第11讲 指数与对数的运算（解析版）.docx

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1、第11讲指数与对数的运算【基础知识全通关】知识点01根式 概念：式子缶叫做根式，其中叫做根指数，。叫做被开方数.(2)性质：(缶)=4(。使也有意义)；当为奇数时，当为偶数时，歹7 = | =a, a0, a, a0, /加N*,且心1)；正数的负分数tn 1指数累的意义是晨1=m0, m, 金N*,且心1)； 0的正分数指数累等于0； 0的负分数指数嘉没有意义.(2)有理指数幕的运算性质:dd=a (ay=ars； (ab)r=arbr9其中曲0, b0, r,Q.知识点03对数的概念如果=白(。0,且存1),那么x叫做以为底N的对数，记作x=log“N,其中q叫做对数 的底数，N叫做真数.

2、知识点04 对数的性质、换底公式与运算性质对数的性质：心g，=N；logM=b(0，且1).(2)对数的运算法那么如果。0且存1, M0, N3 那么 loga(MN) = log.M+ logjv；M log 巧=logc logjv；logM=nogaM(n e R)；log/ =-logM, R,且加声0).(3)换底公式：logbN谓*a,人均大于零且不等于1).D. 1.7-* 2 3L250.2【答案】B【解析】A中，因为函数y=17在R上是增函数，2.53,所以中，因为y=06在R上是减函数,-K2,所以0.6-中,因为0.8一1.25,所以问题转化为比较1.25与1.2502的

3、大小.因为y=L25，在R上是增函数，0.1 0.2,所以L25L2502,即 0.8一J1.252口 中，因为00.9310.931.4X 1,烂0,1、4.（2022.辽宁沈阳模拟）设函数段）=七八 那么收 =（）logu，X0,9A. -1B. 1C.D平【答案】A【解析】6） = 10g2；= L. （2022四川宜宾模拟）假设函数段）=2靖+，一m0且存1）的图象恒过定点（一1,4）,那么m+九=()B. 1B. 1A. 3C. -1C. -1D. -2【答案】C【解析】因为函数/U） = 2+730且存1）的图象恒过定点（一1,4）,所以-1+机=0,且2,=4.解得 m= 1,2

4、,=4.解得 m= 1,n=-2,所以2+ =1.21.（2022 辽宁省锦州模拟假设实数。满足log百llog不z,那么。的取值范围是（）A(|, 1B.2 339 4【解析】由得,7.（2022.广西百色模拟）实数存1,函数抬尸7.（2022.广西百色模拟）实数存1,函数抬尸4 x0,2X0,假设3)=3)，那么。的值为（A-3七D.|【答案】【解析】当时，41=2,所以。=5；当1 时，4。一|=2。一。丁），无解.应选 B.8.(2022云南曲靖模拟)设 Q = logo.30.4, /7=log30.4,那么( )A. aba-b0B. a-bab0C. abQa+bD. a-b0l

5、ogo.31=。，/?=log30.4log31=0,所以。0,又脸+logo,43 = logo,40.9e(0,1),所以。吟1，所以岫+匕2的解集为（）A. (0, 2B 2, 2C. 2, +oo)D.fo, I U2, +oo)【答案】B【解析】因为於）的定义域为R, A-x） = logx2 +1）+7=，所以於）为区上的偶函数.易知其在区间0, +8）上单调递减,令r=log2x,所以log亚那么不等式川og2X)+/(loglr)N2 可化为/(?)+/(?)2,即2人，巨2,所以刖21,又因为式1） = 1吗2+羽 =1，段）在0, +8）上单调递减，在R上为偶函数，所以T2

6、,即 log2x1，1，所以2 ,应选B.10. （2022 江西省新余一中模拟设x, y, z为正数，且2=3）=5z,那么（ ）A. 2x3y5zA. 2x3y5zB. 5z2x3yC. 3y5z2xD. 3y2x5z【答案】D【解析】设2，= 3）=5z=Ql, 所以 x=log2攵，y=log3攵，z=log5%.23因为2x3y=21og2310g3仁硒一丽21ogk3 31ogQ log3-log239-8 gA olog2-log3 log2logk3 logR2log&3 E、I c L , 一 ,35310g5 51og3y；因 9 3y-5z=31ogM-51og5=iz-

7、 j j z i i Z =J ，E 6 log3 logk5 log b logk5 logBlogA51 12510gA243 一 、r2521og 510gMlog,3.logA5 所以 3y5z；因为 2x5z=21og25砥仁砧一宙=logQlogQ =。力?一loaz2 g32 一一一log&log%5 =log立log2x所以 5z2x3 应选 D.11. （2022.北京海淀模拟）如图，点4 8在函数y=k）g2x+2的图象上，点C在函数y=log2X的图象上，假设4 ABC为等边三角形，且直线BC/y轴，设点A的坐标为（根，江 那么m=（）A. 2B. 3C.2D.小【答案】

8、D【解析】因为直线8Cy轴，所以8, C的横坐标相同；又8在函数y=log2x+2的图象上，点C在函数y=log2X的图象上，所以|8C| = 2.即正三角形45。的边长为2.由点A的坐标为（如），得 BQn+y+ 1）,所以n = log2m+2, +1 =log2（机+#）+ 2,所以 log2m+2+1 =log2（m+V3）+2,所以m=小.12. （2022.湖北宜昌模拟）假设函数/U） = logo.9（5+4xf）在区间（。-1，。+1）上单调递增，且=lg 0.9, c=20-9,那么（ ）B. bcaA. cbaC. abcC. abcD. ba0,得一lx2,-1, a+1

9、）上单调递增，, 那么 3%04,而 L=lg0.9v0, 1c=2092,所以从c. av 10）【解析】原式=|。9飞（4友一 3y51-3 （3、513= 4a6b 中力三尸一心一/一2_ _5 1 _5yab4 yjab3 4a尻【答案】s凡 口杀4ab2 .【方法技巧】.指数累的运算首先将根式、分数指数累统一为分数指数曷，以便利用法那么计算，但应注意:必须同底数基相乘，指数才能相加；（2）运算的先后顺序.1 .当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.2 .运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.【变式】假设实数。0,那么以下等式成立的是（）4 -22)

10、-zfv A4 -22) -zfv AB.D.1 - a - 1-4)【答案】D12【解析】对于A, （2）一2=一故A错误；对于B,2/3=”,故B错误；对于C, （2）。=1,1-41故C错误；对于D,（Q ）4 = 4，故D正确。考点02 比拟指数式的大小.设1 = 3。7力= d）-8,C = logo7（）.8,那么。，瓦C的大小关系为（）A. abcB. bacC. bcaD. cal，/ 、-0.8b= -= 3。8 3，=。,C = logo 7 0.8log07。7 = 1 ,所以。应选D.【方法技巧】利用指数函数的性质比拟累值的大小，先看能否化成同底数，能化成同底数的 先化

11、成同底数累，再利用函数单调性比拟大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量 比拟大小；【变式2】设。=0.6%6=0.615, c=1.50-6,那么q, b, c的大小关系是()A. abcB. acbC. bacD. bca【答案】C【解析】因为函数y=0.6”是减函数,00.60.6，60.615,即/?q0,所以1.561.5=1,即cl.综上， bac.考点03解简单的指数方程或不等式.假设 2、一20B. ln(y-x+l)0D. ln|x|0【答案】A【解析】(方法一)由2丫一2丁3-3-兀 可得2、一3一“0,由于 yx+ll,故 ln(yx+l)ln 1 =0.(方法二)

12、取x= 1, y=0,满足22)0, In|xy| = ln 1=0,可排除 BCD.【方法技巧】利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，先利用幕的运算性质化为同 底数幕，再利用函数单调性转化为一般不等式求解；、.7, x0,【变式3】设函数/假设1。)0 ,A. (00, 3)B. (1, +oo)C. (-3, 1)D. (-oo, -3)U(1, +oo)【答案】C【解析】当q0时，不等式色01可化为Q)”71,即“8,即：因为。弓一3,此时一30；当介0时，不等式式。)1可化为也1,所以govl.故。的取值 范围是(一3, 1).应选C.考点04对数的化简与求值. 558、13ic

13、 = log138,得 13c=8,由 134夕，W1344,可得c？综上所述，abc.4 . 558、13ic = log138,得 13c=8,由 134夕，W1344,可得c？综上所述，abc.3且存1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互 化.【变式】计算：假设a=k)g43,贝I12+2-=.设 4=log53, Z?=log85, c-logi38,贝IA. abcB. bacC. bcaD. cab【答案】A【解析】由题意可知。、。、ce(O,l),a _ log53 _ lg3 lg8 1b log85 lg5 lg5 (lg5)2a _ log53 _ lg3

14、 lg8 1b log85 lg5 lg5 (lg5)2Ig3 + lg8 丫zx 2 z、2Ig3 + lg8 /lg24 121g5 J Ug25j:.ab4由 = log85,得8=5，由558得85”84, .5Z?v4,可得A ；【答案】芈【解析】因为 a=log43=log223 =1log23=log2V3,所以21og2V3 + 2-log2V3=小 + 210g2坐=小+乎473一3.考点05比拟对数值的大小.假设 2、-2)，3一一3T 那么A. ln()Lx+l)0B. ln(jy-x+l)0D. ln|x-y|0【答案】A【解析】由2“2, v3T-3一，得:2x-3-

15、x =2”为尺上的增函数，、 = 3一、为H上的减函数，./(。为R上的增函数，.x0 , .y-x + ll, .ln(y-x+l) 0,那么 A 正确，B 错误；Q|x-M与1的大小不确定，故CD无法确定.应选：A.【变式】工=log52, Z?=logo,50.2, c=0.5-2,那么，b, c的大小关系为()A. acbB. abcC. hcaD. calogo.50.5 = 1, c=0.5-2=2j 2, 0.50-2VI,所以qVcV。，应选A。【方法技巧】（1）假设对数值同底数，利用对数函数的单调性比拟（2）假设对数值同真数，利用图象法或转化为同底数进行比拟（3）假设底数、真

16、数均不同，引入中间量进行比拟【变式】 = log2（）.2, b = *2, c = 0.23,那么（）A. abcB. acbC. cabD. bca【答案】B【解析】a = log2 0.2 2 = 1, 0 c = O.203 0.2 = 1,即 0 c 0,6.设函数/U）=Jog（x） , x0,Og2 10g2。4）10g2 （一。），解得a或一 10.应选C.【答案】C【方法技巧】解决此类问题时应注意两点：（1）真数大于0； （2）底数。的值.【变式】假设Iog6/（6Z2 +1）logtz2tz0且存1,故必有 又 log(a2+l)Vlog2V0,所以 OVV1,同时2a1,

17、所以45.综上,1）.【考点易错】121.计算：（29-（-9.6）。-+ （|） 【答案】2【解析】分析：直接利用指数幕的运算法那么求解即可，求解过程注意防止计算错误.详解：（2 丁-9.6）。-（裁+（|/=针-T)告V【规律方法】化简原那么：化根式为分数指数幕；化负指数嘉为正指数幕；化小数为分数；注意运_7 6+8025xV2+(/2 X V3)6-(21 3算的先后顺序.【变式1】计算:11.5- X3【答案】11013【解析】原式=【解析】原式= 2 + 108 = 110.+2x2;+22 x33- 【变式2】计算:【答案】20,。0, 【试题解析】由题意，得一L20,2v3或3。

18、5.应选D.【巩固提升】1.(2022 山西省忻州一中模拟)实数Ig4 + 21g5的值为()A. 2B. 5C. 10D. 20【答案】A【解析】lg 4+21g 5=21g 2+21g 5=2(lg 2 +lg 5)=21g (2x5)=21g 10=2.应选 A.2 .(2022江西上饶摸底)=2叫b=9% c=(峋3,那么( )A. abcB. acbC. cahD. ch3().4, 8=90.2=30.4,所以 OVc,又 2。4304,即 所以ab1.73B. 0.60.62D(0, |【答案】r 2log,q 1, logjvl,22212当q1时,此时。0；当0。y 那么铲vl.由得,不因此铲4VL