对数与对数函数-知识点与题型归纳.docx

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1、高考明方向1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点3.知道对数函数是一类重要的函数模型4.了解指数函数y与对数函数y互为反函数(a0，且a1)备考知考情通过对近几年高考试题的统计分析可以看出，本节内容在高考中属于必考内容，且占有重要的分量，主要以选择题的形式命题，也有填空题和解答题主要考查对数运算、换底公式等及对数函数的图象和性质对数函数与幂、指数函数结合考查，利用单调性比较大小、解不等式是高考的热点.一、知识梳理名师一号P27注意：知识点一对数及对数

2、的运算性质1.对数的概念一般地，对于指数式N，我们把“以a为底N的对数b”记作，即b(a0，且a1)其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”注意：(补充)关注定义指对互化的依据2对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a0且a1，M0，N0，那么()；(nR)；.(2)对数的性质N；N(a0，且a1)(3)对数的重要公式换底公式：(a，b均大于零且不等于1)；，推广.注意：(补充)特殊结论:知识点二对数函数的图象与性质1.对数函数的图象与性质（注意定义域!）a10a0，a1，N0)练习:(补充)已知求答案:例3.名师一号P28 高频考点 例1(2)已知函数f(x

3、)则f(f(1)的值是()A5B3C1因为f(1)210，所以f(f(1)f(0)2.因为30，所以3131213.所以f(f(1)235.二、对数函数的图象及性质的应用例1.(补充)求下列函数的定义域 (1)y.(2)y(x1)(164x)解析：(1)由函数定义知：即x1.故原函数的定义域是x1(2)由函数有意义知即1x2，且x0.故原函数的定义域为1x0，或0x0恒成立，a24a04a0，即a的范围为(4,0)例2.名师一号P27 对点自测5(2014重庆卷)函数f(x)2 (2x)的最小值为解析根据对数运算性质，f(x)2 (2x)2x22(2x)2x(12x)(2x)22x2，当x时，

4、函数取得最小值.注意：换元后“新元”的取值范围练习：1、求下列函数的值域（1）y(x22x4)答案1，)（2）f(x)x32x22解析令t2x，x21t1.函数化为yt26t2(t3)271t1.当t1，即x时，9.当t1，即x2时，3，函数的值域为3,9.2、已知集合求实数a的取值范围分析当且仅当f(x)x2a的值能够取遍一切正实数时，y2(x2a)的值域才为R.而当0恒成立，仅仅说明函数定义域为R，而f(x)不一定能取遍一切正实数(一个不漏)要使f(x)能取遍一切正实数，作为二次函数，f(x)图像应与x轴有交点(但此时定义域不再为R)正解要使函数y2(x2a)的值域为R，应使f(x)x2a

5、能取遍一切正数，要使f(x)x2a能取遍一切正实数，应有a24a0，a0或a4，所求a的取值范围为(，40，)例3.（1）名师一号P27 对点自测4已知a0且a1，则函数y(x2 015)2的图象恒过定点解析令x2 0151，即x2 014时，y2，故其图象恒过定点(2 014,2)练习:无论a取何正数(a1)，函数恒过定点【答案】注意：对数函数图象都经过定点(1,0)例3.（2）(补充)如右下图是对数函数y，y，y，y的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是 ()Aab1cdBba1dcC1abcd Dab1dc【答案】B在上图中画出直线y1，分别与、交于A(a,1)、B(b,1)、C(c,

6、1)、D(d,1)，由图可知cd1a0，且a1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是()答案：B.例4.名师一号P28 高频考点 例3已知函数f(x)4(22x3)(1)若f(1)1，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由解析:(1)f(1)1，4(a5)1，因此a54，a1.这时f(x)4(x22x3)由x22x30得1xbcBbacCacbDcab【规范解答】方法1：在同一坐标系中分别作出函数y2x，y3x，y4x的图象，如图所示由图象知：23.4343.6.方法2：3331，且3.4，333.423.4.43.61，4

7、3.6343.6.由于y5x为增函数，故acb.注意：名师一号P28 问题探究 问题3比较幂、对数大小有两种常用方法：数形结合；找中间量结合函数单调性练习:1、若0xy1，则()A3y3xB33C4x4yD.xy解析：0xy1，由y3u为增函数知3x3y，排除A；3u在(0,1)内单调递增，3x3y3，B错由y4u为增函数知4xy，排除D.答案：C2、对于0a1，给出下列四个不等式(1a)(1)；a1aa.其中成立的是()A与B与C与D与答案：D 解析：由于0a1a1a(1)，a1aa.选D.四、对数方程与不等式例1.(1)(补充)方程3(x210)13x的解是答案x5解析原方程化为3(x21

8、0)3(3x)，由于3x在(0，)上严格单增，则x2103x，解之得x15，x22.要使3x有意义，应有x0，x5.注意：依据对数函数恒单调求解。例1.(2)温故知新P32 第9题已知函数，且关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值范围是练习：温故知新P31 第5、6题温故知新P29 第10题例2.（1）(补充)已知0a1，(1x)则()A0x1 BxC0xx1分析：底数相同，真数不同，可利用对数函数y的单调性脱去对数符号转化为整式不等式求解解析：0a1时，y为减函数，原不等式化为，解得0x.例2.(2)(补充)设0a1，函数f(x)(a2x22)，则使f(x)0的x取值范围是()A(，0)

9、B(0，)C(，3) D(3，)解析：0a1(a2x22)1a2x2303或1(舍)x3，故选C.注意：关于含对数式(或指数式)的不等式求解，一般都是用单调性或换元法求解例2.（3）名师一号P28 高频考点 例2(2)当0x时，4x，则a的取值范围是()C(1，) D(，2)解析：由题意得，当0a1时，要使得4x，即当0x时，函数y4x的图象在函数y图象的下方又当x时，42，即函数y4x的图象过点，把点代入函数y，得a，若函数y4x的图象在函数y图象的下方，则需a1时，不符合题意，舍去所以实数a的取值范围是.答案： B.练习:当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是。xy012y1=(1)2y2

10、P (2,1)分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过观察图象求解。解：设，则的图象为右图所示的抛物线，要使对一切，恒成立，, 观察图象得：只需即可。故，取值范围是。变式:名师一号P28 变式思考2(2)不等式(x1)2恰有三个整数解，则a的取值范围为()A， B， )C(1， D(1, 解析:不等式(x1)2恰有三个整数解，画出示意图可知a1，其整数解为2,3,4，则应满足得a0.原方程有两个实数解，即方程t22t3k10有两个正实数解，则，解得k. 练习3:对任意的恒成立，求的范围.解： 由题意即对任意的恒成立 即对任意的恒成立练习4:已知函数的定义域为，（1）求（2）当 时，求的最小值.解 (1)(2)=,，, ，若，即时， 若，即时，所以当即时，=练习：1、不等式x20在x(0，)时恒成立，则a的取值范围是()A0a1a1 D0a解析：我们没有学过如何解答这类不等式，但我们熟知函数yx2与y的图象与性质，因此可在同一坐标系中，画出此二函数的图象借助图象进行讨论，在同一坐标系中画出yx2，x(0，)与y的图象，由图象易得即a1.故选B.