考研高数讲解新高等数学下册辅导讲解第八章上课资料.doc

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1、第八章 空间解析几何和向量代数第一节 向量及其线性运算一、向量概念与向量表示法1、向量概念向量：既有大小又有方向量.向量表示：或 以为起点，为终点有向线段向量模：向量大小. 或单位向量：模长为1向量。零向量：模长为0向量，。自由向量：不考虑起点位置向量。相等向量：大小相等且方向一样向量。负向量：大小相等但方向相反向量：向径：空间直角坐标系中任一点与原点构成向量。 2、向量坐标表示 以原点为起点，以点为终点向量。假设向量起点不是坐标原点，那么可以将向量起点移至坐标原点。设点坐标为向量坐标，记。设，那么。 设给定点，那么以为起点，以为终点向量为。3、向量长度与方向余弦 设，那么长度为 设沿三个坐标

2、轴方向单位向量分别记为。向量与夹角分别记作，假设令，那么称为方向角，称为方向余弦，且有。二、向量加减法与数乘运算1、运算及运算律加法：特殊地：假设，分为同向和反向同向时，方向与一样方向；反向时，方向与模长大一样。向量加法符合以下运算规律：交换律：结合律：减法：向量加法逆运算向量与数乘法：规定为：，与同向，；，；，与反向，。数与向量乘积符合以下运算规律：结合律：分配律：；两个向量平行关系：定理：设向量，那么存在唯一实数，使得。求单位向量方法：设:与非零向量同方向单位向量，按照向量与数乘积规定，那么有。2、用坐标表示向量运算：设，为任意数，那么三、向量数量积、向量积以及混合积1、向量数量积点积或内

3、积定义：为与数量积。数量积坐标表示设，那么。数量积运算性质； ； 数量积几何应用长度：与夹角不大于角：与垂直2、向量向量积叉积或外积定义：。大小：方向：同时垂直于与且符合右手法那么向量积坐标表示设，那么向量积运算性质； ； 向量积几何应用与共线3、向量混合积定义：混合积坐标表示设，那么混合积运算性质 向量积几何应用、共面以向量、为相邻三棱平行六面体体积等于【例1】，（1） 如，那么 ；（2） 如，那么 ；（3） 如共面，那么 。【答案】1；2；3【例2】设，那么 时，向量与互相垂直。【答案】【例3】设，那么？【答案】第二节 平面与直线方程一、平面方程1、由定点和法向量确定平面通过点且以为法向量

4、平面方程为平面点法式方程假设令，那么得平面一般方程2、由定点以及两个方位向量确定平面过点且与两不共线向量平行平面方程为3、不共线三点确定平面 由不共线三点平面方程为二、直线方程1、由一点和一个方向向量确定直线方程 通过点且平行于非零向量直线方程为直线向量方程，其中为直线上动点，为任意实数。称为直线方向向量。 用坐标表示即是直线参数方程消去参数得直线对称式方程。2、由两点确定直线 通过两点直线方程为直线两点式方程3、相交两个平面确定一条直线方程 两个平面交线为直线一般式方程其中两向量与不共线其方向向量为。三、直线、平面间相互关系1、直线与直线设有直线方向向量，过点。（1） 直线夹角即方向向量与夹

5、角或其补角，满足：（2） 与平行，不在上（3） 与垂直4与共面（5） 与异面2、平面与平面设有平面，其法向量为（1） 平面与夹角即它们法向量与夹角或其补角，满足：（2） 平面与平行（3） 平面与重合（4） 平面与垂直3、平面与直线设有直线平面（1） 直线与平面平行，且（2） 直线与平面垂直，且3平面与直线夹角，因此，满足：其中，。【例1】直线与直线夹角为 。【答案】【例2】190经过点并且与直线垂直平面方程是 ；【答案】1；2经过点及直线平面方程是 。【答案】2【例3】1经过点并且与平面垂直直线方程是 ；【答案】1；2经过点及直线垂直相交直线方程是 。【答案】2四、距离公式1、点到平面距离公式

6、 设平面过点且以为法向量，方程为，那么点到平面距离2、点到直线距离公式设平面过点，方向向量为为法向量，那么点到平面距离【例4】两个平行平面，之间距离是 。【答案】第三节 空间曲线、曲面及其方程一、空间曲线1、空间曲线一般方程空间曲线可看作空间两曲面交线空间曲线一般方程【例1】方程组表示怎样曲线？【答案】椭圆。2、空间曲线参数方程空间曲线参数方程3、空间曲线在坐标面上投影 设空间曲线一般方程：，消去变量后得：曲线关于投影柱面：空间曲线在面上投影曲线：类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上投影面上投影曲线：面上投影曲线：【例2】求曲线在坐标面上投影。【解析与答案】（1） 消去变量后得， 在面上投影为

7、2因为曲线在平面上，所以在面上投影为线段：（3） 同理在面上投影也为线段： 二、特殊空间曲面1、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上一条直线旋转一周所成曲面称为旋转曲面。这条定直线叫旋转曲面轴。【例】求坐标面上曲线绕轴旋转一周旋转曲面方程【解】如图，设，(1)(2) 点到轴距离(3)将，代入得方程：同理：坐标面上曲线绕轴旋转一周旋转曲面方程为特点：平面曲线绕某轴旋转，轴坐标变量不变，而将曲线方程中另一变量改写成该变量与第三个变量平方和正负平方根。空间曲线：假设曲线参数方程，那么绕轴旋转一周旋转曲面方程为【例3】直线绕轴旋转一周，求旋转曲面方程。【答案】2、柱面定义：平行于定直线并沿定曲线移动

8、直线所形成曲面称为柱面。这条定曲线叫柱面准线，动直线叫柱面母线。只含而缺方程，在空间直角坐标系中表示母线平行于轴柱面，其准线为面上曲线。实例：椭圆柱面/轴；双曲柱面/轴； 抛物柱面/轴。3、二次曲面标准方程椭球面：椭圆锥面：椭圆抛物面：双曲抛物面：单叶双曲面：双叶双曲面：椭圆柱面：抛物柱面：双曲柱面：本章强化练习一、平面方程1、87与两直线及都平行，且过原点平面方程为 .答案：2、 91两条直线方程是，.那么过且平行于平面方程是 .答案：3、96设一平面经过原点及，且与平面垂直，那么此平面方程为 .答案：二、直线方程1、 经过点，与直线及都相交直线方程是 。答案：或者2、经过点，垂直于直线且与平面平行直线方程是 。答案：或者三、平面、直线关系1、93设有直线与那么与夹角为A. B. C. D.答案：C2、95设有直线，及平面，那么直线A平行于. B在上.C垂直于. D与斜交.答案：C四、 投影、旋转1、98求直线在平面上投影直线方程，并求绕轴旋转一周所成曲面方程.答案：方程；曲面方程：2、 点在平面投影是 。答案：