两角和与差的正弦余弦正切公式(22页).doc

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1、-两角和与差的正弦余弦正切公式-第 21 页两角和与差的正弦余弦正切公式教学目标1能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式，并灵活运用(重点)2能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式(难点)3掌握两角和与差的正切公式及变形应用(难点、易错点)基础初探教材整理1两角和与差的余弦公式阅读教材P128“思考”以下至“探究”以上内容，完成下列问题.名称简记符号公式使用条件两角差的余弦公式C()cos()cos cos sin sin ，R两角和的余弦公式C()cos()cos cos sin sin ，Rcos 75cos 15sin 75sin 15的值等于_【解析

2、】逆用两角和的余弦公式可得cos 75cos 15sin 75sin 15cos(7515)cos 900.【答案】0教材整理2两角和与差的正弦公式阅读教材P128“探究”以下内容，完成下列问题1公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦S()sin()sin cos cos sin 、R两角差的正弦S()sin()sin cos cos sin 、R2.重要结论辅助角公式yasin xbcos xsin(x)(a，b不同时为0)，其中cos ，sin 判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的()(2)存在，R，使得sin()sin sin 成立()(3

3、)对于任意，R，sin()sin sin 都不成立()(4)sin 54cos 24sin 36sin 24sin 30.()解：(1).根据公式的推导过程可得(2).当45，0时，sin()sin sin .(3).当30，30时，sin()sin sin 成立(4).因为sin 54cos 24sin 36sin 24sin 54cos 24cos 54sin 24sin(5424)sin 30，故原式正确【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理3两角和与差的正切公式阅读教材P129“探究”以下至“例3”以上内容，完成下列问题名称简记符号公式使用条件两角和的正切T()tan()，k(kZ)

4、 且tan tan 1两角差的正切T()tan()，k(kZ) 且tan tan 1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)存在，R，使tan()tan tan 成立()(2)对任意，R，tan()都成立()(3)tan()等价于tan tan tan()(1tan tan )()解：(1).当0，时，tan()tantan 0tan ，但一般情况下不成立(2).两角和的正切公式的适用范围是，k(kZ)(3).当k(kZ)，k(kZ)，k(kZ)时，由前一个式子两边同乘以1tan tan 可得后一个式子【答案】(1)(2)(3)小组合作型灵活应用和、差角公式化简三角函数式(1)(2016济宁高

5、一检测)()ABCD(2)化简求值：；sin(75)cos(45)cos(15)；(2016遵义四中期末)tan 20tan 40tan 20tan 40.(1)化简求值应注意公式的逆用(2)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值解：(1)sin 30.【答案】C(2)原式tan(4575)tan 120.原式.设15，则原式sin(60)cos(30)cos cos 0.原式0.原式tan 60(1tan 20tan 40)tan 20tan 40.原式.1公式T()，T()是变形较多的两个公式，公式中有tan tan ，tan tan (或tan tan )，tan()(或

6、tan()三者知二可表示出或求出第三个2化简过程中注意“1”与“tan ”、“”与“tan ”、“”与“cos ”等特殊数与特殊角的函数值之间的转化再练一题1化简求值：(1)cos 61cos 16sin 61sin 16；(2)sin 13cos 17cos 13sin 17；(3).解：(1)原式cos(6116)cos 45.(2)原式sin(1317)sin 30.(3)原式.给值求值(2016普宁高一检测)已知，0，cos，sin，求sin()的值. 【导学号：00680069】可先考虑拆角，然后再利用sin()sin()求值解：因为，所以.所以sin.又因为0，所以cos，所以si

7、n()sin()sin.1本题属于给值求值问题，求解时，关键是从已知角间的关系入手，分析出已知角和待求角的关系如本题中巧用()这一关系2常见角的变换为(1)2()，2()；(2)，；(3)()；(4)()再练一题2已知cos ，tan ，求cos()解：因为，cos ，所以sin .因为，tan ，所以cos ，sin .所以cos()cos cos sin sin .给值求角已知sin ，sin ，且，为锐角，求的值解：sin ，为锐角，cos .又sin ，为锐角，cos .cos()cos cos sin sin .又，0，因此.1求解该类问题常犯的错误是对角的范围讨论程度过大(小)，导

8、致求出的角不合题意或者漏解2求角的大小，要解决两点：(1)确定所求角的范围，(2)求角的某一三角函数值，特别是要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值再练一题3若把本例题的条件改为“，且cos()，sin ”，试求角的大小解：，(0，)，由cos()，知sin().由sin ，知cos .sin sin()sin()cos cos()sin .又，.探究共研型辅助角公式的应用探究1函数ysin xcos x(xZ)的最大值为2对吗？为什么？【提示】不对因为sin xcos xsin.所以函数的最大值为.探究2函数y3sin x4cos x的最大值等于多少？【提示】因为y3sin x4cos

9、x5，令cos ，sin ，则y5(sin xcos cos xsin )5sin(x)，所以函数y的最大值为5.探究3如何推导asin xbcos xsin(x)公式【提示】asin xbcos x，令cos ，sin ，则asin xbcos x(sin xcos cos xsin )sin(x)(其中角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan 确定，或由sin 和cos 共同确定)当函数ysin xcos x(0x2)取得最大值时，x_.可先用公式S将函数化为yAsin(x)形式再求最大值对应的x值解：函数为ysin xcos x222sin，当0x2时，x，所以当y取得最大值时，x，

10、所以x.【答案】1对于形如sin cos ，sin cos 的三角函数式均可利用特殊值与特殊角的关系，运用和差角正、余弦公式化简为含有一个三角函数的形式2在解法上充分体现了角的变换和整体思想，在三角函数求值化简的变换过程中，一定要本着先整体后局部的基本原则再练一题4函数f(x)sin xcos的值域为()A2，2BC1，1D解：f(x)sin xcossin xcos xsin xsin xcos xsin，所以函数f(x)的值域为，故选B【答案】B构建体系1(2016清远期末)化简：sin 21cos 81cos 21sin 81等于()ABCD解：原式sin(2181)sin 60.故选D

11、【答案】D2已知是锐角，sin ，则cos等于()ABCD解：因为是锐角，sin ，所以cos ，所以cos.故选B【答案】B3函数ysin xcos x的最小正周期是()ABC2D4解：ysin xcos xsin，所以T2.【答案】C4计算_解：tan 451.【答案】15已知，均为锐角，sin ，cos ，求.解：，均为锐角，sin ，cos ，sin ，cos .sin sin ，0，sin()sin cos cos sin ，.学业分层测评学业达标一、选择题1若，则(1tan )(1tan )等于()A1B1C2D2解：(1tan )(1tan )1(tan tan )tan tan

12、 1tan()(1tan tan )tan tan 1tan (1tan tan )tan tan 2.【答案】C2cos sin 化简的结果可以是()AcosB2cosCcosD2cos解：cos sin 222cos.【答案】B3(2016北京高一检测)在ABC中，A，cos B，则sin C等于()ABCD解：因为cos B且0B，所以sin B又A，所以sin Csin(AB)sincos Bcossin B.【答案】A4若sin ，则cos() ABCD解：因为sin ，所以cos ，故coscos cos sin sin .【答案】A5若sin ，tan()1，且是第二象限角，则t

13、an 的值为()ABC7D解：由sin ，且是第二象限角，可得cos ，则tan ，所以tan tan()7.【答案】C二、填空题6计算_.解：原式tan(4515).【答案】7若sin()，sin()，则_.解：由题意得sin cos cos sin ，sin cos cos sin ，得sin cos ，得cos sin ，得2.【答案】2三、解答题8设方程 12x2x120的两根分别为，求cos cos sin cos cos sin sin sin 的值解：由题意知，故原式cos()sin()2sin2sin 2sin22.9.如图311，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个

14、锐角、，它们的终边分别与单位圆交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为、.图311(1)求tan()的值；(2)求2的值解：由条件得cos ，cos .，为锐角，sin ，sin .因此tan 7，tan .(1)tan()3.(2)tan(2)tan()1，又，为锐角，02，2.能力提升1已知f(x)sincos，则f(1)f(2)f(2 016)的值为()A2BC1D0解：f(x)sincos2sin2sin x，因为周期为6，且f(1)f(2)f(6)0 ，所以f(1)f(2)f(2 016)0.【答案】D2已知，cos()，sin()，求sin 2的值解：因为，所以，0.所以sin().所以cos().则sin 2sin()()sin()cos()cos()sin().