布鲁纳非常重视人主动性，把学习看成是主动过程，同时，也十分重视已有经历作用和学习内在动机，以及开展学生思维。布鲁纳提倡发现学习。奥苏贝尔学习理论。美国心理学家奥苏贝尔提出有意义学习理论，不像布鲁纳那样强调发现学习，而是强调有意义承受学习。有意义学习，既包括有意义发现学习，也包括有意义承受学习，但不能把承受学习和机械学习等同起来。只要注意加强学习者有意义理解，承受学习就不一定是被动、机械，而完

7、全可以是主动、有意义。认知学习理论缺乏之处，是没有提醒学习过程心理构造。3建构主义学习理论 建构主义学习理论是行为主义开展到认知主义以后进一步开展。 建构主义对学习理解：学习是获取知识过程，知识不是通过教师传授得到，而是学习者在一定情境即社会文化背景下，借助其他人包括教师和学习伙伴帮助，利用必要学习资料，通过意义建构方式而获得。 建构主义认为世界虽然是客观，但是对于世界理解和赋予意义却是由每个人自己决定。当今建构主义者主张：学习者是以自己经历为根底来建构现实，或者至少说是在解释现实，学习者个人经历世界是用他自己头脑创立，由于学习者经历以及对经历信念不同，于是学习者对外部世界理解也是不同。因而，

8、他们更关注如何以原有经历、心理构造和信念为根底构建知识。他们强调学习主动性、社会性和情境性。二、数学学习分类1根据学生对学习内容理解，数学学习分为机械学习与有意义学习机械学习 是指学生并未理解由符号所代表知识，仅仅记住某个数学符号、数学概念、公式、定理等。有意义学习 那么是指学生经过思考，掌握并理解了由符号所代表数学知识，并能融会贯穿。2根据学生进展学习方式，数学学习分为承受学习与发现学习承受学习 是指学习全部数学内容是以定论形式呈现给学习者，这种学习不涉及学习者任何独立发现，只需要他将所学心知识与旧知识有机地结合起来，以便以后再现和运用。发现学习 是指一般只提出问题或提供背景材料，主要内容要

9、由学生自己独立发现。承受学习与发现学习不能绝对化。三、数学学习过程一般模式两种最根本形式：同化和顺应根据学习认知理论，我们认为数学学习过程是一个数学认知过程，即新学习内容和学生原有数学认知构造相互作用，形成新数学认知构造过程。依据学生认知构造变化，我们认为数学学习过程一般模式如下列图：新学习内容 输入 原数学认知构造 相互作用 新认知构造雏形 操作 初步形成新数学认知构造 解决问题 形成新认知构造，到达预期目标四个阶段：输入阶段、相互作用阶段、操作阶段、输出阶段。输入阶段：学习起源于新学习情境。输入阶段实际上就是给学生提供新学习内容，创造学习情境。相互作用阶段：产生学习需要之后，学生原有数学认

10、知构造和新学习内容就发生作用，数学学习便进入相互作用阶段。学生原有认知构造和新学习内容相互作用有两种最根本形式：同化和顺应。所谓同化，就是把新学习内容纳入到原数学认知构造中去，从而扩大原有认知构造过程；所谓顺应，就是当原有认知构造不能接纳新学习内容时，必须改造原有认知构造，以适应新学习内容过程。举例说明？操作阶段：操作阶段实质是在第二阶段产生新认知构造雏形根底上，通过练习等活动初步形成新认知构造过程。这里操作是指数学思维活动。操作阶段目在于使刚产生数学认知构造变得完善。输出阶段：在第三阶段初步形成新认知构造根底上，通过解决数学问题，使新学习知识完全融化于原有数学认知构造之中，形成新认知构造过程

11、。第3章 数学教学理论与实践专题一：数学概念教学一、概念间关系对具体概念举例说明？1相容关系如果两个概念A和B外延集合交集非空，就称这两个概念关系为相容关系。相容关系又可分为下面三种情形。同一关系。穿插关系。附属关系。 2不相容关系如果两个概念A和B是属于同一属概念下种概念，并且它们外延集合交集为空集，那么称这两个概念间关系是不相容关系。不相容关系又分成下面两种。反对关系(对立关系)。矛盾关系。 二、概念定义中学数学里给概念下定义两种主要方法是什么？1给概念下定义意义和定义构造任何定义都由被定义项、定义项和定义联项三局部组成。“三边相等三角形叫做等边三角形定义项 定义联项 被定义项2定义方法A

12、、邻近属加种差定义法 “邻近属+种差=被定义概念如果一个概念属概念中，其内涵与这个概念内涵差为最小内涵最多叫做这个概念邻近属。种差是指被定义概念与同一属概念之下其他种概念之间差异，即被定义概念具有而它属概念其他种概念不具有属性。例如，平行四边形概念邻近属是四边形，平行四边形区别于四边形其他种概念属性即种差是“一组对边平行并且相等，这样即可给平行四边形下定义为“一组对边平行并且相等四边形叫做平行四边形。利用邻近属加种差定义方法给概念下定义，一般情况下，应找出被定义概念最邻近属，这样可使种差简单一些。等边矩形叫做正方形；等边且等角四边形叫做正方形。对于同一个概念，选择同一个属不同种差，可以作出不同

13、定义。两组对边分别平行四边形叫平行四边形。两组对边分别相等四边形叫平行四边形。两对角线互相平分四边形叫平行四边形。选择属都是“四边形，但种差不同。邻近属加种差定义方法有两种特殊形式：一是发生式定义方法。它是以被定义概念所反映对象产生或形成过程作为种差来下定义。二是关系定义法。它是以被定义概念所反映对象与另一对象之间关系或它与另一对象对第三者关系作为种差一种定义方式。B、提醒外延定义方法三、数学概念学习两种根本形式是什么？书本105、106 1、概念形成2、概念同化四、数学概念教学过程以及一般方法根据数学概念学习心理过程及特征，数学概念教学一般分为三个阶段：引入概念；理解和明确概念；稳固和应用概

14、念。一引入方式1开门见山方式以定义形式给出，由学生主动地与自己认知构造中原有有关概念相互联系、相互作用以领会它意义，从而获得新概念。案例：在讲?二面角?内容时，这样引入：“两条直线所成角、直线和平面所成角，我们已经掌握了它们度量方法，那么两个平面所成角怎样度量呢？这节课我们就来学习这个内容二面角和它平面角！板书课题，这样导入，直截了当， 促使学生迅速地把精力集中到新知识探索中。开门见山引入方法，教学重点突出，能使学生很快地把注意力集中在教学内容最本质、最重要问题研究之上。一般来说，陈述性概念中那些外延定义概念、人为定义概念和内涵简单、外延清楚概念、难以借助旧知识引入新概念，适用开门见山方式。另

15、外，随着学生抽象思维水平提高，对高年级学生学习数学概念可以适当多采用这种方式。2 温故知新方式在复习旧知识根底上提出新问题引入新概念，是教学中被广泛应用一种方式。1相关化方式案例：“乘法概念可从“加法来引入，“整除概念可从除法中“除尽来引入。2特殊化方式案例：矩形可以在平行四边形概念根底上直接给出，“有一个角是直角平行四边形是矩形。这样定义实质上是将平行四边形概念特殊化，使其内涵扩大，因此得到新概念矩形外延就缩小了。3一般化方式案例：角推广从图形形状来定义角，是一种静态定义，角范围是，用旋转来定义角，那么是动态定义，角范围突破了，角不仅可以任意大还有正负之分。4类比迁移方式对于两个平行或并列概

16、念，我们可以采用类比方法，进展新概念教学，一方面可以发现两者一样之处，另一方面也会发现两者区别。3活动建构方式1抽象归纳方式多数抽象概念，我们可以找到其具体实例。在教学过程中，我们可以通过呈现具体实例，让学生通过观察，进一步归纳出抽象概念性质和特点。一般来说，数学概念中原始概念难以下定义，只能利用现实中大量丰富实物去促进学生理解，如点、线、面等，变化式数学概念比拟抽象，需要通过丰富背景让学生去寻找其共性，因此它们比拟适合采用抽象归纳引入方式。2操作活动方式有些概念，仅靠抽象思维活动难以形成真正理解，要让学生在操作性活动中接触概念，使用概念，体验概念。3数学探究方式有些概念要认识其本质，不是靠教

17、师告诉，而是需要学生经历数学探究活动方能体验。4创设情境方式以问题形式引入新概念，也是教学中常常采用，往往是在解决问题过程中自然涉及到了一个新概念，问题可以是现实问题，也可以是数学问题。二明确和理解概念 概念引入后，要对概念加以明确和理解。对于不同概念，由于在相关学习主题地位和作用是不同，所以在教学中给予关注点是不同。1 在定义辨析中明确和理解概念有些概念本身性质是解题依据或是进展判断、推理和建立定理依据，对此在概念教学中，从正面提醒概念内涵以后，为了强化学生对概念本质属性理解，可以采用定义辨析方式去突出概念本质属性。如算术平方根概念，用数学符号表示就是：为了帮助学生理解“非负内涵，可以提出一

18、系列问题，如a为何值时，？等等。2在实例寻找中明确和理解概念概念是抽象，又是具体，让学生自行举例是帮助学生较好地理解与掌握抽象数学概念一种手段。3在操作活动中明确和理解概念更多用于几何在学习获得数学概念之后，可要求学生根据自己理解用不同方式画、折、剪、拼重现概念，进一步丰富学习对新概念认识。4在模型认识中明确和理解概念对数学模型尤其是重要数学模型，我们不能仅仅关注如何利用模型去解决实际问题，首先要关注对模型本身认识，这样才能在教学中准确把握。同样，如果一个新概念本身就是一个重要数学模型，那么在新概念引入过程中以及其后，应关注对模型本身认识。三概念应用概念获得，还不能离开概念应用，只有到达对概念

19、应用水平，才能认为是掌握和稳固了概念。1概念应用形式1根据概念填空。2应用概念进展判断。3应用概念进展推理。4应用概念解决问题。2概念应用水平从内容纬度来分，可分为数学上应用和实际上包括相邻学科应用。从难度纬度来分，心理学上将概念应用分为知觉水平上应用和思维水平上应用。所谓知觉水平上应用，指学生获得同类事物概念以后，当遇到这类事物特例时，就能立即把它看作是这类事物中具体例子，将其归入一定知觉类型。概念在思维水平上应用，指学生学习新概念被类属于包摄水平较高原有概念中，因而新概念应用必须对原有概念进展重新组织和加工，以满足解当前问题需要。对数学概念来说，知觉水平上应用就相当于相关根底知识简单应用，

20、而思维水平上应用相当于一定变式或拓展。这两种水平上应用都是必须。3概念应用应注意问题教学中主要是通过练习到达概念应用目。练习时需要注意以下几点：1练习目要明确。在练习时必须明确每项练习目，使每项练习都突出重点，充分表达练习意图，做到有放矢，使练习真正有助于学生理解新学概念，有利于开展学生思维。如为了帮助学生稳固新学概念和形成根本技能，可以设计针对性练习；为了帮助学生克制定式干扰，进一步明确概念内涵和外延，可以设计变式练习；为了帮助学生分清容易混淆概念，可以设计比照练习；为了帮助学生扩展知识应用范围，加深学生对新学概念理解，培养学生创造性思维，可以设计开放性练习；为了帮助学生沟通新学概念与其他知

21、识横向、纵向联系，促进概念系统形成，培养学生综合运用知识能力，可以设计综合性练习等。2练习层次要清楚。学生认识事物往往不能一次完成，需要一个逐步深化和提高过程。因此练习时要按照由简到繁、由易到难、由浅入深原那么，逐步加深练习难度。根本练习，在刚学完新课之后单项、带有模仿性练习，它可以帮助学生稳固知识，形成正确认知构造。开展练习，在学生已根本掌握了概念和初步形成一定技能之后练习，它可以帮助学生形成熟练技能技巧。综合练习，可以使学生进一步深化概念，提高解题灵活性，培养学生数学思维能力，实现由技能到能力转化。专题二：数学命题教学数学中命题，包括公理、定理、公式、法那么、数学对象性质等。一、数学命题学

22、习三种形式根据命题中概念与原认知构造中有关知识关系，现代认知心理学把数学命题学习分为下面三种形式：1下位学习当原认知构造中有关观念在包摄和概括水平上高于新学习命题，这种学习便称为下位学习。下位学习是数学命题学习中应用较多形式。中学数学教材中知识编排顺序，大局部是下位学习形式。2上位学习当认知构造中已经形成了几个观念，在这些观念根底上学习一个包摄程度更高命题学习形式称为上位学习。上位学习是通过对已有概念、命题进展分析归纳，发现新关系，从而概括出新命题过程。因此可以看出，下位学习主要是通过“分化去获得命题，上位学习那么是通过“概括获得命题。3并列学习假设新命题与原认知构造中有关知识具有一定联系，但

23、既非上位关系，也非下位关系，那么称这种新命题学习为并列学习。在下位学习和上位学习中，由于新命题与原认知构造中观念都有着直接关系，所以新命题中概念之间关系比拟容易提醒，而在并列学习中由于缺少这种直接关系，只能利用一般和非特殊有关内容起同化作用，所以并列学习相对来说就要困难些。并列学习关键在于寻找新命题与原来认知构造中有关命题联系，使得它们可以在一定意义下进展类比。二、数学命题教学过程及一般方法数学命题引入一直接展示命题如果要提出数学命题比拟容易或比拟难或此数学命题学习重心在于命题探索证明和应用，在教学中就可直接向学生展示命题。二由实际问题提出命题为了解决一些现实生活和生产实践中问题，有时需要运用

24、数学方法，而这种数学方法往往会产生出很有用处定理、法那么。因此，由实际问题需要，以问题形式去探求命题，也是教学中常用命题引入方式。三通过观察实验提出命题有些命题由教师提供素材，让学生通过观察实验方法不难发现数学命题。在教学中不妨采用观察实验方法，训练学生观察发现能力。如轴对称性质等等。四问题探究方式提出命题有时我们关注数学问题内部关系挖掘和数学问题相互之间转化，也可获得新命题。五操作活动方式提出命题有时可以在操作活动中让学生得到或发现新数学命题。具体数学命题教学一数学公理教学由于数学借助形式逻辑来建立知识体系，每一个真实命题都是由真命题推导出来。这样依次向上追溯，总有些真命题不能依靠其他数学真

25、命题来推导，这些命题就称为公理。所谓公理，是指那些普遍性，任何数学学科都需要原理。公理是对诸根本概念相互关系规定，这些规定必须是必要而且是合理。因此，一个严格完善公理系统，对于公理选取和设置，必须具备如下三个根本要求：1相容性(或称无矛盾性、协调性)。这一要求是指在一个公理系统中，不允许同时能证明某一定理及其否认理。反之，如果能从该公理系统中导出命题A和否命题非A，从A与非A并存就说明出现了矛盾，而矛盾出现归根到底是由于公理系统本身存在着矛盾认识，这是思维规律所不容许。因此，公理系统无矛盾性要求是一个根本要求，任何学科，理论体系都必须满足这个要求。2独立性。这一要求是指在一个公理系统中每一条公

26、理都独立存在，不允许有一条公理能用其它公理把它推导出来，同时使公理数目减少到最低限度。3完备性。这就是要求确保从公理系统中能推出所研究数学分支全部命题，也就是说，必要公理不能减少，否那么这个数学分支许多真实命题将得不到理论证明或者造成一些命题证明没有充足理由。从理论上讲，一个公理系统上述三条要求是必要，同时也是合理。至于某个所讨论公理系统是否满足或能否满足上述要求，甚至能否在理论上证明满足上述要求公理系统确实存在等，那么是另外一回事了。应该指出是，对于一个较复杂公理体系来说，要逐一验证这三条要求相当困难，甚至至今不能彻底实现。几何公理方法重要实例希尔伯特公理体系 根本元素点、直线、平面根本概念

27、 根本关系结合关系、顺序关系、合同关系结合公理根本公理 顺序公理合同公理平行公理连续公理 几何学根底特点：（1） 不明确指出哪些是原始概念；（2） 对一些理应严格定义概念，也采用直观描述方法；（3） 扩大公理体系；初中阶段几何公理根本领实：两点确定一条直线公理两点间直线段最短过一点有且只有一条直线与直线垂直两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行公理两边及其夹角分别相等两个三角形全等两角及其夹边分别相等两个三角形全等两条直线被一组平行线所截，所得对应线段成比例三边分别相等两个三角形全等（4） 公理不完备。 中学教材虽然比?原本?增加了许

28、多公理，但是仍然不满足完备性要求，与?原本?一样，缺少顺序公理和连续公理。因此，在推理过程中，常常需要借助于直观或默认一些事实。例如默认了直线，含有无穷多个点；线段中点、角平分线存在且唯一等等。“任何三角形都是等腰三角形公理是人们长期经历总结，是其他命题真假判断依据。在数学上它是根据需要做少数思想约定。因此公理教学直接关系到学生数学思维方法养成，既要让学生认识到公理真实性，又不能对这种真实性加以证明。如何处理好这个矛盾便是公理教学成败关键。公理引入一般采用归纳方式，具体地：一种是从学生熟悉事例归纳出公理。通过学生熟知社会生活和生产实践中事例来说明公理含义和现实来源，使学生体会到公理真实性和意义

29、。另一种是在学生实践根底上归纳出公理。根本教学模式：生活实例或实践 归纳 公理 举例、解决问题 进一步验证公理真实性2.提倡证明方法多样化对一个命题采用多种证明方法，不仅可以开拓学生思路，训练思维能力，而且还能使学生从横向和纵向方面把握命题，加深对命题理解。当然，这里提倡证明方法多样化，也是对学生群体要求，而不是个体要求。3.注重数学定理应用数学定理是求解和证明数学问题工具，在教学中要及时介绍相关定理应用，精心设置例题和习题。4.注意提醒数学思想方法数学思想方法是内隐在具体数学知识之中，而一个数学命题产生，往往本身就包含着一定数学思想方法。在教学中，要及时向学生提醒隐含在其中数学思想方法。如圆

30、周角定理证明，要突出“分类思想，等等。5.注意定理拓展与引申对定理作适当拓展与引申，一方面为后续学习作铺垫，另一方面可以为学有余力学生提供学习空间。命题拓展与引申主要方法：1讨论命题另外三种形式逆命题构造：实质不同命题只有原命题和逆命题两种，其他两种只是形式不同而已。要构造一个命题逆命题，首先必须细致地分清原命题条件和结论，有时还需要结合图形来说明；然后将条件和结论互换；要根据情况对表述作适当修辞，使文字通顺明白和不犯逻辑错误。2变化命题条件：通过增加或减少命题条件，讨论命题结论相应变化，从而理解命题中条件变化对结论影响。3 联想有关命题。联想与原来命题可比命题或联想与原来命题容易混淆命题，从

31、而比拟和区分原来命题和所联想命题。4推广命题。有限无限，低维高维，特殊一般数学公式教学公式是用字母和符号表达数学命题。根本模式：公式引入公式推导公式记忆变式训练代数公式：算式计算归纳几何公式：动手操作发现数学中每一个公式都有严格推导过程，让学生熟练掌握公式推导方法有利于学生记住公式和灵活运用公式，还能使学生领悟蕴藏在数学公式推导过程中数学思想方法与根本解题技能。与公式根本构造完全一样题型对应区分。任何一个数学公式都是在一定条件下成立，使用不当就会得出错误或者不完整结论。一般课本中都是推导或证明公式一种标准形式，而实际应用时符合这个标准形式毕竟是少数，所以在得到公式标准形式后，还应对公式进展变形

32、研究，找到它一些其他形式。这样既能深刻理解公式，又可灵活应用于解题。比方，在三角函数中有大量公式可以变形。 专题三：数学解题教学数学解题根本步骤美籍数学家、数学教育家波利亚给出了一个简明数学问题解决过程和步骤，点明了采取这些步骤动机和态度，提醒了解数学题心理活动历程。理解问题。首先，必须弄清楚问题求解目标是什么，并将其目标在脑海中留下深刻印象。其次，弄清楚条件是什么，明确任务：如何在与未知之间架起桥梁。设计求解方案。先观察能否在条件与未知解答中直接架起桥梁。倘假设不能，就得采用迂回策略设计辅助问题，以求到达目标。通过辅助问题解决在与未知之间建立联系，形成一条通道。实现求解方案。将探索到解题方案

33、进展逻辑整理，并且用语言将其表达出来。检验和回忆。检验所得结果是否符合实际，回忆解题过程中关键，探索更好方法。Ptolomy定理：四边形ABCD内接于圆O，求证：用什么方法可导向结论？变形：将左边拆成两项变形：移项得-=，能够将左边化简，从而导向右边吗？化异为同：AC、BD可以用四边形边来表示吗？利用中介化异为同：AC,BD,AB,BC,CD,DA可以用什么共同中介量来表示吗？联想：设，那么再乘以就等于SABCD，那么右边乘以能否得到SABCD呢？专题四：数学教学原那么和教学方法荷兰数学教育家弗赖登塔尔提出数学教学原那么可概括为四条：“数学现实原那么；“数学化原那么；“再创造原那么；“严谨性原

34、那么。二、 教学方法选择与整合同样教学素材采用不同教学方法得到效果是不一样，因此，教学素材选择同时还应关注教学方法设计1教学方法分类介绍1讲授法 在现行课堂教学中，使用得最为普遍莫过于讲授法 所谓讲授法，从形式上看，就是由教师个人对全体学生讲述某个教学主题讲授法实质及其在教学中应用讲授法，实质上是通过教师“讲来传授知识，学生那么通过“倾听(当然在倾听中也有自己思考与理解)来承受知识应该说，在未来数学教学中，这种教学方式仍会得到普遍使用因为从学生学习过程中知识信息传输方向而言，学生学习可以分为承受学习和发现学习，而且随着社会化程度加快，对学习效率要求提高，学生对人类文明成果承受学习仍然十分重要所

35、以，在未来学生学习中，承受式学习仍是一种重要学习方式，因而讲授法仍将是一种普遍使用教学方法 讲授法具有一个十清楚显好处：节约时间和人力讲授法中，经过教师整理和设计，学生要学习内容被程序化、模式化和清晰化，而且可以保证所有学生学习步调一致，因而可以节约学生学习时间，提高学生学习效率当然，这里高效率是离不开教师精彩讲授和恰当设计因此，讲授法要求教师表达清楚、形象，这样才能使学生清楚地了解所讲授内容含义；同时要求教师在教学设计时能够比拟逻辑地把握学科知识，比拟准确地把握学生思维水平和特征，并据此设计出恰当而又具有层次性教学素材，从而使学生对各个环节知识之间形成比拟好联系，形成对知识整体把握当然，前者

36、是对教师教学根本功和个人教学艺术要求，我们暂且不予关注，我们仅关注其教学设计问题讲授法教学设计为了讲授得更为有效，在利用讲授法进展教学设计时，我们应关注讲授内容和方式，即讲授什么和怎样讲授问题讲授什么对于讲授什么，我们应关注知识本身特征和学生承受能力两个方面从知识本身特征来看，讲授法所讲授知识，顾名思义，是可以讲授，即可以言传明确知识例如，一些根本数学概念(如平行四边形概念)，一些根本数学表示方法(如平行、垂直表示方法等)，根本数学运算(如一位数与两位数乘法)，一些根本数学命题(如平行四边形判定条件)和数学史实(如初中阶段无理数发现史、高中阶段复数发现史)等2探究教学法数学探究学习是当前数学课

37、程改革倡导学习方式之一，?全日制义务教育数学课程标准?提出：“有效数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学重要方式。数学探究学习有其丰富价值，但显然不是所有内容都需要或值得探究，那么哪些数学内容适合探究？哪些不适合探究？这是教学中首先关注问题。不需要探究内容 太难或太易问题不适合探究。从心理学上来说， “最近开展区是教学最正确期,超出“最近开展区之外教学和降低“最近开展区水平教学对于学生来说都是低效，太难问题学生无法和原认知构造中有关知识建立联系，无法探究，太易问题，对学生没有思维挑战性，达不到数学探究学习意义。适合探究内容很多，大致可归结为三种类型：形

38、成性探究、建构性探究和应用性探究。形成性探究 主要是将教材中知识形成过程设计成探究问题，让学生在探究活动中自主建构数学知识，如数学概念抽象、命题探索等。2.3 探究学习组织形式探究学习按照学习自主程度可分为独立探究和小组探究，一般来说，当探究内容个人经努力后能独立完成，应由学生独立进展，当探究内容较为复杂或容易出现多种解答时，适宜小组探究。独立探究所谓独立探究是指学生个体对探究问题进展独立思考、研究，独立探究能使学生学到科学探究方法，从而增强学生自主意识，培养学生探索精神和创新能力。小组探究所谓小组探究，是指以小组为单位，为完成共同探究任务，具有明确责任分工互助性探究，小组探究能使学生集思广益

39、，思维互补，思维开阔，使获得知识更明确，方法更全面。2.4 教师作用探究学习给学生提供了自主学习时间和空间，但学生探究活动如果得不到教师适时和有效调控和指导，学生探究活动或难以进展，或难以深入。适合情境 教师引导学生探究首要任务就是如何创设探究学习情境，引出探究主题，激发学生探究欲望。数学探究学习情境与一般教学情境相比拟应突出如下几点： 问题性：“问题是探究方向与动力，是学生学习新知源头所在，创设探究情境应有利于学生提取信息，提出数学问题。挑战性：作为数学探究情境材料或活动，应该是学生不能马上解决，但可以起步，即有一定思维含量。数学性：作为探究情境材料或活动应和学习主题严密相关，有一定数学内涵

40、，能够很好地表达教学目标。趣味性：作为探究情境材料或活动应尽量新颖有趣，能有效地激发学生学习动机。专题五：数学教学设计一、教案三要素完成数学教学设计，教师需要考虑以下三个方面：1明确教学目标。课堂教学必须完成课程标准设置要求。针对学生学习任务，教师应该对教学活动根本过程有一个整体把握，按照教学情境需要和教育对象特点确定合理教学目标。2形成设计意图。根据教学目标，选择适当教学方法和教学策略，形成科学、合理、实用、艺术化设计意图。这种设计是一种创造过程，具有自己个性特征。3制定教学过程。将设计意图转换为采用可操作、有效教学手段，创设良好教学环境，有序地实施各个教学环节，拟订可行评价方案，从而促使教

41、学活动顺利进展，到达原定目标。远期目标可以是某一课程内容学习完毕时所要到达目标，也可以是某一学习阶段完毕后所要到达目标。近期目标那么是某一课程内容学习过程中，或者某一学习环节比方一节或几节课完毕时所要到达目标。一般而言，它与特定教学内容密切相关，具有很强针对性、可操作性。除了上述分类方式以外，按照新数学课程标准全日制义务教育?数学课程标准?实验稿，从教学结果角度来分类，教学目标还可以分为：知识技能类目标、过程与方法类目标、情感与态度类目标。三、设计意图形成第一、需要整体设计。一堂数学课是整个单元乃至整门课程组成局部。教师必须把握整体，才能看清局部。如函数第二、需要分析教学内容重点和难点。教学目

42、标确定之后，具体实行起来，必须抓住重点，解决主要矛盾。同时，又要分析这些数学内容难点，设法克制。有些难点是理解上困难，如无理数、复数、指数、函数、对应等等；有些是技巧性，如因式分解、三角恒等变换、不等式缩放等等。四、教学设计展示教学设计以课时为单位，如果一节有几个课时，一般在该节初始有个总体说明，说明这几课时内容安排总体思路及相互之间联系等。对于具体某一课时，一般分成下面几个局部：学生起点分析：分析学生已经具备哪些知识根底、活动经历根底等，这些都是实施本课时教学任务根底。教学任务分析：分析本课时所要完成具体教学任务，并针对学生根底分析，提出本课时具体教学目标，教学目标一般包括知识与技能、过程与

43、方法和情感与态度三个方面。教学过程设计：展现师生在共同实施教学任务中活动状态变换及其时间流程。建议按照教学顺序写成几个教学环节，如对于有关命题探究运用课堂，可以选用这样几个教学环节：情景引入，提出问题；活动探究，猜测结论；验证明确结论；运用稳固；课堂小结；布置作业等。交稿中，首先写明几个教学环节，再对每个环节进展展开。对于每一个教学环节，建议写明这样几个方面：活动内容这个环节干什么、活动目为什么设计这个环节和活动考前须知说明这个活动中教师和学生活动方式，以及选择这个方式原因；在这个活动中学生可能有哪些表现；对于预想这些学生表现，教师如何应对等。实际上这答复了如何教问题。如果这节课是教师们已经上

44、过课，建议将“活动考前须知改成“教学要求与效果，除了说明你教学处理外，还可以说明你教学效果，如你预想教学目是否达成，原因何在等。教学设计反思：任何一个教学设计，都是针对特定学生群体，由一定针对性，因此可以说明针对不同学生群体，还可以怎样设计；任何一个教学设计都是根据学生情况有所侧重，需要说明本教学设计中侧重学生哪些方面开展，可能对哪些方面关注不够，如果仍然是针对同一水平学生，如果侧重于关注不同方面开展，那么教学设计可以有哪些调整。如果这节课已经上过，需要对这节课教学过程进展回忆，思考这节课教学目标达成情况，即效果如何，需要分析造成这样效果原因何在，在未来教学中可以作哪些调整等。专题六 说课一、

45、 说课主要内容包括哪些？说教材 说教法 说教学过程 说评价或反思 说教材目标与内容确定、选取和分析 说课开场：介绍自己，把课题名称、课题版本告之同行1教师要根据数学课程标准要求，说出该课题 教材主要内容，说明该课题教材内容整体与 局部之间关系，各内容地位和作用2说出本课时或几个课时具体教学目标以 及确定目标依据3分析教材编写思路和构造特点，说出重点、难点呈现：地位和作用 教学目标 重点、难点 说教法介绍选择“教方法与策略在分析学生根底上，说出该教学内容所采用哪种或哪几种方法，以及这种或这些教学方法具体操作要点 说教学过程 教学过程是教师具体施教步骤，是教师教学设计表达与教学理念展示过程，一般要说清主要教学环节，重点如何突出，难点如何化解，教学手段、方法等.首先介绍整节课设计思路及程序，一般分为几个环节说每一环节设计为什么；要对可能会出现结果进展预测课前说或实际教学结果与预期目标做比拟课后说说评价或反思说评价课堂教学是以教师为主体学生为客体实施教学评价最主要环节，因此说课要说清如何进展教学评价及其理论依据.说反思 特色 学生亮点 缺乏或改良之处二、 说课应该注意问题：1处理好说课和备课区别，说课不能照教