垂径定理的实际运用强化练习.docx

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1、垂径定理的实际运用强化练习学校:姓名：班级：考号：一、单项选择题1.如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A, B两点,他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB = 16厘米.假设从目前太阳所处位置 到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，那么“图上”太阳升起的速度为（）C. 1.2厘米/分D. 1.2厘米/分E. 1.4厘米/分2 .往水平放置的半径为13cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如下图，假设水面宽度A3 = 24cm,那么水的最大深度为（）24A. 5cmB. 8cmC. 10cmD. 12cm.筒车是我国古代创造的一种水利灌溉工具，明朝科学家

2、徐光启在农政全书中用 图画描绘了筒车的工作原理，如图1,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心。为圆心的 圆，如图2,圆心。在水面上方，且O。被水面截得的弦A3长为6米，O。半径 长为4米.假设点。为运行轨道的最低点，那么点。到弦AB所在直线的距离是（）ADOAD1图图图(1)如图，连接AO, BD, CD,求/ADC, /加。的度数；(2)如图，假设垂足为点已 连接DC过点。作OO的切线与的延长 线交于点F求NCO/的度数.参考答案:1. A【解析】【分析】过OO的圆心。，作CDLAB于点C,交OO于点。，连接。4,由垂径定理可求得。C的 长度，从而求得CD的长度，又由从目前太阳所处位置到太阳完全跳出

3、海平面的时间为16 分钟，从而求得答案.【详解】解：过O。的圆心。，作于点C,交O。于点连接。4,如以下图：VCD1AB,且是直径A ZACO = 90 AC = BC = AB = -xl6 = 8 （厘米） 22在心AOC中，ZACO = 900 9 AC = 8厘米，04=10 厘米由勾股定理得：OC2 =OA2-AC2,即：0C2 =100-64=36? OC0/. OC=6 （厘米）A CD = OC-bOD=l6 （厘米）又;从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟/. 164-16=1 （厘米/分）丁图上”太阳升起的速度为：1.0厘米/分应选：A【点睛】此题考查垂径

4、定理的应用，勾股定理解直角三角形等相关知识点，牢记定理内容并能用数 形结合思想解题是关键点.2. B【解析】【分析】答案第1页，共30页连接04,过点。作。交AB于点C交。于。，再根据勾股定理求出AC的长，进而可得出C。的长.【详解】解：连接04,过点。作OQL45交AB于点。交。0于。，D9：OCAB9由垂径定理可知，：.AC=CB=-AB=129在R2A0C中，由勾股定理可知： OC = V(9A2 - AC2 = V132 - 122 = 5，/. CD = ODOC = 135 = 8(cm),应选：B.【点睛】此题考查了垂径定理及勾股定理的应用，属于基础题，关键是过。点作AB的垂线，

5、由此 即可求解.3. B【解析】【分析】连接。交A5于。，根据圆的性质和垂径定理可知0C_L4& AD=BD=3,根据勾股定理 求得。的长，由CQ=OC-。即可求解.【详解】解：根据题意和圆的性质知点C为A3的中点，连接。交 A3 于。，那么。C_LAB, AD=BD=-AB=39在 RtA OAD 中，0A=4, AZ)=3,0- 0D= ylo-AD1 = 742 -32 = V7，答案第2页，共30页即点C到弦川所在直线的距离是（4-疗）米,水面【点睛】此题考查圆的性质、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键.4. D【解析】【分析】首先连接。4由垂径定理即可求得AO的长，然后

6、设。Dr,那么O4=2x,由勾股定理即可求得圆的半径；【详解】解：设。与A3交于点，连接。C,设 OC=x,/圆。的弦A8垂直平分半径0C,0C=2x, AD- - AB = x 2/3 = /3 , 22丁 OA2 = OD2 + AD2 ，；（2x=/+（可，解得：X = 1 , 圆的半径为：2.应选：D.答案第3页，共30页【点睛】此题考查了垂径定理以及勾股定理，此题难度不大，注意掌握辅助线的作法及数形结合的 思想的应用.5. B【解析】【分析】由垂径定理知J NAOC=50。，再根据圆周角定理可得答案.【详解】解：ZAOC=OQ09N5OC=；NAOC=50。，那么 ZBDC= | Z

7、BOC=25,应选：B.【点睛】此题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握垂径定理及圆周角定理等知识点.6. C【解析】【分析】如图，。为圆心，连接。4, AC,作CJ_AC于E ,。/，于尸，由题意设。4 = % 那么O = O尸一/=。一0.4,在放49石 中，由勾股定理得AE2=oa2。石2,即1 二 一（ 0.4）2,求出的值，求出直径，进而可得答案.【详解】解：如图，。为圆心，连接。4, AC,作O尸_LAC于E , OFLBD于F答案第4页，共30页由题知 04 = 0 /，AE = -AC = -BD = l, EF = AB = OA 22设04 =。，那么。石二O尸一尸=a0.

8、4在吊AOE中，由勾股定理得A炉=。42_0炉，即1 = /（。_0.4）22 9解得。言 乙这扇圆弧形门的最高点离地面的距离为2a = 2.9米应选C.【点睛】此题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理.解题的关键在于求出圆的半径.7. D【解析】【分析】分两种情况求解：如图1,宽度为8cm的油面CO,作ON, A3与CO、A3的交点为M、N,可知 OMJLCZ）, CM =MD = -CD = 4cm, AN = BN = -AB = 3cm ,在 RtABON 22中，由勾股定理得ON = Jo9助，解得ON的值，在心3OM中，由勾股定理得OM = yOD2-DM2，解得0M的值，计算ON

9、-即可；如图2,宽度为8cm的油面EF,作PNLEF与AB、EF的交点为N、P,连接。B,由题意知A3,EP = PF = -EF = 4cm, AN = BN AB = 3cm ,在心BON中，由勾股定理得 22ON = doB2 一BN?，在心在尸。中，由勾月殳定理得Jo石2砂2 ,计算NP = ON + OP即可.【详解】解：分两种情况求解：如图1,宽度为8cm的油面CD,作ONJ_AB与CD、AB的交点答案第5页，共30页为M、N由题意知QMLCO, CM =MD = -CD = 4cm9 AN = BN = -AB = 3cm 22在RtABON中,由勾股定理得ON = 73匹而7

10、= 4cm在心口?中，由勾股定理得w=Joz)2=3cm，MN = ON-OM =lcm如图2,宽度为8cm的油面所，作PNLEF与AB、EF的交点、为N、P,连接。8由题意知 PNJ_A5, EP=PF = -EF = 4cm, AN = BN = -AB = 3cm 22在阳BON中，由勾股定理得ON = JO52-BN? =4cm在R，aEP。中，由勾股定理得OP = JOE?石尸=35，NP = ON + OP = 1cm工油面AB上升到CD,上升了 1cm,油面AB上升到EF,上升了 7cm；应选D.【点睛】此题考查了圆的垂径定理，勾股定理.解题的关键在于对两种情况全面考虑.8. D

11、答案第6页，共30页【解析】【分析】如图，记圆柱形容器的截面圆心为。，过。作于。，交圆于C,设圆的半径为 r,而8 = 16,。3 =兀。=厂-16,再利用勾股定理建立方程即可.【详解】解：如图，记圆柱形容器的截面圆心为。，过。作 8, A5于。，交圆于C那么 AO = 3O,A3 = 24,2设圆的半径为分而。=16, OB - r, OD -r- 16, r2 =(r- 16)2 +242,解得：r = 26.圆柱形容器的截面直径为52cm.应选D【点睛】此题考查的是垂径定理的实际应用，作辅助线构建符合垂径定理的模型是解此题的关键.9. B【解析】【分析】由题意知，秋千摆至最低点时，点。为

12、A8的中点，由垂径定理知AD=-AB=L5米.再根据勾股定理求得04即可.【详解】解：点。为A3的中点，由垂径定理知 ODLAB, AD=BD= 1AB= 1 x3= 1.5(),：.OA2=AD2+OD2,答案第7页，共30页 那么 OA2=AD2+(OA-CD)2= 1.52+(OA-0.5)2,解得：OA=2.5(米).应选：B.【点睛】此题考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，将实际问题抽象为儿何问题是解题的关键.10. A【解析】【分析】如图，。为圆心，连接04过点。作0CJ_43于点由垂径定理求出AD的长，再根据 勾股定理求出。的长，计算出C。的高度，进而可得出结论.【详解】解：如

13、图，。为圆心，连接。4,过点。作OCL4B于点，A3=8cm,.AD= ； AB=4cm,OA=5cm, OD= Jo Ab1 = V52 -42 = 3 cm，CO=OCOD=5 3 = 2cm,从目前所处位置到完全落入水中的时间为4s,2球体下落的平均速度为：- = 0.5cm/s.4应选：A.【点睛】此题考查的是垂径定理在实际生活中的运用，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出 直角三角形.答案第8页，共30页240我【解析】【分析】如图，设小圆的切线与小圆相切于点D,与大圆交于M、N,连接0。、OM,根据切 线的性质定理和垂径定理求解即可.【详解】解：如图，设小圆的切线与小圆相切于点Q

14、,与大圆交于M、N,连接。、那么 ODLMN,：.MD=DN,在&ZkODM 中，OM= 180cm, 6D=60cm, MD = OM2-OD2 =71802-602 =120/2cm, MN = 2MD = 240后cm,即该球在大圆内滑行的路径MN的长度为240acm,故答案为：240夜.【点睛】此题考查切线的性质定理、垂径定理、勾股定理，熟练掌握切线的性质和垂径定理是解答 的关键.11. 3【解析】【分析】答案第9页，共30页A. 1米B. （4e）米C. 2米D. （4 +6）米4 .如图，的弦A3垂直平分半径0C,假设弦A3 = 2g,那么O。的半径为（）A. 72B. 2a/2C

15、. V3D. 2.如图，5。是。的直径，于点E, ZAOC= 100,那么NBOC的度数是（）A. 20B. 25C. 30D, 40.如图是公园的一扇圆弧形门，这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB = CZ） = 0.4米，瓦=2米，且A3, CD与水平地面都是垂直的.根据以上数据，这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是（）A. 2米B. 2.5 米C. 2.9 米D. 3.2 米过。作OQLAB于。，连接。4,由垂径定理得（米），然后在Rtzx A。中，由勾股定理求出。的长即可.【详解】解：过。作。_1_43于。，连接04,如下图：图2贝IMO=BO=；A3=4 （米），在RtZkA。

16、中，由勾股定理得：如灰3=正_42 =3 （米），即圆心。到水面45的距离为3米，故答案为：3.【点睛】此题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关 键.13. 0T 或百+1【解析】【分析】根据NBED=90得出E在以a）为直径的圆上，圆心为中点0,如下图，然后根据 垂直平分线求出0M的长度，再根据勾股定理求出3。的长度，最后求出石M、的长 度，根据三角形的面积公式求解即可.【详解】/ BEA.I ,，/BED=qU,E在以8。为直径的圆上，圆心为5。中点0,如下图，答案第10页，共30页/ AE=BE, E在AB的垂直平分线上，OA=OB9E。所在直线为A

17、3的垂直平分线，交。于点E、 M为A3的中点，OM =-AD = l, 29：AB=AD=29 BQ =+AZ)? =2&， OE = C，:.EM=6-1，E，M =亚 + 1，S梯=| AB.EM = 0 1 或 S； = I .EfM =血 +1 .故答案为：及一1或及+1.【点睛】此题主要考查了圆的垂径定理，正确作图，根据垂直平分线和勾股定理逐步求出加、 的长度是解题的关键.14. 2 或 14m#14 或 2cm【解析】【分析】分液面在原先。下方和圆心。上方两种情况利用垂径定理和勾股定理求解即可.【详解】解：如下图，设截面的圆心为。，作直径交A5于G,连接。E, 0A答案第11页，共

18、30页由垂直定理得：AG = BG = -AB = 6m9:直径为20m圆。的半径是10m,OE = OD = OA = 1 Om ,在 RtA OAG 中 OG = 7H笆而= Ji瓦宝= 8m，当水面E尸在圆心。下方时，: EFAB, CDA.AB,：.CDLEF,：.EH = FH=-EF = Sm, 2在 RSOEH 中，OH = y/OED如下图，当水面Eb在圆心。上方时，EFAB, CDLAB,：.CDEF,：.EH = FH=-EF = Sm, 在 R3 0EH 中，OH =d0E2EH?=6m，：.“G = OG + Q = 8 + 6 = 14m,此时液面上升的高度为14m,

19、综上所述，液面上升的高度为2或14m.故答案为2或14m.答案第12页，共30页-EH2 = V102-82 = 6m/. HG = OGOD = 8 6 = 2m, 此时液面上升的高度为2mOH 1 1 n/OH 1 1 n/C【点睛】此题主要考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握垂径定理，以及利用 分类讨论的思想求解.15. 100【解析】【分析】根据垂径定理和勾股定理求解.【详解】解：如图，CD = 20cm, V CO LAB,为AB的中点，即设 O3 = xcm, BD = 40cm,在 RtZXOBZ)中，OB2 = DO2 + BD2.那么 f=i600 + (x

20、20)2,解得 x = 50,那么直径为 100cm.【点睛】此题考查了垂径定理的运用.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所 对的两条弧.解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用 勾股定理求解.16. V2答案第13页，共30页【解析】【分析】 连接AP, AQ,根据3P% = A32知道3”伏,进而得出/BAQ = N8PA,那么点Q的路径是经过A点的线段AQ,再根据相似三角形的性质求出AQ即可.【详解】解：如图：连接AP, AQ,当3P .5Q = Al时，BP AB即而=而， ZBAQ = /BPA ,点Q的路径是经过A点的线段AQ ,当点P在点

21、。时, * AC = BC9 ：.AC = BC, BP AP = PB,.AB = AQ9 : AB /2 ,点。的运动路径长为血答案第14页，共30页【点睛】此题利用圆考查了垂径定理，涉及到相似三角形的判定和性质，有一定难度.17. （1）证明见详解；（2） 6； （3） CQ2=2QD2 + AQ2.【解析】【分析】（1）根据点。是AC的中点，可得至然后得到ND4ONQC4,然后结合BC1AC,利用互余的性质可得到即可得到结论；（2）连接。交O。于点区 交AC于点忆 连接AE可得到根据条件易有 /DAF=/AED,可证的AFQsZd477,然后得到比例关系，又因为。，户均为中点可得至然后

22、即可得至U结论；（3）以。为直角顶点，。为直角边作等腰直角QGQ,连接AG,然后证得 ADQACDQ,得至|JAG=C。，然后根据圆周角定理和对称的关系得到ZP=ZAQD=45,进而得到NAQG=NAQO+/QQG=90。，在根据勾股定理得到三边关系, 进一步替换即可.【详解】解：（1）证明：:点。是AC的中点， AD = CD ,：.AD=CD,：.ZDAC=ZDCA,? BC.LAC,：.ZDAC+ZB=9Q0, ZZ）CA+ZrCB=90, ZDCB=ZDBC,/. CD - BD,/. AD=BD；（2）如图，连接。交于点区 交AC于点R连接A,答案第15页，共30页点。是AC的中点,

23、AD = DC/DAF=/AED,OE为OO的直径,AELAD, 四 点/为AC中点NEAD=NAFD,AAFDAEAD,AD _FDED ADAD = BD,。方是ABC中位线,DF二；BC,12 AD上6； BC(3)如图，以。为直角顶点，Q。为直角边作等腰直角OGQ,连接AG,那么 QG2=2Q/52, /dqg=45。,答案第16页，共30页AC为OO的直径， ZADC=9Q0,：.ZQDG+ ZQDA= ZADC+ ZQDA 即 ZADG=ZCDQ9AD = CD在 ADQ 和 CDQ 中 v /ADG = ZCDQDG = DQ：./XADQ也COQ(SAS),：.AG=CQ,丁点

24、。是AC的中点， ZP=45,由对称可知：NP=/AQZ)=45。，ZAQG= ZAQD+ZDQG=90, AG2 = QG2 + AQ2 9：.CQ2 = 2QD2 + AQ2.【点睛】此题主要考查圆和相似三角形的判定和性质，能够做出辅助线，结合勾股定理推导边关系 式解题的关键.18. (1)见解析(2)见解析【解析】【分析】(1)因为A8为。的直径，所以NAC8=90。，即NC43+NC84 = 90。，证NBGE=ZCAB,可得N3G+NC3A = 90。，可得。E_LA3；(2)连接。交8。于H,连接BD,由AQ平分NCAB,得CD = BD,所以8c BH = CH,用面积法可证5”

25、=。区 可得BC=2DE.(1) 证明：TAB为。的直径，. ZACB = 90 , .NC4B + NCA4 = 90。，答案第17页，共30页： /DGF = /CAB, /DGF = /BGE, :2BGE = /CAB,.NBGE+NCBA = 90。,ZGB = 90,：.DELAB.(2)：DH=2DE, DB = BH， AQ 平分 NCA5, CD = BD 9 二 BC = DH，：.BC=DH,：.BC=2DE.【点睛】此题主要考查了圆的基本性质，圆周角定理，角平分线的定义，垂径定理，解题的关键是 熟练掌握圆的基本性质，并灵活运用圆的基本性质.19. (1) 10, 6；

26、(2)证明见解析；(3) 6.【解析】【分析】(1)根据“十字弦”定义可得弦AB的十字弦CD为直径时最大，当CD过A点或B点时 最小；(2)根据线段长度得出对应边成比例且有夹角相等，证明ACHs/DCA,由其性质得出对应角相等，结合90。的圆周角证出AH_LCD,根据“十字弦”定义可得；(3)过。作OELAB于点E,作OFLCD于点F,设DH=x,由题意可得其它线段的长,答案第18页，共30页在RtZkOEA中，根据勾股定理列方程得出x的值，从而可求CD的长.【详解】 解：(1)当CD为直径时，CD最大，此时CD=10,弦AB的“十字弦”CD的最大值为10；当CD过A点时，CD长最小，即AM的

27、长度，过。点作0NJ_AM,垂足为N,作0G1AB,垂足为G,那么四边形AGON为矩形,AAN=OG,VOGAB, AB=8,；AG=4,，由勾股定理得OG=3,J AN=3,VONAM, /. AM=6,即弦AB的十字弦”CD的最小值是6.(2)证明：如图，连接AD,TAO 12, DH=7, CH=9,CD=CH+DH=16vzc=zc,A AACHADCA,答案第19页，共30页7 .在圆柱形油槽内装有一些油，截面如下图，截面。半径为5cm,油面宽A3为6cm,如果再注入一些油后，油面宽变为8cm,那么油面A3上升了（）cmA. 1B. 3C. 3 或 4D. 1 或 78 .往圆柱形容

28、器内装入一些水以后，截面如下图，假设水面宽AB = 48cm,水的最大深度为16cm,那么圆柱形容器的截面直径为（）cm.A. 10B. 14C. 26D. 529 .如图，小丽荡秋千，秋千链子的长为04,秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水 平距离A5为3米，秋千摆至最高位置时与最低位置时的高度之差（即为0.5 米.那么秋千链子的长。4为（）A. 2 米B. 2.5 米C. 1.5 米D.，米10.如图，某同学测试一个球体在水中的下落速度，他测得截面圆的半径为5cm,假 设球的横截面与水面交于A, 3两点，AB=8cm9假设从目前所处位置到完全落入水中的 时间为4s,那么球体下落的平均速度为（

29、）AZAHC=ZCADCD是直径，ZCAD=90, ZAHC=90,AH LCD,AB、CD互为“十字弦”.(3)如图，过。作OELAB于点E,作OFLCD于点F,连接OA, OD,那么四边形OEHF 是矩形，AOE=FH, OF=EH,设 DH=x,V = 5, AB=CD, DH那么 CH=5x, CD=AB=6x,AFD=AE=3x,JOE=FH=3x-x=2x,半径为JB,在RJOEA中，由勾股定理得，OA2 = OE2 + AE2 ,.(a/13)2=(2x)2+(3x)2,解得,x=L.CD=6xl=6答案第20页，共30页【点睛】此题考查圆的相关性质，垂径定理，勾股定理等知识点，

30、熟练掌握相关知识，准确做出辅 助线是解答此题的关键.20. 6.64 米【解析】【分析】通过垂径定理求出AD,再通过三角函数解直角三角形，求出AO和OD的值，从而得到 点C到弦AB所在直线的距离.【详解】解：如图：连接CO并延长，交AB于点D,VODAB, AB=6,ADAB=3, 2AO在 RtAOAD 中，NOAB=4L3。，cosNOAD=,AOAO= = 4,cos/OADV sin Z OAD=,AO.*.OD=AOsinZOAD=2.64,二CD=OC+OD=AO+OD=4+2.64=6.64 米，答：点C到弦AB所在直线的距离是6.64米.答案第21页，共30页c【点睛】此题为圆

31、中计算的典型考题，考查了垂径定理和三角函数的应用，通过垂径定理求出AD 的值是解题关键.21. (1) 60； (2)久；(3)2；3也一屈【解析】【分析】(1)利用圆周角定理以及正切函数即可求解；(2)利用圆周角定理以及弧长公式即可求解；(3)设AE=x,利用特殊角的三角函数值求得ED=gx, AD=2x, BD=&x, BC=2x , CD=1x,在RjABC中，利用勾股定理即可求解；22由NCAE=60。，得到NCME=120*NEOC,知点M在以。，为圆心，00为半径的。 上，当A、M、0共线时，AM取得最小值，作出如图的辅助线，利用垂径定理和解直角 三角形即可求解.【详解】(1) A

32、3是半圆。的直径， ZACB=ZAEB=90,CD ./. tan Z CBD- =6, BC：.N CBD=60。，：.ZCAE=ZCBD60；(2) .* ZCOE=2ZCAE= 120,二.B的长为心=叵=巫； 1803(3)设AE=尤，V ZCAE=ZCBD=60, NAED=NBCD=90。，答案第22页，共30页，BD=囱x, BC二，BD=囱x, BC二x, CD=-x,227在 RtZkABC 中,/ BC2 + AC2 = AB2,2+(Zx)2=(2V13)2, 22+(Zx)2=(2V13)2, 2解得：x = 2,解得：x = 2,：.AE=2；如图，取CE的点中点O,

33、连接OE, OC,丁 ZCAE=60,，ZCME=120= Z EOC, Z COfE = 120。,：/OOE =ZOfOC =60。,J 。和4是等边三角形,点M在以。，为圆心，。为半径的。上,当A、M、。，共线时，AM取得最小值,过 O 作 OFJ_AE, OQJ.AO,过 O 作 OFJ_AE, OQJ.AO,A FP = AF-tan30 = , AP = 2FP = , 33OF = y/o-AF2 = 7(V13)2-12 = g = 25OP = OF-FP = -yf3 93丁 NE4O = 30。，NAEP = 90。，答案第23页，共30页，ZOPQ = ZAPF = 9

34、0 - 30 = 60,在 RtAOPQ 中,: AQ = AP+PQ = - 6 AO = 2AQ = 3y/3 9AM的最小值为AOOM = AO-(y0 = 36-屈.【点睛】此题考查了圆周角定理，垂径定理，弧长公式的应用，勾股定理的应用，解直角三角形的 应用，含30度直角.三角形的性质，熟练掌握性质及判定是解此题的关键.22. (1)证明见解析；(2)166米;【解析】【分析】(1)连接A。并延长交圆于点,根据切线的性质，圆周角定理，由角的等量代换即可证 明；(2)过。作于R延长。尸交圆于点。，连接OG网。方。中，由勾股定理求 得CF的长；再由RICs尸区4,必2=pBpc,即可解答.

35、(1) 证明：如图连接A。并延长交圆于点应%是圆的切线，那么NEAP=90。, /.ZEAC+ZFAC=909AE是圆的直径，那么/ACE=90。,答案第24页，共30页，ZEAC+ZAEC=90,V ZAEC=ZABC, ：. ZABC=ZPAC, BP APAC = ZPBA ；解：如图，过。作。/，5c于居延长。方交圆于点。，连接0C,3C为水平面，那么。为圆的最低点，。尸二2米，由垂径定理可得3C=2CF心。尸。中，。尸 二。-。b =5-2=3 米，0c=5 米，那么 CF川0c2-OF? =4米，：.BC=2CF=S tK, P8=32+8=40 米，,: /P=/P, ZRC=Z

36、PBA,：.PA ： PB=PC ： M, BP PA2=pB.pc,：.PA= 732x40 = 1 6a/5 米.【点睛】此题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质；掌握相关性 质和定理是解题关键.23. 273【解析】【分析】过点。作。于点E,连接。4,根据垂径定理，可得AE = ：A3 = 3,由折叠得： oe=oa9然后在中，利用勾股定理即可求得结果.【详解】解：如图，过点。作OEL43于点E,连接。4,答案第25页，共30页：.AE = -AB = 3, 2由折叠得：。 = 。4, 设。石=%那么OA=2x,在心AEO中，由勾股定理得：OE2+AE2=O/.

37、即：f+32=41 解得：Xl= 6 X2=-g (不合题意，舍去)，2x=26答：O。的半径为2百.【点睛】此题主要考查了折叠的性质、垂径定理和勾股定理，熟练运用相关性质和定理是解题的关 键.24. (1)见解析；(2) 7.5【解析】【分析】连接。证出A5CE,得至IJOULCE,由此得到结论；(2)连接AC 证四边形AEC3是平行四边形，求出CE=A3=9,再证明EACs石得到。炉=4。石，列得9? =6(6+4。)，由此求出答案.【详解】(1)证明：连接0CCD=CE,N=ND=N5,V ADBC, ZDAB = ZB, ZE = ZDAB,答案第26页，共30页：.AB/CE, 4?

38、是。的弦，点。是AB的中点,：.OCCE,CE是。的切线；(2)解：连接AC,: ADBC, AB/CE, 四边形AEC3是平行四边形， ：.CE=AB=9,TAB是。的弦，点。是A8的中点，:.ac=bc9:/CAB=/B=/D, : XBCE,：./ACE=/CAB,：.ZACE=ZD,又/=/, ：./EAC/ECD：CE2=AEDE,：.92 =6(6 +AD),解得AO=7.5.答案第27页，共30页【点睛】此题考查圆的垂径定理，证明直线是圆的切线，相似三角形的判定及性质，平行四边形的 判定及性质，圆周角定理，熟记各定理并应用解决问题是解题的关键.25. (1)40, 110(2)3

39、5【解析】【分析】(1)首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求得ZACB、N阴。的度数，再根 据圆周角定理可得N加。的度数，据此即可解答；(2)延长。交于点连接BD,首先根据垂径定理可得=可求得/CW=NCBD=35。,再根据圆周角定理及切线的性质即可求得.(1) 解：9：AB=AC, /43。= 70。 ZACB = ZABC = 10二 ABAC = 180-ZABC-ZACB = 180-70-70 = 40 N5DC和NS4C所对的弧都是BC：.ZBDC = ZBAC = 40丁 NAD3和ZACB所对的弧都是A3ZADB = ZACB = 70：.ZADC = ZADB+/B

40、DC = 70。+ 40。= 110。:,NBDC的度数为40。，。的度数为110。；解：如图，延长。交于点连接CM, BD答案第28页，共30页AV0D1AC,。经过圆心。； AD=CDNAB。所对的弧是A。，/C8D所对的弧是CO ZABD = NCBD：.ZABC = ZABD + /CBD = ZCBD + ZCBD = 2ZCBD丁 ZABC = 70ZCBD = -ZABC = 1x70 = 35 22 ZCMD和/Ca）所对的都是CD：.ZCMD = ZCBD = 35丁 DM是OO的直径 ZDCM = 90: ZCMD+ZCDM =90OE是oo的切线 DFDM：./MDF =

41、 90。即 NC。b+ NC3M=90。 ZCMD = /CDF：.ZCDF = 350 /CD尸的度数为35。【点睛】 此题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，垂径定理，切线的性答案第29页，共30页A. 0.5cm/sB. 0.75cm/sC. Icm/sD. 2cm/s二、填空题H.为了落实“双减”政策，朝阳区一些学校在课后服务时段开设了与冬奥会工程冰壶 有关的选修课.如图，在冰壶比赛场地的一端画有一些同心圆作为营垒，其中有两个 圆的半径分别约为60cm和180 cm，小明掷出一球恰好沿着小圆的切线滑行出界，那么 该球在大圆内滑行的路径的长度为 cm.12 .如图1,水

42、车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是珍贵的历史文化遗 产.如图2,圆心。在水面上方，且OO被水面截得的弦A3长为8米，半径为5米, 那么圆心。到水面AB的距离为 米.s/水面.如图，在边长为2 cm的正方形ABC。中，直线/经过点D 作垂足为E,连接AE 假设AE=BE,那么A3E的面积为 cm2.质，作出辅助线是解决此题的关键.答案第30页，共30页13 .在直径为20m的的圆柱型油槽内注入一些油后，截面如下图，液面宽AB = 12m如果继续向油槽内注油，使液面宽为16m,那么液面上升了 m.14 .如图，某花园小区一圆形管道破裂，修理工准备更换一段新管道，水面到管道顶部距离为20c

43、m,那么修理工应准备内直径是加的管道.15 .如图，。的半径为1,弦=点P为劣弧AC上一个动点，延长鳍至点3 使bpbq = ab2,当点P由点A运动到点。时，点。的运动路径长为三、解答题16 .如图1, OO是的外接圆，点。是AC的中点，过点。作3C_LAC,交弦AD的延长线于点8.假设O。的半径为6,(2)4O2求出的值;BC(3)(3)如图2,假设AC是半圆，点尸是O。上的动点，且点。，。分别位于AC的两侧, 作关于的轴对称图形42。，连接C0,试探究。2, DQ2, A02三者之 间满足的数量关系，并证明所得到的结论.17 .如图，点C、。为。上直径A3同侧的两个点，连接A。、BC交于

44、点、F,点、E为 直径A8上一点，连接。石交3c于点G,且NOGQNC48.(1)求证：DEAB；(2)假设 AD 平分NCA5.求证：BC=2DE.18 .我们定义：如果圆的两条弦互相垂直且相交，那么这两条弦互为“十字弦”，也把 其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦如图1,。的两条弦ABJ_CD,那么 AB、CD互为“十字弦”，AB是CD的十字弦: CD也是AB的“十字弦”.【概念理解】(1)假设。的半径为5, 一条弦AB =8,那么弦AB的“十字弦”CD的最大值为, 最小值为.(2)如图2,假设。的弦CD恰好是。的直径，弦AB与CD相交于H,连接AC, 假设 AC=12, DH=7, CH =9,求证：AB、CD 互为“十字弦”;(3)如图3,在。中，半径为屈，弦AB与CD相交于H, AB、CD互为“十字弦”且AB=CD, g=5,那么CD的长度DH.筒车是我国古代创造的一种水利灌溉工具.如图1,明朝科学家徐光启在农政全 书中用图画描绘了筒车的工作原理,如图2,筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心。为圆 心的圆.圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，ZOAB=41.3