数学分析考研试题集锦.doc

《数学分析考研试题集锦.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学分析考研试题集锦.doc（9页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、数学分析考研试题集锦一. 连续性问题1 设f(x)是a,b上连续函数,f(a)0,求证:存在c(a,b),使f(c)=0,且对任何,有f(x)0(华东理工大学2004年)1设在0,1上一致收敛于f(x),且每个有界，求证：(1)极限函数f(x)在0,1上有界；(2) 函数列在0,1上一致有界(华东理工大学2004年)2. 设fn(x)是定义在(-,+)上可导函数列,且存在常数M0,对所有n和x(-,+),有假设对任意x(-,+),有那么g(x)在(-,+)上连续.证明:对任意x0 (-,+),有对任意e0,由于对任意x(-,+),有所以存在正整数N,当nN时,有由微分中值定理,其中x在x与x0

2、之间,故取当|x-x0|d时,有故当|x-x0|1时积分收敛,p1时积分发散.数学分析考研题集锦1 设函数为上非负递减函数,且收敛,那么证明：由于收敛，根据柯西准那么，对任意e,存在,对任意,有因此当时, 但为上非负递减函数,所以,故(南京理工大学2001年)在上一阶连续可导,证明存在M0,使得证明：由于所以故取得证. 南京理工大学3 设是上连续函数,证明: 证明: 由积分中值定理 .故由定积分定义, 南京理工大学4 设函数在上可导,且积分与都收敛,证明存在且为0. 南京理工大学证: 由于收敛,所以有故存在.假设不妨设,那么存在当时,有即从而不收敛,矛盾,因此计算东南大学2001设在上二阶连续

3、可导，设证明：东南大学2001证明：由泰勒公式两式相减得所以因此 设在上连续非负,且积分收敛，证明：南京理工大学20007. 设a,b0,证明不等式:证: 设那么令得由于因此f(x)在取最小值,所以对(0,1)任意x,有故8. 设f(x)在a,b上二次连续可微,证明: 9. 证明:其中C是与n无关常数,证:由于故另一方面,假设设那么 故数列单调递减有下界,因此那么其中C是与n无关常数,求极限解: 设由拉格朗日定理,其中由于故所以11设是a,b上连续函数，当时，一致收敛于f(x)，每个在a,b上有零点，f(x)在a,b上至少有一个零点。证：设在a,b上零点为xn，那么为有界点列，从而必有收敛子列

4、，设.由于一致收敛于f(x),对任意e0,存在正整数N,当nN时,对任意有从而故即f(x)在a,b上至少有一个零点.12. 设f(x,y)在x,y0上连续,在x,y0内可微,存在唯一(x0,y0)使得设证明: 是f(x,y)在x,y0上最大值.证:设,由于故对任意e0,存在R0,对任意xR,或yR,有记,那么f(x,y)在D上连续,故f(x,y)在D上必取最大值M,且下面证明:(1) M是f(x,y)在X上最大值.对任意点,当时,有x2R或y2R,所以时显然有(2) 由于D边界是线段故对OA和OC上任意点(x,y),由条件可知f(x,y)=0R,而对BC上任意点(x,y)有y=2RR,所以故f(x,y)在最大值M在D内部取得,因此M也是f(x,y)极大值,由极值必要条件,极大值点(x,y)必满足由条件是满足唯一点,故12. 设f(x)是区间0,1上可微函数,f(0)=f(1)=0.当0x0,记证明:并应用上述等式证明: 证明: