高三数学 不等式的性质不等式证明 知识精讲 通用版.docx

《高三数学 不等式的性质不等式证明 知识精讲 通用版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学 不等式的性质不等式证明 知识精讲 通用版.docx（22页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、高三数学 不等式的性质、不等式证明 学问精讲 通用版【本讲主要内容】 不等式的性质、不等式证明【学问驾驭】【学问点精析】实数集及数轴间一一对应关系，数轴上随意两点所对应的实数都有大小之别（右边的点对应的实数较大），任取两实数a、b，ab，ab，ab三者中有且只有一式成立：abab0，abab0，abab0。 在不等式的意义的根底上总结出的不等式的性质是我们证明不等式的理论根底，要娴熟驾驭。 对不等式的证明，从思想方法上，有如下四种： 1. 比拟法，这是干脆利用不等式的意义：ABAB0等等，有时为便利计，也运用其变种：AB等等。 2. 分析法，从结论的需要动身，看条件是否能供应，如原来证明AB，

2、我们就由BCDA，也有称之为“执果索因”的，只是书写时必需要留意，切不行写为：B C D ，A由已知，命题成立，因为这样事实上是证明了逆命题，及原命题正确及否不相干。 3. 综合法，也有称为“执因索果”的，是由已知条件或定理动身，逐次推出结论成立。 4. 反证法，当正面证明不易奏效时，不妨考虑反证法，特殊地，有“存在”、“至少”等词语的问题中，往往收到奇效。其它还有判别式法，放缩法，函数法，换元法，有时也采纳数学归纳法等。证明不等式的方法敏捷多样，但比拟法、综合法、分析法仍是证明不等式的最根本方法。要根据题设、条件的构造特点、内在联络，选择适当的证明方法，要熟识各种证法中的推理思维，并驾驭相应

3、的步骤，技巧和语言特点，为沟通联络的途径，证明时往往结合运用分析综合法，两面夹击，相辅相成，到达欲证的目的。在诸多方法中，最根本的方法是比拟法，它的一般步骤是：作差（商）变形推断符号（值）。变形的主要方向是因式分解、配方，推断过程必需具体叙述，假如作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证。综合法也是常用的方法之一，在证明时经常用到如下公式：（1）2ab（a，bR） （2） （3）2（ab0）（4） （5）若a，bR，则|a|b|ab|a|b|【解题方法指导】例1. 设a0，b0，求证：（）（）a+b。剖析：不等式两端都是多项式的形式，故可用比差法证明或比商法证明。证法

4、一：左边右边（）0。原不等式成立。证法二：左边0，右边0，1。原不等式成立。评述：用比拟法证不等式，一般要经验作差（或商）、变形、推断三个步骤。变形的主要手段是通分、因式分解或配方。在变形过程中，也可利用根本不等式放缩，如证法二。要留意的是，作差对两个式的值的符号没有要求，作差后的式子及0进展大小比拟；而作商通常对两个式子的值的符号有要求，作商后的式子及1进展大小比拟。例2. a1、b1、a2、b2 R，求证：（a12+a22）（ b12+b22）（a1b1+a2b2）2。剖析：这是“柯西不等式”在n2时的特殊状况，我们利用它来回忆一下常用的几种证明方法：证法一（作差比拟法）：左右（a12b1

5、2+a22b22+a12+b22+a22+b12）（a12b12+a22b22+2a1b1a2b2）a12b222a1b2a2b1+a22b12（a1b2a2b1）20。原不等式成立。证法二（判别式法）：（a1x+b1）2+（a2x+b2）20恒成立。（a12+a22）x2+2 （a1b1+a2b2）x +（b12+b22）0恒成立。若a12+a220，则4（a1b1+a2b2）24（a12+a22）（b12+b22）0（a12+a22）（b12+b22）（a1b1+a2b2）2。若a12+a220，则a1a20，原不等式左、右均为0，也成立。其它方法如：分析法：左a12b12+a22b22+

6、a12b22+a22b12，右a12b12+a22b22+2a1a2b1b2，要证原式，只要证明a12b22+a22b122a1a2b1b2，即可综合法：a12b22+a22b122a1a2b1b2，两边同加a12b12+a22b22。构造法：作向量a（ a1，a2），b（ b1， b2），由向量的数量积的性质可得（a）2（b）2（ab）2，代入坐标立得。几何法：在直角坐标系内取点A（a1，a2）B（b1，b2），则OA+OBAB（+）2（）2亦即（a1b1+a2b2）右边为负时当然成立，非负时平方即得。评讲：这一问题的解决方法说明了不等式证明方法的多样性及敏捷性。另外，这个不等式也是一个重要

7、的根本不等式，只不过它只是出如今课本的例习题中，在今后的学习中，我们也可以干脆运用这个不等式解决有关问题。最终大家想一想：这样的实数增加到3对、4对，上面的方法还都有效吗？例3. 已知ab0，求证：剖析：不等式的运算形式是比拟困难的，一眼看不出从哪儿下手，这时可以用分析法对不等式变形。证明：若证原不等式成立，只要证：只要证明，只要证只要证，只要证只要证，即证，即证成立ab0此式明显成立，又以上各步均可逆。原不等式成立。评讲：分析可以让我们揭开一个不等式的真面目。同学们要留意的是在运用分析法时，肯定根据标准的格式书写。【考点打破】【考点指要】高考考纲要求：理解不等式的性质及其证明；驾驭两个（不扩

8、展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理；驾驭分析法、综合法、比拟法证明简洁的不等式。从近几年的高考试题来看，有关不等式的试题根本上都是一道选择题或填空题和一道解答题，解答题一般是解不等式和证明不等式，纯粹本单元的试题分值渐渐削减，但在一些函数、数列、立体几何、解析几何和实际应用问题的试题中常涉及不等式的学问，在综合题的解题过程中到处分布着不等式的学问、方法和技巧，理科平均约9%，文科约7%。关于不等式证明的内容年年都有，大局部是间接考察不等式的证明，有时也干脆考察。年份题号分值占总分比例题型考察内容200120128%解答题不等式证明及排列组合二项式定理综合2002全国2214

9、9.5%解答题不等式证明及数列学问综合2002北京18128%解答题及立几何结合考察不等式证明方法中的比拟法2002北京19128%解答题不等式证明及数列学问综合2003江苏22149.5%解答题不等式证明及二次函数，数列等学问综合2003北京20149.5%解答题不等式性质，证明等综合应用2004江苏22149.5%解答题不等式证明及函数学问综合2004福建21128%解答题不等式证明及函数、导数等学问综合2004北京20139%解答题不等式证明等根本学问2004全国22149.5%解答题不等式证明及数列学问综合2004辽宁21149.5%解答题不等式证明及函数学问综合2004湖南22149

10、.5%解答题不等式证明及数列学问综合2004重庆22149.5%解答题不等式证明及数列学问综合2005全国13419%填空题不等式及指数的综合1912解答题不等式证明及数列学问综合2212解答题不等式证明及函数学问综合2006全国22128%解答题不等式证明及数列学问综合证明不等式是理科（或文理合卷的省、市）考察的重点，不等式证明题历来难度大，区分度高，综合性强，创新不断，同学平常练习题及高考试题差距较大，所以我们在学习时一方面要重视对根底学问、根本方法的复习，另一方面更要留意证明方法中蕴含的思想方法、技巧、技能。【典型例题分析】例4. （2002年北京）数列xn由下列条件确定： （）证明：对

11、n2，总有； （）证明：对n2，总有。 证明：（）（均值不等式的应用综合法）：由，可归纳证明 从而有，所以，当n2时，成立。 （）证法一（作差比拟法）：当n2时，因为， 所以，故当n2时，成立。证法二（作商比拟法）：当n2时，因为，所以故当n2时，成立。评讲：此题是以数列为学问背景，把数列及不等式证明综合起来，重点还是考察不等式证明方法中最根本的方法综合法和比拟法。例5. （2001，全国，理，20）已知i，m，n是正整数，且1imn （I）证明：niAmi（1+n）m证明：（1）对于1im，且A m（mi+1），由于mn，对于整数k1，2，i1，有，所以（2）由二项式定理有 （1+m）n1+

12、Cm+Cm2+Cmn，（1+n）m1+Cn+Cn2+Cnm，由（1）知miAniA （1im，而CmiCinniCim（1mnm0Cn0C1，mCnCmn，m2Cn2C，mmCnmC，mm+1C0，mnC0，1+Cm+Cm2+Cmn1+Cn+C2mn2+Cnm，即（1+m）n（1+n）m成立 评讲：在第一问中肯定要弄清符号Ami的意义，把要证的式子用“隔离参数”的思想变形为，再比拟两边对应的比值即可。在第二问中要留意运用第一问的结论，把排列数之间的不等关系转化为组合数之间的不等关系。例6. （2002江苏，22）已知a0，函数f（x）axbx2。（1）当b0时，若对随意xR都有f（x）1，证明

13、a2；（2）当b1时，证明：对随意x0，1，|f（x）|1的充要条件是b1a2；（3）当0b1时，探讨：对随意x0，1，|f（x）|1的充要条件。证明：（）依设，对随意xR，都有f（x）1，f（x），1，a0，b0，a2。（）证明：必要性对随意x0，1，|f（x）|11f（x），据此可以推出1f（1），即ab1，ab1；对随意x0，1，|f（x）|1f（x）1，因为b1，可以推出f（）1，即a11，a2；b1a2。充分性因为b1，ab1，对随意x0，1，可以推出axbx2b（xx2）xx1，即axbx21；因为b1，a2，对随意x0，1，可以推出axbx22xbx21，即axbx21。1f（x

14、）1。综上，当b1时，对随意x0，1，|f（x）|1的充要条件是b1a2。（）解：因为a0，0b1时，对随意x0，1：f（x）axbx2b1，即f（x）1；f（x）1f（1）1ab1，即ab1，ab1f（x）（b1）xbx21，即f（x）1。所以，当a0，0b1时，对随意x0，1，|f（x）|1的充要条件是ab1。评讲：在证明的过程中要留意结合二次函数特殊的性质，不等式对所给区间上的随意一个值都成立，当然对一个特殊值（比方：顶点处）也成立，这样我们就把一个一般的函数不等式变为我们所需要的不含变量x的不等式。【达标测试】一. 选择题：1. （2006安徽4）设，已知命题；命题，则是成立的（ ）A

15、. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件2. 假如a，b，c满意cba，且acac B. c（b-a）0 C. cb2ab2 D. ac（a-c）1，0b1，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 6. 设x0，y0，且xy（x+y）1，则（ ）A. x+y2+2B. x+y2+2C. x+y（+1）2D. x+y（+1）27. 设，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 28. 已知x、yR，Mx2+y2+1，Nx+y+xy，则M及N的大小关系是（ ）A.MNB.MNC.MND.不能确定二. 填空题：9. 已知，则的最大值为 ，最小值为

16、 。10. 设a0，1b1是|a+b|1的充分而不必要条件。命题q：函数y的定义域是（-，-13，+）。则（ ）A. “p或q”为假 B. “p且q”为真 C. p真q假 D. p假q真 3. 若a、b为实数， 且a+b2， 则3a+3b的最小值为 （ ）A. 18 B. 6 C. 2 D. 24. 设p+q1， p0， q0， 则不等式成立的一个充分条件是（ ）A. 0x B. x C. x15. （2006江苏）设a，b，c是互不相等的三个正数，则下列不等式中不恒成立的是（ ）A. |a-b|a-c|+|b-c| B. a2+C. |a-b|+ D. 6. （2005年高考福建卷理11）设

17、的最小值是（ ）A. B. C. 3D. 7. （2005年春北京）若不等式（1）na2+对随意nN*恒成立，则实数a的取值范围是( )A.2，B.（2，）C.3，D.（3，）8. （2000全国）若ab1，P，Q（lgalgb），Rlg（），则（ ）A.RPQ B.PQRC.QPRD. PRQ二. 填空题：9. 若abc，则+_。（填“”“”“”10. 若的大小关系是_。11. （1999全国，17）若正数a、b满意aba+b+3，则ab的取值范围是 。12. 若0，已知下列不等式：a+b|b| a2其中正确的不等式的序号为 。三. 解答题：13. 若+1，求证：x+y（+）2（式中a、b、

18、x、y均当正实数）14. 已知a、b为正数，求证：（1）若+1，则对于任何大于1的正数x，恒有ax+b成立；（2）若对于任何大于1的正数x，恒有ax+b成立，则+1。15. （2006广东20）是定义在上且满意如下条件的函数组成的集合：对随意的，都有；存在常数，使得对随意的，都有。（I）设，证明：；（II）设，假如存在，使得，那么这样的是唯一的；（III）设，任取，令，。【达标测试答案】一. 选择题：1. 解：命题是命题等号成立的充分条件，故选B。2. 解析：取b0，可验证C不成立。C3. 答案：A4. 解析：p是假命题，q是真命题，故正确。选C。5. 解析：a1，0b1，设，则；则选D6.

19、解析：x0，y0，xy（）2。由xy（x+y）1得（）2（x+y）1。x+y2+2。答案：B7. 解析：设则，即故。选B8. 解析：MNx2+y2+1（x+y+xy）（x2+y22xy）+（x22x+1）+（y22y+1）（xy）2+（x1）2+（y1）20。答案：A二. 填空题：9. 解析：由得0|xy|，所以1-（xy）21-x2y2，1。填1，。10. 解析：aab2ab11. 解析：a2+1a2+。aa。答案：12. 解析：均可举出反例，可用反证法证明“若两数均小于1，则a+b0， q0，则由，得若x1，则，则，故选D。5. 解析：|a-b|a-c+c-b|a-c|+|b-c|恒成立，

20、 因为a0，所以a+2恒成立；所以a2+0即a2+恒成立；又因为，所以恒成立；当ab时|a-b|+成立，当a0）由aba+b+32+3，得t22t+3解得t3，即3。故ab9。解析二：由已知得abba+3，b（a1）a+3，b（a1）aba（a1）+1a+3+a1+4+a1+52+59。当且仅当a1时取等号。即ab3时ab的最小值为9。所以ab的取值范围是9，+）。答案：ab912. 解析： 0 ， b0，故错。，三. 解答题：13. 解1：1+x+y1（x+y）（+）（x+y）a+b+（+）2 当且仅当 ay2bx2时取“”号。解2：设 （0，），则x+ya（1+tan2）+b（1+cot2

21、）a+b+2（+）2（如用柯西不等式，可干脆证明：x+y（x+y）（+）（+）2（+）2当然，如下用柯西不等式，则x+y（x+y）（+）a+b+a+ba+b+2（+）2。14. 证明：（1）ax+a（x1）+1+a2+1+a（+1）2。+1（b0），（+1）2b。成立。（2）ax+b对于大于1的实数x恒成立，即x1时，ax+minb，而ax+a（x1）+1+a2+1+a（+1）2，当且仅当a（x1），即x1+1时取等号。故ax+min（+1）2。则（+1）2b，即+1。15. 证明：给定正整数，对随意的正整数，不等式成立证明：（I）、对随意，所以对随意的，所以0，令， 所以（II）反证法：设存在两个使得，则由得，所以，冲突，故结论成立。（III），所以