考研高数讲解新高等数学上册辅导讲解第一章上课资料.doc
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1、第一章 函数与极限第一节 映射与函数一、集合常用数集:自然数集:整数集:有理数集:实数集:开区间:闭区间:半开区间:; ;邻域:去心邻域:二、函数定义:都有唯一与之对应,记为。三、函数性质讨论函数:,讨论区间:1、有界性 有界:假设,使得,称在区间上有界无界:对,总,使得,那么称在区间上无界上界、下界:假设,使得,称在区间上有上界;假设,使得,称在区间上有下界定理:假设在区间上有界在区间上有上界也有下界。2、单调性 严格单调增减:假设,且,恒有广义单调增减:假设,恒有,3、奇偶性 偶函数:奇函数:常见奇函数:等常见偶函数:等4、周期性 周期函数:,对,有,且,那么称为周期为周期函数。常见周期函
2、数:等【例1】87二是 (A) 有界函数. B单调函数. C周期函数. D偶函数.四、复合函数与反函数1、复合函数 设定义域为,定义域为,值域为,且,在定义域上有复合函数。【例2】 88一二,且,求并写出它定义域.2、反函数 将函数称为直接函数,函数称为反函数。与图形关于直线对称。五、 初等函数第二节 数列和函数极限一、数列极限定义数列:,称为整标函数。其函数值:叫做数列序列。数列每一个数称为项,第项称为数列一般项。简记数列为数列极限:已给数列和常数,如果对于,都,使得对于,不等式恒成立,那么称当时,以为极限,或收敛于,记为或。反之,假设无极限,说发散。二、函数极限定义1:设函数在内有定义,为
3、一常数,假设对于,都,使有,那么称当时,以为极限,记为或。单侧极限:左极限: 。右极限: 定理:2:设函数在充分大时有定义,为一常数,假设对于,都,使都有,那么称当时,以为极限,记为或。单侧极限:;定理:【例1】设为常数,求值,使得存在。三、极限性质性质1 极限唯一性数列假设存在,那么极限值是唯一。函数假设存在,那么其极限值是唯一。性质2 有界性数列如果收敛,那么一定有界。全局有界性注:有界数列不一定收敛。函数如果,那么存在常数和,使得当时,有。函数极限局部有界性性质3 保号性数列,那么,当时,都有。推论:如果数列从某一项起,且,那么注:结论中“中等号不能去掉,前提中等号可以去掉。函数假设,且
4、,那么必存在,使得,都有。推论:设,且在内,那么注:结论中“中等号不能去掉,前提中等号可以去掉。【例2】 设在点某邻域内有定义,且,那么必存在某邻域,使得 (A) (B) (C) (D)不能判断大小性质4 数列与子列关系假设,那么它任一子数列也收敛,且极限也为。注:假设两个子数列极限不相等,那么该数列发散。性质5 数列极限与函数极限存在存在且为同一值反之:假设,而,那么不存在。第三节 无穷小与无穷大一、无穷小量 假设,那么称当时,是无穷小量。注:无穷小量是一个变化中过程量,它趋向于零,但不一定等于0。函数极限与无穷小关系定理为一常数,且二、无穷大量如果当时,对应函数值绝对值无限增大,那么称当时
5、,是无穷大量。或:假设对无论多么大,总,有,那么称当时,是无穷大量,记为。注:说明极限不存在,说明为无穷大量; 无穷大量是一个变化中过程量,是一个持续变化量; 无穷大一定是无界函数,但无界函数不一定为无穷大。【例1】87二函数 (A) 当时为无穷大.B在内有界.C在内无界D当时有有限极限.【答案】C【例2】91三设数列通项为:那么当,是 (A) 无穷大量. B无穷小量. C有界变量. D无界变量.【答案】D二、无穷小与无穷大关系定理:【例3】90二,其中是常数,那么A. B.C. D.【答案】C三、无穷小性质1有限个无穷小代数和仍是无穷小。2有界函数与无穷小乘积仍是无穷小注:常数与无穷小乘积仍
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