初中数学二次函数技巧试题答案超级全.docx

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1、I.定义及定义表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a0，且a确定函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a0时，开口方向向上，a0时，开口方向向下。IaI还可以确定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。）则称y为x的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 x是自变量，y是x的函数 二次函数的三种表达式一般式：y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0)顶点式抛物线的顶点 P(h，k) ：y=a(x-h)2+k交点式仅限于及x轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线：y=a(x-x1)(x-x2)以

2、上3种形式可进展如下转化：一般式和顶点式的关系对于二次函数y=ax2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b2)/4a)，即 h=-b/2a=(x1+x2)/2 k=(4ac-b2)/4a一般式和交点式的关系 x1,x2=-b(b2-4ac)/2a(即一元二次方程求根公式)2012中考数学精选例题解析：一次函数（1）学问考点：驾驭二次函数的图像和性质以和抛物线的平移规律；会确定抛物线的顶点坐标、对称轴和最值等。精典例题：【例1】二次函数的图像如图所示，那么、这四个代数式中，值为正的有（ ）A、4个 B、3个 C、2个 D、1个解析：1 0答案：A评注：由抛物线开口方向断定的符号，由对

3、称轴的位置断定的符号，由抛物线及轴交点位置断定的符号。由抛物线及轴的交点个数断定的符号，若轴标出了1和1，则结合函数值可断定、的符号。【例2】已知，0，把抛物线向下平移1个单位，再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是（2，0），求原抛物线的解析式。分析：由可知：原抛物线的图像经过点（1，0）；新抛物线向右平移5个单位，再向上平移1个单位即得原抛物线。解：可设新抛物线的解析式为，则原抛物线的解析式为，又易知原抛物线过点（1，0），解得原抛物线的解析式为：评注：解这类题的关键是深入理解平移前后两抛物线间的关系，以和所对应的解析式间的联络，并留意逆向思维的应用。另外，还可关注抛物线的顶点发生了怎

4、样的挪动，常见的几种变动方式有：开口反向（或旋转1800），此时顶点坐标不变，只是反号；两抛物线关于轴对称，此时顶点关于轴对称，反号；两抛物线关于轴对称，此时顶点关于轴对称；探究及创新：【问题】已知，抛物线（、是常数且不等于零）的顶点是A，如图所示，抛物线的顶点是B。（1）推断点A是否在抛物线上，为什么？（2）假如抛物线经过点B，求的值；这条抛物线及轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形？若能，求出它的值；若不能，请说明理由。解析：（1）抛物线的顶点A（，），而当时，所以点A在抛物线上。（2）顶点B（1，0），；设抛物线及轴的另一交点为C，B（1，0），C（，0），由抛物线的对称性可知，A

5、BC为等腰直角三角形，过A作AD轴于D，则ADBD。当点C在点B的左边时，解得或（舍）；当点C在点B的右边时，解得或（舍）。故。评注：若抛物线的顶点及轴两交点构成的三角形是直角三角形时，它必是等腰直角三角形，常用其“斜边上的中线（高）等于斜边的一半”这一关系求解有关问题。跟踪训练：一、选择题：1、二次函数的图像如图所示，OAOC，则下列结论： 0；。其中正确的有（ ） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 2、二次函数的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到函数图像的解析式为，则及分别等于（ ） A、6、4 B、8、14 C、4、6 D、8、143、如图，已知ABC中，BC8，BC边

6、上的高，D为BC上一点，EFBC交AB于E，交AC于F（EF不过A、B），设E到BC的间隔 为，DEF的面积为，那么关于的函数图像大致是（ ） A B C D4、若抛物线及四条直线，围成的正方形有公共点，则的取值范围是（ ） A、1 B、2 C、1 D、25、如图，一次函数及二次函数的大致图像是（ ） A B C D二、填空题：1、若抛物线的最低点在轴上，则的值为 。2、二次函数，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大。则当时，的值是 。3、已知二次函数的图像过点（0，3），图像向左平移2个单位后的对称轴是轴，向下平移1个单位后及轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为 。4、已知抛物线的对

7、称轴是，且它的最高点在直线上，则它的顶点为 ， 。三、解答题：1、已知函数的图像过点（1，15），设其图像及轴交于点A、B，点C在图像上，且，求点C的坐标。2、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经验了从亏损到盈利的过程。下面的二次函数图象（局部）刻画了该公司年初以来累积利润S（万元）及销售时间（月）之间的关系（即前个月的利润总和S及之间的关系）。依据图象供应的信息，解答下列问题： （1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润S（万元）刚好间（月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可到达30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？3、抛物线，和直线（0）分别交

8、于A、B两点，已知AOB900。（1）求过原点O，把AOB面积两等分的直线解析式；（2）为使直线及线段AB相交，那么值应是怎样的范围才合适？4、如图，抛物线及轴的一个交点为A（1，0）。（1）求抛物线及轴的另一个交点B的坐标；（2）D是抛物线及轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）E是第二象限内到轴、轴的间隔 的比为52的点，假如点E在（2）中的抛物线上，且它及点A在此抛物线对称轴的同侧。问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使APE的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。参考答案一、选择题：BCDDC二、填空题：1、2

9、；2、7；3、；4、（2，2），；三、解答题：1、C（，1）或（，1）、（3，1）2、（1）；（2）10月；（3）5.5万元3、（1）；（2）304、（1）B（3，0）；（2）或； （3）在抛物线的对称轴上存在点P（2，），使APE的周长最小。2012中考数学精选例题解析 函数及一元二次方程学问考点：1、理解二次函数及一元二次方程之间的关系；2、会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，断定抛物线及轴的交点状况；3、会利用韦达定理解决有关二次函数的问题。精典例题：【例1】已抛物线（为实数）。（1）为何值时，抛物线及轴有两个交点？（2）假如抛物线及轴相交于A、B两点，及轴交于点C，且ABC的面

10、积为2，求该抛物线的解析式。分析：抛物线及轴有两个交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，将问题转化为求一元二次方程有两个不相等的实数根应满意的条件。略解：（1）由已知有，解得且 （2）由得C（0，1）又或或【例2】已知抛物线。（1）求证：不管为任何实数，抛物线及轴有两个不同的交点，且这两个点都在轴的正半轴上；（2）设抛物线及轴交于点A，及轴交于B、C两点，当ABC的面积为48平方单位时，求的值。（3）在（2）的条件下，以BC为直径作M，问M是否经过抛物线的顶点P？解析：（1），由，可得证。（2）又 解得或（舍去）（3），顶点（5，9）， M不经过抛物线的顶点P。评注：二次函数及二次方

11、程有着深入的内在联络，因此，擅长促成二次函数问题及二次方程问题的互相转化，是解相关问题的常用技巧。探究及创新：【问题】如图，抛物线，其中、分别是ABC的A、B、C的对边。（1）求证：该抛物线及轴必有两个交点；（2）设有直线及抛物线交于点E、F，及轴交于点M，抛物线及轴交于点N，若抛物线的对称轴为，MNE及MNF的面积之比为51，求证：ABC是等边三角形；（2）当时，设抛物线及轴交于点P、Q，问是否存在过P、Q两点且及轴相切的圆？若存在这样的圆，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由。解析：（1）（2）由得 由得： 设E（，），F（，），那么：， 由51得： 或 由知应舍去。 由解得 ，即 或（舍

12、去） ABC是等边三角形。（3），即 或（舍去） ，此时抛物线的对称轴是，及轴的两交点坐标为P（，0），Q（，0）设过P、Q两点的圆及轴的切点坐标为（0，），由切割线定理有： 故所求圆的圆心坐标为（2，1）或（2，1）评注：本题（1）（2）问及函数图像无关，而第（3）问须要用前两问的结论，解题时千万要细致分析前因后果。同时，假如后一问的解答须要前一问的结论时，尽管前一问没有解答出来，倘能会用前一题的结论来解答后一问题，也是得分的一种策略。跟踪训练：一、选择题：1、已知抛物线及轴两交点在轴同侧，它们的间隔 的平方等于，则的值为（ ） A、2 B、12 C、24 D、2或242、已知二次函数（0）

13、及一次函数（0）的图像交于点A（2，4），B（8，2），如图所示，则能使成立的的取值范围是（ ） A、 B、 C、 D、或3、如图，抛物线及两坐标轴的交点分别是A、B、E，且ABE是等腰直角三角形，AEBE，则下列关系：；其中正确的有（ ） A、4个 B、3个 C、2个 D、1个4、设函数的图像如图所示，它及轴交于A、B两点，线段OA及OB的比为13，则的值为（ ） A、或2 B、 C、1 D、2二、填空题：1、已知抛物线及轴交于两点A（，0），B（，0），且，则 。2、抛物线及轴的两交点坐标分别是A（，0），B（，0），且，则的值为 。3、若抛物线交轴于A、B两点，交轴于点C，且ACB900

14、，则 。4、已知二次函数及轴交点的横坐标为、，则对于下列结论：当时，；当时，；方程0有两个不相等的实数根、；，；，其中全部正确的结论是 （只填写顺号）。三、解答题：1、已知二次函数（0）的图像过点E（2，3），对称轴为，它的图像及轴交于两点A（，0），B（，0），且，。（1）求这个二次函数的解析式；（2）在（1）中抛物线上是否存在点P，使POA的面积等于EOB的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。2、已知抛物线及轴交于点A（，0），B（，0）两点，及轴交于点C，且，若点A关于轴的对称点是点D。（1）求过点C、B、D的抛物线解析式；（2）若P是（1）中所求抛物线的顶点，H是这条抛

15、物线上异于点C的另一点，且HBD及CBD的面积相等，求直线PH的解析式；3、已知抛物线交轴于点A（，0），B（，0）两点，交轴于点C，且，。（1）求抛物线的解析式；（2）在轴的下方是否存在着抛物线上的点，使APB为锐角、钝角，若存在，求出P点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由。参考答案一、选择题：CDBD二、填空题：1、2；2、；3、3；4、三、解答题：1、（1）；（2）存在，P（，9）或（，9）2、（1）；（2）3、（1）；（2）当时APB为锐角，当或时APB为钝角。中考数学学问点速记口诀(一)1.有理数的加法运算：同号相加一边倒;异号相加大减小，符号跟着大的跑;肯定值相等零正好。【注】大

16、减小是指肯定值的大小。 2.合并同类项：合并同类项，法则不能忘，只求系数和，字母、指数不变样。3.去、添括号法则：去括号、添括号，关键看符号，括号前面是正号，去、添括号不变号，括号前面是负号，去、添括号都变号。4.一元一次方程:已知未知要分别，分别方法就是移，加减移项要变号，乘除移了要颠倒。5.恒等变换：两个数字来相减，互换位置最常见，正负只看其指数，奇数变号偶不变。(a-b)2n+1=-(b-a)2n+1(a-b)2n=(b-a)2n6.平方差公式:平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫及完全公式相混淆。7.完全平方:完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中

17、央;首尾括号带平方，尾项符号随中央。8.因式分解：一提(公因式)二套(公式)三分组，细看几项不离谱，两项只用平方差，三项十字相乘法，阵法娴熟不马虎，四项细致看清晰，若有三个平方数(项)，就用一三来分组，否则二二去分组，五项、六项更多项，二三、三三试分组，以上若都行不通，拆项、添项看清晰。9.代入口决：挖去字母换上数(式)，数字、字母都保存;换上分数或负数，给它带上小括弧，原括弧内出(现)括弧，逐级向下变括弧(小-中-大)10.单项式运算：加、减、乘、除、乘(开)方，三级运算分得清，系数进展同级(运)算，指数运算降级(进)行。11.一元一次不等式解题的一般步骤：去分母、去括号，移项时候要变号，同

18、类项、合并好，再把系数来除掉，两边除(以)负数时，不等号改向别忘了。中考数学学问点速记口诀(二)12.一元一次不等式组的解集：大大取较大，小小取较小，小大，大小取中间,大小,小大无处找。 13.一元二次不等式、一元一次肯定值不等式的解集：大(鱼)于(吃)取两边,小(鱼)于(吃)取中间。14.分式混合运算法则：分式四则运算，依次乘除加减，乘除同级运算，除法符号须变(乘);乘法进展化简，因式分解在先，分子分母相约，然后再行运算;加减分母需同，分母化积关键;找出最简公分母，通分不是很难;变号必需两处，结果要求最简。15.分式方程的解法步骤：同乘最简公分母，化成整式写清晰，求得解后须验根，原(根)留、

19、增(根)舍别模糊。16.最简根式的条件：最简根式三条件，号内不把分母含，幂指(数)根指(数)要互质，幂指比根指小一点。17.特殊点坐标特征:坐标平面点(x,y),横在前来纵在后;(+,+),(-,+),(-,-)和(+,-),四个象限分前后;X轴上y为0,x为0在Y轴。18.象限角的平分线:象限角的平分线,坐标特征有特点，一、三横纵都相等,二、四横纵确相反。19.平行某轴的直线:平行某轴的直线，点的坐标有讲究，直线平行X轴,纵坐标相等横不同;直线平行于Y轴,点的横坐标仍照旧。20.对称点坐标:对称点坐标要记牢,相反数位置莫混淆，X轴对称y相反,Y轴对称,x前面添负号;原点对称最好记,横纵坐标变

20、符号。21.自变量的取值范围：分式分母不为零，偶次根下负不行;零次幂底数不为零，整式、奇次根全能行。2012中考数学学问点速记(三)22.函数图像的挪动规律:若把一次函数解析式写成y=k(x+0)+b、二次函数的解析式写成y=a(x+h)2+k的形式，则用下面后的口诀左右平移在括号,上下平移在末稍,左正右负须牢记,上正下负错不了。 23.一次函数图像及性质口诀:一次函数是直线，图像经过仨象限;正比例函数更简洁,经过原点始终线;两个系数k及b,作用之大莫小看，k是斜率定夹角,b及Y轴来相见,k为正来右上斜,x增减y增减;k为负来左下展,改变规律正相反;k的肯定值越大,线离横轴就越远。24.二次函

21、数图像及性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是关键;开口、顶点和交点,它们确定图象现;开口、大小由a断,c及Y轴来相见,b的符号较特殊，符号及a相关联;顶点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱;顶点坐标最重要,一般式配方它就现，横标即为对称轴,纵标函数最值见。若求对称轴位置,符号反,一般、顶点、交点式，不同表达能互换。25.反比例函数图像及性质口诀:反比例函数有特点,双曲线相背离的远;k为正,图在一、三(象)限,k为负,图在二、四(象)限;图在一、三函数减,两个分支分别减。图在二、四正相反,两个分支分别添;线越长越近轴,恒久及轴不沾边。26.巧记三角函数定义：初中所学的三角

22、函数有正弦、余弦、正切、余切，它们实际是三角形边的比值，可以把两个字用/隔开，再用下面的一句话记定义：一位不高超的厨子教徒弟杀鱼，说了这么一句话:正对鱼磷(余邻)直刀切。正：正弦或正切，对：对边即正是对;余：余弦或余弦，邻：邻边即余是邻;切是直角边。27.三角函数的增减性：正增余减28.特殊三角函数值记忆:首先记住30度、45度、60度的正弦值、余弦值的分母都是2、正切、余切的分母都是3，分子记口诀123，321，三九二十七既可。29.平行四边形的断定：要证平行四边形，两个条件才能行，一证对边都相等，或证对边都平行，一组对边也可以，必需相等且平行。对角线，是个宝，互相平分跑不了，对角相等也有用

23、，两组对角才能成。30.梯形问题的协助线：挪动梯形对角线，两腰之和成一线;平行挪动一条腰，两腰同在现;延长两腰交一点，中有平行线;作出梯形两高线，矩形显示在眼前;已知腰上一中线，莫忘作出中位线。31.添加协助线歌：协助线，怎么添?找出规律是关键，题中若有角(平)分线，可向两边作垂线;线段垂直平分线，引向两端把线连，三角形边两中点，连接则成中位线;三角形中有中线，延长中线翻一番。2012中考数学学问点(四)32.圆的证明歌：圆的证明不算难，常把半径直径连;有弦可作弦心距，它定垂直平分弦;直径是圆最大弦，直圆周角立上边，它若垂直平分弦，垂径、射影响耳边;还有及圆有关角，勿忘互相有关联，圆周、圆心、

24、弦切角，细找关系把线连。同弧圆周角相等，证题用它最多见，圆中若有弦切角，夹弧找到就好办;圆有内接四边形，对角互补记心间，外角等于内对角，四边形定内接圆;直角相对或共弦，试试加个协助圆;若是证题打转转，四点共圆可解难;要想证明圆切线，垂直半径过外端，直线及圆有共点，证垂直来半径连，直线及圆未给点，需证半径作垂线;四边形有内切圆，对边和等是条件;假如遇到圆及圆，弄清位置很关键，两圆相切作公切，两圆相交连公弦。 33.圆中比例线段：遇等积，改等比，横找竖找定相像;不相像，别生气，等线等比来代替，遇等比，改等积，引用射影和圆幂，平行线，转比例，两端各自找联络。34.正多边形窍门歌:份相等分割圆，n值必

25、需大于三，依次连接各分点，内接正n边形在眼前.35.经过分点做切线，切线相交n个点.n个交点做顶点，外切正n边形便出现.正n边形很美观，它有内接，外切圆，内接、外切都唯一，两圆还是同心圆，它的图形轴对称，n条对称轴都过圆心点，假如n值为偶数，中心对称很便利.正n边形做计算，边心距、半径是关键，内切、外接圆半径，边心距、半径分别换，分成直角三角形2n个整，依此计算便简洁.36.函数学习口决：正比例函数是直线，图象肯定过圆点，k的正负是关键，确定直线的象限，负k经过二四限，x增大y在减，上下平移k不变，由引得到一次线，向上加b向下减，图象经过三个限，两点确定一条线，选定系数是关键。37.反比例函数

26、双曲线，待定只需一个点，正k落在一三限，x增大y在减，图象上面随意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线x、y的依次可交换。38.二次函数抛物线，选定须要三个点，a的正负开口判，c的大小y轴看，的符号最简便，x轴上数交点，a、b同号轴左边抛物线平移a不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。2012中考数学：几何学问146条2012中考接近，初三生已经进入到最终的备考冲刺阶段。那么，如何在冲刺阶段查漏补缺、夯实根底呢?为便利考生复习中考数学，整理出初中几何146条好用学问，盼望考生可以和时查看。1过两点有且只有一条直线2两点之间线段最短3同角或等角的补角相等4同角或等角的余角相等5过

27、一点有且只有一条直线和已知直线垂直6直线外一点及直线上各点连接的全部线段中，垂线段最短7平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线及这条直线平行8假如两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9同位角相等，两直线平行10内错角相等，两直线平行11同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13两直线平行，内错角相等14两直线平行，同旁内角互补15定理三角形两边的和大于第三边16推论三角形两边的差小于第三边17三角形内角和定理三角形三个内角的和等于18018推论1直角三角形的两个锐角互余19推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相

28、邻的内角21全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等26斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的间隔 相等28定理2到一个角的两边的间隔 一样的点，在这个角的平分线上29角的平分线是到角的两边间隔 相等的全部点的集合30等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等31推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32等腰三角形的

29、顶角平分线、底边上的中线和高互相重合33推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于6034等腰三角形的断定定理假如一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)35推论1三个角都相等的三角形是等边三角形36推论2有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形37在直角三角形中，假如一个锐角等于30那么它所对的直角边等于斜边的一半38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的间隔 相等40逆定理和一条线段两个端点间隔 相等的点，在这条线段的垂直平分线上41线段的垂直平分线可看作和线段两端点间隔 相等的全部点的集合42定理1关于某条直线

30、对称的两个图形是全等形43定理2假如两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3两个图形关于某直线对称，假如它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理假如两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a+b=c47勾股定理的逆定理假如三角形的三边长a、b、c有关系a+b=c，那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于36049四边形的外角和等于36050多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)18051推论随意多边的外角和等于36052平行四边形性质

31、定理1平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分56平行四边形断定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形断定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形断定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形断定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2矩形的对角线相等62矩形断定定理1有三个角是直角的四边形是矩形63矩形断定定理2对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1菱形的四条边都相等65

32、菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=(ab)267菱形断定定理1四边都相等的四边形是菱形68菱形断定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1关于中心对称的两个图形是全等的72定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理假如两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个

33、角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形断定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理假如一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79推论1经过梯形一腰的中点及底平行的直线，必平分另一腰80推论2经过三角形一边的中点及另一边平行的直线，必平分第三边81三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=(a+b)2S=Lh83(1)比例的根本性质假如a：b=c：d，那么ad=bc;假如ad=bc，那么a：b=c：d84(2)合比性质假

34、如a/b=c/d，那么(ab)/b=(cd)/d85(3)等比性质假如a/b=c/d=m/n(b+d+n0)，那么(a+c+m)/(b+d+n)=a/b86平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例88定理假如一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边及原三角形三边对应成比例90定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形及原三角形相像91相像

35、三角形断定定理1两角对应相等，两三角形相像(ASA)92直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相像93断定定理2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相像(SAS)94断定定理3三边对应成比例，两三角形相像(SSS)95定理假如一个直角三角形的斜边和一条直角边及另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相像96性质定理1相像三角形对应高的比，对应中线的比及对应角平分线的比都等于相像比97性质定理2相像三角形周长的比等于相像比98性质定理3相像三角形面积的比等于相像比的平方99随意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，随意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100随意锐

36、角的正切值等于它的余角的余切值，随意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的间隔 等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的间隔 小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的间隔 大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的间隔 等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的间隔 相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边间隔 相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线间隔 相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且间隔 相等的一条直线109定理不在同始终线上的三个点确定一条直线110垂径定理垂直于弦的直径平分这

37、条弦并且平分弦所对的两条弧111推论1平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧112推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形114定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等115推论在同圆或等圆中，假如两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等116定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半117推论1同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角

38、所对的弧也相等118推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90的圆周角所对的弦是直径119推论3假如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形120定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角121直线L和O相交dr直线L和O相切d=r直线L和O相离dr122切线的断定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线123切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径124推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点125推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心126切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

39、127圆的外切四边形的两组对边的和相等128弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角129推论假如两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等130相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等131推论假如弦及直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项132切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线及圆交点的两条线段长的比例中项133推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线及圆的交点的两条线段长的积相等134假如两个圆相切，那么切点肯定在连心线上135 两圆外离dR+r两圆外切d=R+r两圆相交R-rdR+r(Rr)两圆内切d=R-r(Rr

40、)两圆内含dR-r(Rr)136定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦137定理把圆分成n(n3)：依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形138定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆139正n边形的每个内角都等于(n-2)180/n140定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形141正n边形的面积Sn=pnrn/2p表示正n边形的周长142正三角形面积3a/4a表示边长143假如在一个顶点四周有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360，因此k(n-2)180/n=360化为(n-2)(k-2)=4144弧长计算公式：L=nR/180145扇形面积公式：S扇形=nR/360=LR/2146内公切线长=d-(R-r