初二数学寒假培优班讲义.docx

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1、第一讲 分式主要公式： 1.同分母加减法则:2.异分母加减法则:;3.分式的乘法及除法:,4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法及除法;am an =am+n; am an =amn6.积的乘方及幂的乘方:(ab)m= am bn , (am)n= amn7.负指数幂: a-p= a0=18.乘法公式及因式分解:平方差及完全平方式(a+b)(a-b)= a2- b2 ;(ab)2= a22ab+b2例1、当有何值时，下列分式有意义（1） （2） 例2、当取何值时，下列分式的值为0. （1） （2）例3、当为何值时，分式为正；例4、已知：，求的值.例5已知：，求的值.例6

2、、若，求的值.例7、计算：（1）；（2）；例8、先化简后求值，其中满意a=2.例9、解下列分式方程（1）； （2）；例10、若分式方程的解是正数，求的取值范围.例11甲、乙两人分别从两地同时动身，若相向而行，则a小时相遇，若同向而行，则b小时甲追上乙，那么甲的速度是乙的速度的（ ）。（A） (B) (C) (D)例12. A、B两位选购员同去一家饲料公司购置两次饲料，两次饲料的价格有改变，但两位选购员的购贷方式不同，其中，选购员A每次购置1000千克，购贷员B每次用去800元，而不管购置饲料多少，问选用谁的购贷方式合算？（ ）（A） (B) （C)都一样 (D)不能确定例13某林场原安排在肯定

3、期限内固沙造林240公顷，实际每天固沙造林的面积比原安排多4公顷，结果提早5天完成任务，设原安排每天固沙造林x公顷，依据题意列方程正确的是（ ）。（A） （B）（C） （D）例14某校用420元钱到商场去购置“84”消毒液，经过还价，每瓶廉价0.5元，结果比用原价多买了20瓶，求原价每瓶多少元？例15. 翻译一份文稿，用某种电脑软件翻译的效率相当于人工翻译的效率的75倍，电脑翻译3300个字的文稿比人工翻译少用2小时28分。求用人工翻译及电脑翻译每分钟各翻译多少个字？练习：1当取何值时，下列分式有意义：（1）（2）（3）2当为何值时，下列分式的值为零：（1）（2）3、若，求的值.4计算（1）；

4、（2）；（3）； （4）；7解下列方程：（1）；（2）；8已知关于的分式方程无解，试求的值.第二讲 二次根式一、根底学问：1.二次根式：形如（）的式子叫二次根式。2.二次根式的性质：留意：对于二次根式要明确被开方数必需是非负数；化简特殊要留意时，3.二次根式的乘除：乘法： 除法： 二次根式乘除法则的逆用。最简二次根式：当二次根式满意：a.被开方数不含分母，即被开方数中因数是整数，因式是整式;b.被开方数中不含开得尽方的因式这两个条件时，我们称这样的二次根式为最简二次根式。加减本质是同类项合并。二、例题：1、化简：_ 。2、 ， 。3、计算：_， ()2_ _ 4、计算 5、已知，则， 6、计算

5、：(1) (2) 7、先化简，再求值：，其中8、计算：（1）； （2）； （3）|1| +（314-）- 9、当取什么值时，代数式取值最小，并求出这个最小值。10. 已知，求的值。11. 已知为实数，且，求的值。12若x，y是实数，且，求的值。13.视察下列等式：=+1；=+；=+；，（1）、请用字母表示你所发觉的律：即= 。（n为正整数）（2）化简计算：（）四、练习3在，中最简二次根式的个数是 （ ）A1个 B2个 C3个 D4个4下列各式正确的是 （ ）A B C D5若1x2，则的值为（ ）A2x-4 B-2 C4-2x D26是整数，则正整数的最小值是（ ）A4； B5； C6； D7

6、7.假如最简根式及是同类二次根式，那么使有意义的x的范围是（ ） A、x10 B、x10 C、x108、若a，b，c为三角形的三边，化简的结果是 A、a-b+c B、a+b-c C、a+b+c D、-a+b+c10. 当时，有意义。11. 若有意义，则的取值范围是 。12.若，则的取值范围是 。13. 已知，则的取值范围是 。14. 化简：的结果是 。15. 当时，。16. 若及互为相反数，则。17. 若，则等于（ ）A. B. C. D. 18. 若，则化简后为（ ）A. B. C. D. 19. 计算：的值是（ ）A. 0 B. C. D. 或第三讲 勾股定理例1、已知直角三角形的两边长为

7、3、4，则另一条边长是_例2、已知两条线段的长为9cm和12cm,当第三条线段的长为 cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.例3、已知RtABC中，C900，AB边上的中线长为2，且ACBC6，则 例4、已知一个三角形的三边长分别是12cm，16cm，20cm，你能计算出这个三角形的面积吗？练习：1、在ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是_2、假如梯子底端离建筑物9m，那么15m长的梯子可到达建筑物的高度是_3、已知直角三角形的两边长分别为7和24，则第三边长为 4、假如一个直角三角形的一条直角边是另一条直角边的2倍，斜边长是5 cm，那

8、么这个直角三角形的周长是 例5、已知直角三角形的两条直角边长为6，8，那么它的最长边上的高为（ ）A、6 B、8 C、 D、例6、一等腰三角形底边长为10cm，腰长为13cm，则腰上的高为 ( )A. 12cm B. C. D. 练习：1、CD为直角三角形ABC斜边AB上的高，若AB = 10，AC：BC = 3：4，则这个直角三角形的面积为（ ） A、6 B、8 C、 12 D、 242、直角三角形的两直角边分别为5、12，则斜边上的高为（ ） A、6 B、8 C、 D、3、在同一平面上把三边BC=3，AC=4、AB=5的三角形沿最长边AB翻折后得到ABC，则CC的长等于（ ）A、 B、C、

9、 D、例7、已知长方体的长为2cm、宽为1cm、高为4cm，一只蚂蚁假如沿长方体的外表从A点爬到B点，那么沿哪条路最近，最短的路程是多少? 例8、如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm假如用一根细线从点A 开场经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短须要 cm；假如从点A开场经过4个侧面缠绕圈到达点B，那么所用细线最短须要 cmBA6cm3cm1cm例8例9例9、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食 物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是_ 例10、如图，马路上

10、A，B两点相距25km，C，D为两村庄， DAAB于A，CBAB于B，已知DA=15km，CB=10km，如今要在公路AB上 建一车站E，（1）使得C，D两村到E站的间隔 相等，E站建在离A站多少km处？（2）DE及CE的位置关系（3）使得C，D两村到E站的间隔 最短，E站建在离A站多少km处？ADEBC例11、台风是一种自然灾难，它以台风中心为圆心在四周数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力如下图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米的B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米时的速度沿北偏东300方憧憬C挪动，

11、且台风中心风力不变。若城市所受风力到达或超过四级，则称为受台风影响。（1）该城市是否会受到这次台风的影响? 请说明理由。（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级?练习1、已知，如图，折叠长方形的一边AD使点D落在BC边的点F处，已知AB = 8cm，BC = 10 cm，EC的长是_2、如图，从电线杆离地面6 m处向地面拉一条长10 m的缆绳，这条缆绳在地面的固定点间隔 电线杆底部_m3、为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图所示AB所在的直线建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CAAB于A，DBAB于B，已知A

12、B = 25km，CA = 15 km，DB = 10km，试问：图书室E应当建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的间隔 相等?第四讲 函数的初步相识学问点一：变量1、确定自变量、因变量2、求变量的值或取值范围例1、写出下列各问题中的函数关系式，并指出其中的常量及变量（1）圆的周长C及半径r的函数关系式（2）厦门BRT以60km/h的速度行驶，它行驶的路程S（km）及所用的时间t（h）的函数关系式。（3）n边形的内角和度数S及边数n的函数关系式（4）n边形对角线条数S及边数n的函数关系式（5）等腰三角形顶角度数y及底角的度数x之间的函数关系式（6）已知等腰三角形的面积为20，设它的底边长为

13、x,求底边上的高y关于x的函数关系式（7）在一个半径为10的圆形纸片中剪出一个半径为r的同心圆得到一个圆环，求圆环的面积S关于r的函数关系式 （8）一个正方形边长为3，它的各个边长削减x后，得到的新的正方形的周长为y，求y及x的函数关系式例2、指出下列自变量x的取值范围： （1） （2） （3） （4）例3、找出下列哪些是函数例4、当x=16时,函数y=+2的值为_ 练习：1、在圆周长公式C=2r中，变量个数是（ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个2、函数y=中，自变量x的取值范围为_3、已知等腰三角形的周长为20,底边长为y,腰长为x,写出y及x的函数关系式,并注明x的取值范围学问点

14、二：表达方法1、图像法2、列表法3、解析法例1、（1）图像法问题1、这一天6时、10时、14时的气温分别是多少？问题2、这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？问题3、这一天中，什么时段的气温在渐渐上升？什么时段的气温在渐渐降低？（2）、列表法一、下表是2006年8月中国人民银行公布的“整存整取”年利率存期X三月六月一年二年三年五年年利率y(%）1.802.252523.063.694.14（3）、解析式法设S表示圆的面积，r表示圆的半径，则S及r之间满意下列关系，S=, 假设取3，填写下列表格半径r1234圆面积S3故有S=3,学问点三：平面直角坐标系1、象限坐标，X、Y轴坐标2、点对称问

15、题3、点到坐标轴的间隔 例1、请在同始终角坐标里描出下列各点：A(3,8)， B(-3,8), C(-3,-8) ,D(3,-8) E(3,0) F(0,3) G(-3,0) H(0,-3)备用图我们发觉每个象限内点的特征：_ 坐标轴上点的特征：_ 我们又发觉A,B关于_ _对称，A,D关于_ _对称， A,C 关于_ _对称 若点Q(2，3)关于Y轴的对称点为_，关于X轴的对称点为_，关于原点的对称点为_例2、点在第_象限例3、点（a,2）和点（-2，b）关于Y轴对称，则a=_,b=_例4、已知A（-1，-1），B(1,1)，点A到X轴的间隔 为_，点B到Y轴的间隔 为_，AB两点间的间隔

16、为_例5、若到X轴的间隔 为3，则A点坐标为_例6若点P(一3，一4)的横坐标变为相反数，纵坐标乘以一2，此时新点的坐标是_例7、假如ab0,且ab0,那么点(a，b)在( )A第一象限 B第二象限 C第三象限, D第四象限.练习：1、 推断下列各题：（2，3）和（3，2）表示同一个点（ ）点（4，-1）和（-4，1）关于原点对称（ ）坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为0（ ）点，在第一象限（ ）2、点A(-2,3)关于X轴的对称点为_,关于Y轴的对称点为_,关于原点的对称点为_3、若点P(a,b)在第四象限,则点Q(b,a)在第_象限.4、点P(2,3)到x轴的间隔 是_,到y轴的间隔

17、 是_5、若点(a,3)及点(2,b)关于x轴对称,则a=_,b=_6、已知点M(3x2,2x+1)在x轴上,则M点的坐标为_7、若m+n0,则P(m,n) 在第_象限8、小丽的爷爷饭后出去漫步，从家中走20分钟到一个离家900米的街心花园，及挚友闲聊10分钟后，用15分钟返回家里.下面图形中表示小丽爷爷离家的时间及外出间隔 之间的关系是（）综合练习：1、点（0，-2）在（）.Ax轴上By轴上C第三象限内D第四象限内2、求下列函数中自变量x的取值范围：（1） y3x1（2） y2x27（3） y= （4） y （5）y=-2x-5x2 （6）y=x（x+3）（7）y= （8）y=3、 已知点P

18、在第四象限，它的横坐标及纵坐标的和为l，点P的坐标可以是_(只要求写出符合条件的-个点的坐标即可).ABCDoxy4、如图，矩形ABCD中，已知A（-4，1），B（0，1），C（0，3），则点D的坐标为 ；5、请在同始终角坐标里描出下列各点：A(3,8)， B(-3,-8), C(-3,8) ,D(3,-8) E(4,0) F(0,4) G(-4,0) H(0,-4)备用图第五讲 一次函数学问点一：图像画图像三步骤：列表、描点、连线例1、已知函数，当x_时，函数值为0；例2、当x= 时，P（1+x，1-2x）在x轴上。例3、在同一坐标系内画出下列函数的图像：步骤一：列表X0Y0X0Y0步骤二：

19、描点步骤三：连线备用图练习1、在同一坐标系内画出下列函数的图像：步骤一：列表X0Y0X0Y0步骤二：描点 步骤三：连线备用图学问点二：图像及X、Y轴的交点坐标1、及X轴交点坐标为（ ，0）2、及Y轴交点坐标为（0， ）例1、直线及X轴和Y轴的交点坐标分别为_，_；若点(m,2m+7)在这个函数的图象上,则m = _ _例2、已知函数，找出到轴间隔 等于1.5的点的坐标为_例3、直线，分别交，轴于A,B两点，是原点，求的面积。（请把图像画在上面的备用图）练习：1、直线过点（_,0），（0，_）；直线过点（_,0），（0，_）2、分别求出下列直线及x,y轴的交点坐标。（1） （2）（3）3、直线y

20、=2x2及x,y轴围成的三角形的面积是多少?学问点三：待定系数法求解析式1、设；2、把点坐标分别代入3、联立求解例1、一次函数的图象经过点（3，3）和（1，-1）.求它的函数关系式，并画出图象.2、依据条件写出相应的函数关系式（1）直线经过点（-2，-1） （2）一次函数中,当时，当时，练习1、已知一次函数的图像经过点(-1,-1)和（1，-5），求当=5时，函数的值？2、写出两个一次函数，使它们的图像都经过点(-2,3)。3、已知一次函数ykxb（k0），当x1时，y3；当x0时，y2则函数解析式为_，函数不经过第_象限，4、一次函数（是常数，）的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）ABCD

21、5、直线y=2x+b及x轴交于(1,0),则不等式2x+b0,b01、k0，确定y随x的增大而增大且图像必过一、三象限2、b0，确定直线及y轴的交点在y正半轴例1、已知一次函数y=kx+b的图象过第一、二、三象限,则k,b的符号是( )A、k0,b0 B、k0,b0 C、k0 D、k0,b0,b0，确定y随x的增大而增大且图像必过一、三象限2、b0，确定直线及y轴的交点在y负半轴例1、假如直线y=kx+b经过一、三、四象限，那么有（ ）Ak0，b0 Bk0，b0 Ck 0，b0 Dk 0，b0例2、对于一次函数y=x4,函数值y随x的增大而_。例3、已知一次函数y=kx-k,若y随x的增大而增

22、大,则该函数的图象不经过第_象限。练习1、已知一次函数的大致图像为 ( )学问点三：性质3: k01、k0，确定直线及y轴的交点在y正半轴例1、假如直线y=kx+b经过一、二、四象限，那么有（ ）Ak0，b0 Bk0，b0 Ck 0，b0 Dk 0，b0例2、已知A(a,b),B(c,d),C(e,f)是函数y=x+3的图象上的点,且ace, b,d,f的大小关系_。例3、已知一次函数y=kxk,若y随x的增大而减小,则该函数的图象不经过第_象限。练习1、在平面直角坐标系中，函数y=x+3的图象经过( )23第2题图yxOA一、二、三象限 B二、三、四象限C一、三、四象限 D一、二、四象限2、

23、一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是（ ）ABCD学问点四：性质4: k0,b01、k0，确定y随x的增大而减小且图像必过二、四象限2、b0，则y随x的增大而增大且图像必过 象限；3、 k0，则y随x的增大而增大且图像必过 象限例1、若函数y=(4m)x是正比例函数，则m的值是( )A4 B2 C4或2 D2例2、若函数，则下列坐标不在直线上的是( )A(2，6) B(1，3) C(4，5) D(0，0)例3、若正比例函数y=(12m)x的图象经过点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，当x1y2，则m的取值范围是 ( )Am0 Cm练习1、写出一个y随x的增大而增大的正比例函数的解析式

24、： 。2、直线yx的图像过 象限。3、下列说法正确的是 ( )。A正比例函数是一次函数 B一次函数是正比例函数 C变量x，y是x的函数，但x不是y的函数 D正比例函数不是一次函数，一次函数也不是正比例函数 4、下列函数关系式：y一x；y=2x+11；y=x2x1；y=其中一次函数的个数是 ( )。A1个 B2个 C3个 D4个 5、结合正比例函数y=4x的图象答复：当x1时，y的取值范围是 ( )Ay1 B1y4学问点三：待定系数法求解析式1、设2、把点坐标分别代入3、联立求解例1、已知直线y=kx经过（2，-6），则k的值是（ ） A3 B-3 C1/3 D-1/3 例2、已知y及x成正比例

25、，当x=4时，y3。（1）写出y及x之间的函数关系式；（2）y及x之间是什么函数关系；（3）求x=3时，y的值。练习1、一个正比例函数的图像过点（2，-3），它的表达式为（ ） A B C D 2、假如正比例函数的图象经过点(2，3)，那么这个函数的解析式是_。3、已知y及x一3成正比例，当x=4时，y3。（1）写出y及x之间的函数关系式；（2）y及x之间是什么函数关系；（3）求x=25时，y的值学问点四：求交点1、设2、联立求解例1、直线y=2x+1及直线y=3x的交点坐标为_ _例2、直线y=bx+1及直线y=ax的交点坐标为(1，2)，则a=_ _ ，b=_ _ 。练习：1、求两直线的交

26、点坐标2、写出同时具备下列两个条件的正比例函数表达式（写出一个即可）（1）y随着x的增大而减小，（2）图象经过点（1，-3）_3、两直线y=2x+m及直线y=x-1的交点在x轴上，则m=_综合练习1、下列函数关系中表示一次函数的有 ( ) y2x+l；y；y；s=60t；y10025x A1个 B2个 C3个 D4个S(米)2、甲、乙两人在一次赛跑中，路程s刚好间t的关系如图所示（图中实线为甲的路程刚好间的关系图象，虚线为乙的路程刚好间的关系图象）乙甲15001000t（秒）500300283小王依据图象得到如下四个信息，其中错误的是（ ）A这是一次1500米的赛跑 B甲、乙两人中乙先到达终点

27、 C甲、乙同时起跑 D甲的这次赛跑中的速度为5米/秒3、已知一次函数的图象经过点(1，2)和(-2，-1)。（1）求此一次函数的解析式（2）求此函数及轴、轴的交点坐标（3）作出此一次函数的图象（4）求出此函数图象及坐标轴围成的三角形的面积4、已知函数求当、取何值时（1）是正比例函数？ （2）是一次函数？第八、九讲 平行四边形性质及断定学问点一：定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形表示：平行四边形用符号“”来表示平行四边形ABCD记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”平行四边形性质1平行四边形的对边相等平行四边形性质2 平行四边形的对角相等例1、如图，在平行四边形ABCD中，AE=

28、CF，求证：AF=CE练习1填空：（1）在ABCD中，A=，则B= 度，C= 度，D= 度（2）假如ABCD中，AB=240，则A= 度，B= 度，C= 度，D= 度 （3）假如ABCD的周长为28cm，且AB：BC=25，那么AB= cm，BC= cm，CD= cm，CD= cm2如图4.39，在ABCD中，AC为对角线，BEAC，DFAC，E、F为垂足，求证：BEDF学问点二：平行四边形的性质：具有一般四边形的性质（内角和是）角：平行四边形的对角相等，邻角互补 边：平行四边形的对边相等 平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；平行四边形的对角线相互平分例2、 已知：如图421

29、， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O及AB、CD分别相交于点E、F求证：OEOF，AE=CF，BE=DF例3、若例2中的条件都不变，将EF转动到图b的位置，那么例1的结论是否成立？若将EF向两方延长及平行四边形的两对边的延长线分别相交（图c和图d），例1的结论是否成立，说明你的理由例4、已知四边形ABCD是平行四边形，AB10cm，AD8cm，ACBC，求BC、CD、AC、OA的长以和ABCD的面积练习：1在平行四边形中，周长等于48， 已知一边长12，求各边的长 已知AB=2BC，求各边的长 已知对角线AC、BD交于点O，AOD及AOB的周长的差是10，求各边的长2如图，AB

30、CD中，AEBD，EAD=60，AE=2cm，AC+BD=14cm，则OBC的周长是_ _cm3ABCD一内角的平分线及边相交并把这条边分成，的两条线段，则ABCD的周长是_ _学问点三：平行四边形断定方法1： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。平行四边形断定方法2： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。平行四边形断定方法3： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形平行四边形断定方法4： 对角线相互平分的四边形是平行四边形。平行四边形断定方法5： 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。例5、已知：如图ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF求证：四边形BF

31、DE是平行四边形例6、已知：如图，ABBA，BCCB， CAAC求证：(1) ABCB，CABA，BCAC；(2) ABC的顶点分别是BCA各边的中点例7、已知：如图，ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：BE=DF例8、已知：如图，ABCD中，E、F分别是AC上两点，且BEAC于E，DFAC于F求证：四边形BEDF是平行四边形练习1如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，（1）若AD=8cm，AB=4cm，那么BC=_ _cm，CD=_ _cm时，四边形ABCD为平行四边形；（2）若AC=10cm，BD=8cm，那么当AO=_ _cm，DO=_ _cm时，四边形ABCD为平行四边形2已知：如图，ABCD中，点E、F分别在CD、AB上，DFBE，EF交BD于点O求证：EO=OF3、已知：如图，在ABCD中，AE、CF分别是DAB、BCD的平分线求证：四边形AFCE是平行四边形学问点四：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线的性质：三角形的中位线平行及第三边，且等于第三边的一半五、例习题分析 例9、 如图，点D、E、分别为ABC边AB、AC的中点，求证：DEBC且DE=BC例10、已知：如图（1），在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点求证：四边形EFG