数学建模液滴高度问题.doc

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1、2021年河南科技大学数学建模选拔赛承 诺 书我们仔细阅读了数学建模选拔赛规那么.我们完全明白，在做题期间不能以任何方式包括 、电子邮件、网上咨询等与队外任何人研究、讨论与选拔题有关问题。我们知道，抄袭别人成果是违反选拔规那么, 如果引用别人成果或其他公开资料包括网上查到资料，必须按照规定参考文献表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守选拔规那么，以保证选拔公正、公平性。如有违反选拔规那么行为，我们将受到严肃处理。我们选择题号是从A/B/C中选择一项填写： B 队员签名 ：1. 于蕊瑞 2. 高亚娟 3. 王泽龙 日期：2021年 08 月19日2021年河南科技大学数

2、学建模竞赛选拔编 号 专 用 页评阅编号评阅前进展编号：评阅记录评阅时使用：评阅人评分备注液滴高度问题求解一、摘要通过对题目分析，结合所学热工及其物理知识，排除不相关因素后，确立了以液体外表张力为研究重点液滴接触角模型。首先采用逆向思维可以分析出影响接触角因素有液体外表张力，固体外表粗糙度，液体分子间相互作用力以及气体与液体间作用力等。经资料查证和经历分析可知，液体外表张力是主导作用，因此确立外表张力系数就是此次研究重点。通过对液体外表张力及溶液和水平面接触角等分析，建立了饱和高度和极限高度数学表达式。同时，通过对水平固体外表上液滴形态合理性假设，利用几何学关系，并通过定积分给出了液滴饱和体积

3、计算方程，得到液体饱和体积公式。由于温度、液体密度、液体纯度同时对外表张力、外表张力系数产生影响，于是选取在常温下0度到180度接触角范围内分别选取几个特殊数据点计算出了饱和高度、饱和体积、极限高度及极限高度和饱和高度比值，同时画出了完全不浸润情况下液滴在水平固体外表形态，考虑到温度对外表张力系数绝对影响力，查资料得到液体外表张力系和温度关系，并将其带入原来模型，从而得到比拟完整求解模型。关键词：液体外表张力 极限高度 Young方程 椭圆拟合 接触角 饱和高度 饱和体积 饱和半径二、问题重述在物理实验中发现一个有趣现象如下：测量放在一种固体材料水平平面上具有不同体积液滴在静态时高度时，发现当

4、该液滴与固体接触角不变情况下，随着液滴体积递增，液滴高度递增，直到液滴体积到达某个在此称之为饱和体积时，液滴高度到达最大值在此称之为饱和高度。当液滴体积从饱和体积开场递增时，液滴高度递减，而且随着体积增大高度递减量越来越小，液滴高度似乎趋于一在此称之为极限高度。我们要建立一个针对不同材料外表，液滴接触角度不同情况下，求解液滴饱和高度、极限高度、饱和体积及极限高度与饱和高度比值模型。三、问题假设1、材料外表是理想光滑并且绝对水平。 2、重力加速度取值为8m/s。 3、温度为室温20 摄氏度。 4、实验在无风条件下进展，即接触角不会发生动态变化，并且液滴保持静止。 5、在标准大气压下进展试验。 6

5、、液体纯洁不含杂质。 7、试验台与海平面保持一致。 8、不同界面间只存在界面张力。9、液滴体积较小时为球缺，体积较大时液滴边缘为椭圆状。四、符号说明： 固体外表张力： 液固外表张力： 液体外表张力： 水平固体外表液滴与水平面接触角： 饱和高度 ： 极限高度： 溶液密度 S ： 铺展系数P ： 外表压力R ： 饱和高度下液滴近似球体半径 g ： 重力加速度 V ： 饱和条件下液滴体积 a : 饱和高度下液滴近似椭球体长轴半径b : 饱和高度下液滴近似椭球体短轴半径c : 饱和高度下液滴近似椭球体z轴半径五、模型建立考虑液滴置于理想固体外表上，在光滑且均匀固体外表上滴一滴液体，通过固、液、气三乡交

6、界点A,沿液滴面引一切线，切线和固体外表夹角为接触角，从热力学观点看，液体落在固体外表时润湿情况，由Youngs方程：cos=(-)/，其中有固体外表张力,它倾向于是液滴铺展开来。液固外表张力，它倾向于使液滴收缩。以及液体外表张力，如下图，液滴体积不变，固液气三相接触线在固体外表上曲率半径分别为、，液滴分别处于状态a、b、c，对应接触角为、，考虑线张力影响，由力学平衡可以得到：cos= cos-其中是线张力合力，在液滴体积不发生变化条件下，三相接触线曲率半径变化引起接触角变化，从而使得接触角不再是唯一，可以在某一范围内变化。当曲率半径趋于无穷大是，该方程就可以转化为Young方程，当液体可以完

7、全润湿固体外表时，接触角是唯一确定。以下我们就针对特殊情况时来讨论。通过对液滴与固体外表接触分析得知，液滴最终能到达静态平衡并具有一定外形，主要受到使液滴铺展开来固体外表张力，使液体收缩液固外表张力，以及液体外表张力。经过分析查证可知润湿有三种类型，即沾湿、浸湿与铺展，又有润湿角影响以及能量分析得出结论：=180 完全不润湿90 不润湿90 润湿=0 完全润湿0 三力失去平衡，润湿方程不适用润湿情况下具体受力图如下不润湿情况下，接触角大于90度在此情况之前该液体高度可能一直增加，直至到达饱和高度，且认为在饱和高度处受力平衡，为球缺状态。此时体积为饱和体积，如果体积再度增加，高度反而下降，下降规

8、律使其存在极限高度。对整个过程建立数学模型时，体积是重要影响因素，形态是重点研究对象。通过实际液滴图像发现，小体积液滴边缘为圆形，随着液滴提及增加边缘更接近于椭圆。于是便采用圆或椭圆方程拟合算法更能获得准确数据，而且计算简单，容易理解，能方便、快速、有效地处理相对位置和偏转。通过研究，考虑液滴体积较小时水珠边缘为圆形可使用基于圆拟合算法，在体积较小情况下有较高准确度，但对液滴体积较大时该算法误差相对较大。当液滴中体积增加时液滴边缘近似为椭圆，欲采用直接拟合法获得椭圆参数，用以提高计算精度。通过仿真拟合得知椭圆不能满足题目需求，并且液滴体积较小(5uL)，水珠图像边缘接近于圆，因此该题用圆拟合。

9、液滴处于理想状态，有young方程=+*cosq得cos=-/立体关系画出平面图Young方程结合受力分析得铺展系数S= -(+-)=0。如假设体积超过饱和体积，高度必然下降，S0。直至到达某一最小高度应用热力学知识，采用功能关系式得到结合数学知识得到R=(R-)/ cosq化简后有R= / (1-cos) 再结合压力方程P= (1-cos) / 液滴底层受到重力作用与有关，最终整理得=那么R=/(1- cosq)=/1- cosq)又由资料得知Cos=1-g/2)得饱和高度=计算饱和体积由球缺面积积分可知dV=dy=(-)dy= dV= =R-那么题目第一问极限高度表达式为=六、模型求解利用

10、上述模型，分别计算了水在不同材料外表上，利用C+计算得出接触角为10、20、30180 度情况下各个数据如下：角度高度比半径饱和体积极限高度饱和高度101.414E+000201.414E+000301.414E+000401.414E+000501.414E+000601.414E+000701.414E+000801.414E+000901.414E+0001001.414E+0001101.414E+0001201.414E+0001301.414E+0001401.414E+0001501.414E+0001601.414E+0001701.414E+0001801.414E+000将

11、上述数据与结论进展比照分析可知，液体饱和直径随着接触角变化有一定规律。于是将上述表格用spss拟合图形得出饱和半径于接触角变化曲线如下：同时可以归纳出极限高度与接触角变化曲线，结果如下：以上均是浸润情况下，在完全不浸润即接触角为180度时，液滴为球形：其实由于重力等因素存在，液滴实际存在状态为椭球形：七、误差分析 在该模型建立过程中，我们较好讨论了模型普通形式和其特殊形式，例如液滴椭圆模型和圆模型，因为接触角在35度以上适合用椭圆模型，35度以上适合用圆模型，但因椭圆模型涉及较为复杂运算，故只是较为详细讨论了圆模型，这样势必就会引起一些误差，也就是缺乏之处，另外一个较好之处是运用了单一变量法，

12、通过不同液体，简单测出所需数据，建立模型，进而求解模型。当然，在该模型中还存在一些缺点，比方说在刚刚提到过所使用圆模型，不可防止会引起误差，还有Young定理也是在理性情况下 ，没有使用普通公式。另外，接触角测量肯定也存在系统误差，最后，在计算液滴体积时，存在着绝对误差。影响液体外表张力系数因素有温度，材料，粗糙度，液体浓度，液体纯度以及液体浸润性等。八、参考文献1、关于线张力对液滴固体接触角影响问题应用根底与工程科学学报2021年第四期62、严应政 李国华 杨氏方程推导应用中几个疑点及其他 西北建筑工程学院学报3、朱海 邓假设鹏 陈元杰 利用一套新控温装置对液体外表张力系数与温度关系研究 复

13、旦大学物理系 4、朱海 邓假设鹏 陈元杰 设置控温装置研究液体外表张力系数与温度关系 复旦大学物理系5、液体外表张力系数与温度关系实验研究 谭兴文 西南大学 物理科学与技术学院6、赵修建 多孔TiO2薄膜自干净玻璃亲水性和光催化活性 高等学校化学学报7、卿涛 邵天敏 温诗铸 相对湿度对材料外表粘附力影响研究 摩擦学学报 2006 九、附录运算时采用c+6.0，运算程序如下：#include#includevoid main()int angle = 10;double hmax18;double hmin18;double h;double R18;double V18;int i;print

14、f(hmax:n);for( i = 0; i 18; i+)hmaxi = sqrt( 2.0 * 0.0728 * (1 - cos(angle * pi / 180) / 9780.0);printf(%0.3en , hmaxi);angle = angle + 10;printf(nnhmin:n);for(i = 0; i 18; i+)hmini = hmaxi / sqrt(2);printf(%0.3en,hmini);angle = 10;printf(nnh:n);for(i = 0; i 18; i+)h=hmaxi/hmini;printf(%0.3en,h);angle = 10;printf(nnR:n);for(i = 0; i 18; i+)Ri = hmaxi / (1 - cos(angle * pi / 180);printf(%0.3en,Ri);angle = angle + 10;printf(nnV:n);for(i = 0;i 18; i+)Vi = pi * hmaxi * hmaxi * (Ri - hmaxi/3.0);printf(%0.3en, Vi);关系分析时采用图形拟合，使用软件SPSS Statistics需要导入c+结果制成excel表格，运行过程及产生文件见附件。