沪科版八年级下册数学辅导讲解.doc

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1、“金榜名师苑一对一辅导内部培训资料八年级数学辅导讲义下册主 编： 李启勇 审 定：金榜教育中学数学教研室六安金榜辅导学校中学数学教研室 组编2021年2月第16章 二次根式【知识点1】二次根式概念：一般地，我们把形如式子叫做二次根式。二次根式实质是一个非负数数a算数平方根。【注】二次根式概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数取值范围有限制：被开方数a必须是非负数。例1 以下各式1，其中是二次根式是 _填序号例2 使有意义x取值范围是Ax0 Bx2 Cx2 Dx0且x2来源:学*科*网Z*X*X*K例3 假设y=+2021，那么x+y= 练习1使代数式有意义x取值范围是 A

2、、x3 B、x3 C、 x4 D 、x3且x4练习2假设，那么xy值为 A1 B1 C2 D3例4 假设，那么 = 。例5 在实数范围内分解因式：X4 - 4X2 + 4= _ 例6 假设a、b为正实数，以下等式中一定成立是 ： A、+=； B、=a2+b2； C、+2= a2+b2； D、=ab；【知识点2】二次根式性质：1二次根式非负性，最小值是0；也就是说是一个非负数，即0。注：因为二次根式表示a算术平方根，而正数算术平方根是正数，0算术平方根是0，所以非负数算术平方根是非负数，即0，这个性质也就是非负数算术平方根性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如假设，那么a=

3、0,b=0；假设，那么a=0,b=0；假设，那么a=0,b=0。2 文字语言表达为：一个非负数算术平方根平方等于这个非负数。注：二次根式性质公式是逆用平方根定义得出结论。上面公式也可以反过来应用：假设，那么，如：，.3文字语言表达为：一个数平方算术平方根等于这个数绝对值。注：1、化简时，一定要弄明白被开方数底数a是正数还是负数，假设是正数或0，那么等于a本身，即；假设a是负数，那么等于a相反数-a,即；2、中a取值范围可以是任意实数，即不管a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值意义来进展化简。4与异同点不同点：与表示意义是不同，表示一个正数a算术平方根平方，而表示一个实数a

4、平方算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它运算结果是有差异，而一样点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.例7 a、b、c为三角形三条边，那么_.例8 把(2-x)根号外2-x适当变形后移入根号内，得 A、B、 C、 D、例9 假设二次根式有意义，化简x-4-7-x。例10 x、y是实数，且满足y=+1试求9x2y值例11 假设实数a满足+a=0,那么有( )Aa0 Ba0 Cab，那么 B假设a，那么a0C假设|a|=()2，那么a=b D假设a2=b，那么a是b平方根例13 是整数，那么正整数最小值是 A、4； B、5； C、6； D、7

5、例14 实数、在数轴上位置如下图，那么结果是什么？例15 ,那么 例16 a0时，、-，比拟它们结果，下面四个选项中正确是 A=- B- C=例17 假设0x1，那么等于ABC2xD2x【提示】(x)24(x)2，(x)24(x)2又0x1，x0，x0【答案】D【点评】此题考察完全平方公式和二次根式性质A不正确是因为用性质时没有注意当0x1时，x0练习3 假设|1x|2x5，那么x取值范围是Ax1 Bx0，x0，n0 2 3-3 a0【知识点3】同类二次根式：1被开放数不含分母；2被开放数中不含开得尽方因数或因式。例8 以下二次根式中，最简二次根式是(A) BCD例9 0，化简二次根式正确结果

6、为_例10 设a=，b=，c=，那么a、b、c大小关系是 练习4 如果y0是二次根式，化为最简二次根式是 Ay0 By0 Cy0 D以上都不对练习5 化简二次根式结果是 A、 B、- C、 D、-练习6 以下二次根式中，最简二次根式是 A. B. C. D. 专题三 二次根式加减【知识点1】同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数一样，这样二次根式叫做同类二次根式。.同类二次根式与同类项异同：一. 一样点： 1. 两者都是两个代数式间一种关系。同类项是两个单项间关系，字母及一样字母指数都一样项；同类二次根式是两个二次根式间关系，指化成最简二次根式后被开方数一样二次根式。 2.

7、 两者都能合并，而且合并法那么一样。我们如果把最简二次根式根号局部看做是同类项字母及指数局部，把根号外因式看做是同类项系数局部，那么同类二次根式合并法那么与同类项合并法那么一样，即“同类二次根式或同类项相加减，根式字母不变，系数相加减。 二. 不同点： 1. 判断准那么不同。 判断两个最简二次根式是否为同类二次根式，其依据是“被开方数是否一样，与根号外因式无关；而同类项判断依据是“字母因式及其指数是否对应一样，与系数无关。 2. 合并形式不同例1在、3、-2中，与是同类二次根式有_例2 假设最简根式与根式是同类二次根式，求a、b值练习1 以下二次根式中与是同类二次根式是A B C D练习2假设

8、最简二次根式与是同类二次根式，求m、n值【知识点2】二次根式加减：二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开放数一样根式进展合并。例3 1 2 3例4 4x2+y2-4x-6y+10=0，求+y2-x2-5x值【知识点3】二次根式混合运算 二次根式混合运算顺序与整式混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里面。例5计算 1 23 例6 假设x，y为实数，且y求值【提示】要使y有意义，必须满足什么条件？你能求出x，y值吗？【解】要使y有意义，必须，即x当x时，y又|x，y，原式2当x，y时，原式2【点评】解此题关键是利用二次根式意义求出x值，例7 x，y，求值【

9、提示】先将条件化简，再将分式化简最后将条件代入求值【解】x52，y52xy10，xy4，xy52(2)21【点评】此题将x、y化简后，根据解题需要，先分别求出“xy、“xy、“xy从而使求值过程更简捷例8 先化简，再求值：，其中。例9 、为实数，且满足，求值。第17章 一元二次方程第18章 勾股定理一：勾股定理1对于任意直角三角形，如果它两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有勾股定理：直角三角形两直角边平方和等于斜边平方。2结论：有一个角是30直角三角形，30角所对直角边等于斜边一半。有一个角是45直角三角形是等腰直角三角形。直角三角形斜边中线等于斜边一半。3勾股定理验证 例题：例1：直

10、角三角形两边，利用勾股定理求第三边。1在RtABC中，C=90假设a=5，b=12，那么c=_；假设a=15，c=25，那么b=_；假设c=61，b=60，那么a=_；假设ab=34，c=10那么RtABC面积是=_。2如果直角三角形两直角边长分别为，2nn1，那么它斜边长是 A、2nB、n+1C、n21D、3在RtABC中，a,b,c为三边长，那么以下关系中正确是 A. B. C. 4一个直角三角形两边长分别为3和4，那么第三边长平方是A、25B、14C、7D、7或25例2：直角三角形一边以及另外两边关系利用勾股定理求周长、面积等问题。1直角三角形两直角边长分别为5和12，那么它斜边上高为_

11、。2RtABC中，C=90，假设a+b=14cm，c=10cm，那么RtABC面积是 A、24B、36 C、48D、603x、y为正数，且x2-4+y2-32=0，如果以x、y长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形斜边为边长正方形面积为 A、5B、25 C、7D、15 例3：探索勾股定理证明有四个斜边为c、两直角边长为a,b全等三角形，拼成如下图五边形，利用这个图形证明勾股定理。二：勾股定理逆定理1勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c有关系，那么这个三角形是直角三角形。2常见勾股数：3n,4n,5n,(5n,12n,13n)，(8n,15n,17n)，(7n,24n,25n)，

12、(9n,40n,41n).n为正整数3直角三角形判定方法：如果三角形三边长a,b,c有关系，那么这个三角形是直角三角形。有一个角是直角三角形是直角三角形。两内角互余三角形是直角三角形。如果一个三角形一边上中线等于这条边一半，那么这个三角形是直角三角形。例题：例1：勾股数应用1以下各组数据中三个数，可作为三边长构成直角三角形是 A. 4，5，6 B. 2，3，4C. 11，12，13 D. 8，15，172假设线段a，b，c组成直角三角形，那么它们比为 A、234 B、346 C、51213 D、467例2：利用勾股定理逆定理判断三角形形状1下面三角形中：ABC中，C=AB；ABC中，A：B：C

13、=1：2：3；ABC中，a：b：c=3：4：5；ABC中，三边长分别为8，15，17其中是直角三角形个数有 A1个 B2个 C3个 D4个2假设三角形三边之比为，那么这个三角形一定是 A.等腰三角形 B.直角三角形 3a，b，c为ABC三边，且满足(a2b2)(a2+b2c2)0，那么它形状为A.直角三角形B.等腰三角形 4将直角三角形三条边长同时扩大同一倍数, 得到三角形是( )A 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形5假设ABC三边长a,b,c满足试判断ABC形状。6ABC两边分别为5,12，另一边为奇数，且a+b+c是3倍数，那么c应为 ，此三角形为 。例3：

14、求最大、最小角问题1假设三角形三条边长分别是7,24,25，那么这个三角形最大内角是 度。2三角形三边比为1：2，那么其最小角为 。三：勾股定理应用例题：例1：面积问题1以下图是一株美丽勾股树，其中所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，假设正方形A、B、C、D边长分别是3、5、2、3，那么最大正方形E面积是 A. 13 B. 26 C. 47 D. 94 图1 图2 图33如图，ABC为直角三角形，分别以AB，BC，AC为直径向外作半圆，用勾股定理说明三个半圆面积关系，可得 A. S1+ S2 S3 B. S1+ S2= S3 C. S2+S3 S1 D. 以上都不是2如下图，分别以

15、直角三角形三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、S3，那么它们之间关系是 A. S1- S2= S3 B. S1+ S2= S3 C. S2+S3 S1 D. S2- S3=S1例2：求长度问题1小明想知道学校旗杆高，他发现旗杆顶端绳子垂到地面还多1米，当他把绳子下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆高度。2在一棵树10m高B处，有两只猴子，一只爬下树走到离树20m处池塘A处；另外一只爬到树顶D处后直接跃到A外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过距离相等，试问这棵树有多高？例3：最短路程问题1如图1，圆柱体底面圆半径为，高为2，AB，CD分别是两底面直径，AD，BC是母线，假设

16、一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，那么小虫爬行最短路线长度是 。结果保存根式2如图2，有一个长、宽、高为3米封闭正方体纸盒，一只昆虫从顶点A要爬到顶点B，那么这只昆虫爬行最短距离为 。 图1 图2例4：航海问题1一轮船以16海里/时速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距_海里2深圳如图1，某货船以24海里时速度将一批重要物资从A处运往正东方向M处，在点A处测得某岛C在北偏东60方向上。该货船航行30分钟到达B处，此时又测得该岛在北偏东30方向上，在C岛周围9海里区域内有暗礁，假设继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？试说明

17、理由。 图1 图23如图2，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向260kmB处有一台风中心，沿BC方向以15km/h速度向D移动，城市A到BC距离AD=100km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km圆形区域内都将有受到台风破坏危险，正在D点休闲游人在接到台风警报后几小时内撤离才可脱离危险？例5：网格问题1如图，正方形网格中，每个小正方形边长为1，那么网格上三角形ABC中，边长为无理数边数是 A0 B1 C2 D32如图，正方形网格中ABC，假设小方格边长为1，那么ABC是 3如图，小方格都是边长为1正方形,那么四边形ABCD面积是 ( ) 图1 图2 图3

18、例6：图形问题1如图1，求该四边形面积2如图2，在ABC中，A= 45，AC= ，AB= +1，那么边BC长为 图1 图23某公司大门如下图,其中四边形 是长方形,上部是以为直径半圆,其中=2.3，=2,现有一辆装满货物卡车,高为2.5,宽为1.6,问这辆卡车能否通过公司大门并说明你理由. 4太原将一根长24筷子置于地面直径为5，高为12圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面长为h，那么h取值范围 。【专项训练】1.如图是一张直角三角形纸片，两直角边AC6 cm、BC8 cm， 现将ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，那么BE长为A4 cm B5 cm C6 cm D10 cm ABCD2如下

19、图，在RtABC中，C90，A30，BD是ABC平分线，CD5，求AB长3. 如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，每个小格顶点叫格点，以格点为顶点分别按以下要求画三角形：使三角形三边长分别为3、在图甲中画一个即可；使三角形为钝角三角形且面积为4在图乙中画一个即可 4以下四组线段中，可以构成直角三角形是 ，2，3，4，5，65在ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，那么该三角形为 A锐角三角形 B直角三角形 C 钝角三角形 D等腰直角三角形6.ABC是边长为1等腰直角三角形，以RtABC斜边AC为直角边，画第二个等腰RtACD，再以RtACD斜边AD为直角边，画第三个等腰RtADE，依

20、此类推，第n个等腰直角三角形斜边长是 7.如图，每个小正方形边长为1，三边大小关系式： A B C D 8此题总分值10分问题情境勾股定理是一条古老数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进展证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系勾股定理带到其他星球，作为地球人与其他星球“人进展第一次“谈话语言。定理表述请你根据图1中直角三角形表达勾股定理用文字及符号语言表达；3分 尝试证明以图1中直角三角形为根底，可以构造出以a、b为底，以为高直角梯形如图2，请你利用图2，验证勾股定理；4分知识拓展利用图2中直角梯形，我们可以证明其证明步骤如下：= 。又在直角梯形ABCD中有B

21、C AD填大小关系，即 第19章 四边形知识脉络：1四边形内角和与外角和定理：1四边形内角和等于360；2四边形外角和等于360.2多边形内角和与外角和定理：1n边形内角和等于(n-2)180；2任意多边形外角和等于360.3平行四边形性质：因为ABCD是平行四边形4.平行四边形判定：.5.矩形性质：因为ABCD是矩形6. 矩形判定：四边形ABCD是矩形. 7菱形性质：因为ABCD是菱形8菱形判定：四边形四边形ABCD是菱形.9正方形性质：因为ABCD是正方形 1 23 10正方形判定：四边形ABCD是正方形. (3)ABCD是矩形又AD=AB 四边形ABCD是正方形11等腰梯形性质：因为AB

22、CD是等腰梯形 12等腰梯形判定：四边形ABCD是等腰梯形 (3)ABCD是梯形且ADBCAC=BDABCD四边形是等腰梯形 14三角形中位线定理：三角形中位线平行第三边，并且等于它一半.15梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和一半.一 根本概念：四边形，四边形内角，四边形外角，多边形，平行线间距离，平行四边形，矩形，菱形，正方形，中心对称，中心对称图形，梯形，等腰梯形，直角梯形，三角形中位线，梯形中位线.二 定理：中心对称有关定理1关于中心对称两个图形是全等形.2关于中心对称两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.3如果两个图形对应点连线都经过某一点，并且被这

23、一点平分，那么这两个图形关于这一点对称.三 公式： 1S菱形 =ab=ch.a、b为菱形对角线 ,c为菱形边长 ，h为c边上高2S平行四边形 =ah. a为平行四边形边，h为a上高3S梯形 =a+bh=Lh.a、b为梯形底，h为梯形高,L为梯形中位线四 常识：1假设n是多边形边数，那么对角线条数公式是：.2规那么图形折叠一般“出一对全等，一对相似.3如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形附属关系.4常见图形中，仅是轴对称图形有：角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形 ；仅是中心对称图形有：平行四边形 ；是双对称图形有：线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆 .注意：线段有两条对称轴.5梯

24、形中常见辅助线：边形性质：1边形内角和等于；2任意多边形外角和等于；3边形共有条对角线；4在平面内，内角都相等且边都相等多边形叫做正多边形。5正多边形每个内角等于四边形：四边形内角和等于360, 外角和等于3601、四边形内角中最多有三个钝角，四个直角，三个锐角；2、四边形外角中最多有三个钝角、四个直角、三个锐角，最少没有钝角，没有直角，没有锐角；3、四边形内角与同一个顶点一个外角互为邻补角平行四边形性质:(1)平行四边形邻角互补，对角相等(2)平行四边形对边平行且相等(3)夹在两条平行线间平行线段相等(4)平行四边形对角线互相平分(5)中心对称图形，对称中心是对角线交点。(6)假设一直线过平

25、行四边形两对角线交点，那么这直线被一组对边截下线段以对角线交点为中点，且这条直线二等分四边形面积平行四边形判定:(1)定义：两组对边分别平行四边形是平行四边形(2)定理1：两组对角分别相等四边形是平行四边形(3)定理2：两组对边分别相等四边形是平行四边形(4)定理3：对角线互相平分四边形是平行四边形(5)定理4：一组对边平行且相等四边形是平行四边形两条平行线距离两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线距离，叫做这两条平行线距离平行线间距离处处相等平行四边形面积： =BCAE=CDBF同底(等底)同高等高平行四边形面积相等.=矩形性质：(1)对边平行且相等。(2)矩形四个角都是直角(3)矩形

26、对角线相等(4)矩形是轴对称、中心对称图形(5) 矩形面积长宽矩形判定：(1)定义：有一个角是直角平行四边形是矩形(2)定理1：有三个角是直角四边形是矩形(3)定理2：对角线相等平行四边形是矩形菱形性质(1)具有平行四边形一切性质(2)菱形四条边都相等(3)菱形对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角(4)菱形是轴对称、中心对称图形(5) 菱形面积底高对角线乘积一半菱形判定(1)定义：有一组邻边相等平行四边形叫做菱形(2)定理1：四边都相等四边形是菱形(3)定理2：对角线互相垂直平行四边形是菱形正方形性质(1)正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形一切性质(2)正方形四个角都是直角，四条

27、边都相等(3)正方形两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角(4)正方形是轴对称图形，有4条对称轴(5)正方形一条对角线把正方形分成两个全等等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个小全等等腰直角三角形(6)正方形一条对角线上一点和另一条对角线两端距离相等(7)正方形面积：假设正方形边长为，对角线长为，那么正方形判定:(1)判定一个四边形为正方形主要根据定义，途径有两种：先证它是矩形，再证它有一组邻边相等先证它是菱形，再证它有一个角为直角(2)判定正方形一般顺序：先证明它是平行四边形；再证明它是菱形(或矩形)；最后证明它是矩形(或菱形)梯形判定：(1)定义法：判定四边形中一组对

28、边平行；另一组对边不平行(2)有一组对边平行且不相等四边形是梯形注意：此判定可由梯形定义和一组对边平行且相等四边形是平行四边形得出等腰梯形性质(1)等腰梯形两腰相等、两底平行(2)等腰梯形在同一底上两个角相等(3)等腰梯形对角线相等(4)等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，一底垂直平分线是它对称轴等腰梯形判定(1)两腰相等梯形是等腰梯形(2)在同一底上两个角相等梯形是等腰梯形(3)对角线相等梯形是等腰梯形梯形面积(1) (2)梯形中有关图形面积：中位线三角形中位线定义：连接三角形两边中点线段叫做三角形中位线。三角形有三条中位线三角形中位线性质：三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边一半。

29、梯形中位线定义：连接梯形两腰中点线段，叫做梯形中位线。梯形中位线有且只有一条梯形中位线性质：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和一半。中心对称图形：定义：在平面内，一个图形绕某个点旋转180O，如果旋转前后图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它对称中心.中心对称图形性质：中心对称图形上每一对对应点所连成线段都被对称中心平分轴对称图形中心对称图形有一条对称轴直线有一个对称中心点沿对称轴对折绕对称中心旋转180O对折后与原图形重合旋转后与原图形重合如果把一个图形沿着一条直线翻折过来，直线两旁局部能够完全重合，这样图形叫做轴对称图形。这条直线叫做对称轴。这时,我们也说这个图形关于这

30、条直线对称1定义：平行四边形两组对边分别平行四边形是平行四边形矩 形有一个角是直角平行四边形是矩形菱 形有一组邻边相等平行四边形是菱形正 方 形有一个角是直角，有一组邻边相等平行四边形是正方形2性质：性质平行四边形矩形菱形正方形对边平行对边相等对角相等对角线互相平分四边相等四个角都是直角对角线相等对角线互相垂直每条对角线平分一组对角轴对称图形中心对称图形3判定：平行四边形矩形1两组对边分别平行四边形是平行四边形。定义2两组对边分别相等四边形是平行四边形。3一组对边平行且相等四边形是平行四边形。4两组对角分别相等四边形是平行四边形。5对角线互相平分四边形是平行四边形。1有一个角是直角平行四边形是

31、矩形。定义2三个角是直角四边形是矩形。3对角线相等平行四边形是矩形。其它：对角线相等且互相平分四边形。菱形正方形1有一组邻边相等平行四边形是菱形。定义2四边相等四边形是菱形。3对角线互相垂直平行四边形是菱形。其它：1对角线垂直且互相平分四边形是菱形。2一条对角线平分一组对角平行四边形是菱形。1有一个角是直角，有一组邻边相等平行四边形是正方形。定义2一组邻边相等矩形是正方形。3有一个角是直角菱形是正方形。其它：对角线互相平分相等且垂直四边形是正方形。4面积公式平行四边形：底高 菱形：1底高2对角线乘积一半矩形：邻边相乘 正方形：12对角线乘积一半5顺次连接任意四边形和平行四边形四边中点所得是四边形是平行四边形。如图一顺次连接对角线相等四边形四边中点所得是四边形是菱形，如矩形、等腰梯形或图二中图形等。顺次连接对角线垂直四边形四边中点所得是四边形是矩形，如菱形或图三中图形等。顺次连接对角线既相等又垂直四边形四边中点所得是四边形是正方形，如正方形或图四中图形等。第20章