垂径定理圆周角与圆心角关系.docx

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1、圆一圆的基本性质1、固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图：2、三角形的外接圆：锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ，钝角三角形的外心在 。 3、垂径定理及推论1中的三条可概括为： 经过圆心；垂直于弦；平分弦(不是直径)；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点4、圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。圆内接梯形为等腰梯形，圆内接平行四边形为矩形。判断四点共圆的方法之一：四边形对角互补即可。DOEBAC1、已知，如图，CD是直径，AE交O于B，且AB=OC，求A的度数

2、。2、在半径为5cm的圆中，弦ABCD，AB=6cm，CD=8cm，则AB和CD的距离是多少？3、 已知：O的半径0A=1，弦AB、AC的长分别为，求的度数4、.要浇铸一个和残破轮片同样大小的圆形轮片，需要知道它的半径，用圆规和直尺在图中作出它的一条半径（要求保留作图痕迹）CBDA5、如图，已知在中，AB=3cm，AC=4cm，以点A为圆心，AC长为半径画弧交CB的延长线于点D，求CD的长6、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度AB16cm，拱高CD4cm，那么拱形的半径是 m。7、 ABC中，AB=AC=10，BC=12，则它的外接圆半径是。8、如图,为直径是52cm圆柱形油槽,装入油后,油深CD

3、为16cm,那么油面宽度AB= _ ADECBO图19、如图，O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=8cm，EB=4cm，CEA=30，则CD的长为_AOCDB图210、如图，O的半径为6cm，AB、CD为两弦，且ABCD，垂足为点E，若CE=3cm，DE=7cm，则AB的长为（ ） A10cm B.8cm C. D.11、如图，同心圆中，大圆的弦交AB于C、D若AB=4，CD=2，圆心O到AB的距离等于1，那么两个同心圆的半径之比为（ ） A3:2 B.:2 C.: D.5:412、已知:如图,在O中,弦AB的长是半径OA的倍,C为弧AB的中点,AB、OC相交于点M.试判断四边形OACB

4、的形状,并说明理由.13、在O中，弦AB=10cm，C为劣孤的中点，OC交AB于D，CD=1cm，则O的半径是 .AEFBCDO14、如图，O的半径为4cm，弦AB、CD交于E点，AC=BC，OFCD于F，OF=2cm，则BED= .15、如图，圆心角AOB=100，则ACB=OABC_._D_C_B_A_O16、如图，是O的直径，点都在O上，若，则 17、已知：如图，AD是O的直径，ABC=30，则CAD=_18、如图，ABC内接于O，BAC=120，AB=AC，BD为 O的直径，AD=6，则BC 。A19、如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点处安装了一台监视器，它的监控角度是为了监控整个

5、展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器 台。20、如图，A、B、C、D是上四点，且D是AB的中点，CD交OB于E，= 度.21、如图，已知AB是的直径，C、D是上的两点，则的度数是 .ABODEC22、如图所示，在O中，AB是直径，COAB，D 是CO的中点，DEAB求证:EC=2EA23、如图，一圆内切四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为？ABCOD24如图，已知O的半径为2，弦AB的长为，点C及点D分别是劣弧AB及优弧ADB上任一点（点C、D均不及A、B重合）.(1)求；(2)求三角形ABD的最大面积ABDCO25、已知：如图所示，四边形ABCD内接于O，BD是O

6、直径，若DAC=，BC=，AD=5求AC的长26、如图，已知，在ABC 中，AB10，A70，B50求ABC外接圆O的半径.ABCEDI27、如图，ABC中，I是内心，AI交BC于D，交ABC的外接圆于E。 求证：（1）IE=EC，（2）IE2=EDEA。28、已知：如图，在ABC 中，AB7，AC6，ADBC，且AD=5，求ABC外接圆O的半径r.29、已知：如图，在ABC 中，ABAC=10，BC12，求ABC外接圆O的半径r.30、 如图，为Rt的外接圆，点为的中点，延长交于，试说明123MCBAEO31、 已知：如图，在中，平分交的外接圆于，交于，试判断四边形的形状，并说明理由32.在

7、锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，为垂足.求证：E、B、C、F四点共圆.二直线及圆的位置关系考点速览：判断直线是圆的切线的方法：及圆只有一个交点的直线是圆的切线。圆心到直线距离等于圆的半径的直线是圆的切线。经过半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线。（请务必记住证明切线方法：有交点就连半径证垂直；无交点就做垂直证半径）两个结论： 圆的外切四边形对边和相等；圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长三角形外接圆及内切圆比较：名称确定方法图形性质外心（三角形外接圆的圆心）三角形三边中垂线的交点（1）OA=OB=OC；（2）外心不一定在三角形的内部内心（三角形内切圆的圆心）三角形三条角平分线的交点（1

8、）到三边的距离相等；（2）OA、OB、OC分别平分BAC、ABC、ACB；（3）内心在三角形内部求三角形的内切圆的半径1、直角三角形ABC内切圆O的半径为.2、一般三角形已知三边，求ABC内切圆O的半径r.1、.如图,PA、PB是O的切线，切点为A、B，C是O上一点，若P40。，求C的度数。ABCEOD2、如图所示，中，以AC为直径作O交AB于D，E为BC中点。求证：DE是O的切线3、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且及小圆相交于点A，及大圆相交于点B，小圆的切线AC及大圆相交于点D，且CO平分ACB.试判断BC所在直线及小圆的位置关系，并说明理由。4、如图，在RtABC中，

9、C=90。 ，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆及AC、AB分别交于点D、E，且CBD= A，判断BD及O的位置关系，并证明你的结论。EFDCOAB5. 如图，AB及O相切于B，AO的延长线交O于点C，连接BC，若A36。则C_EFDCOAB6、如图，O分别切的三边AB、BC、CA于点D、E、F，若（1）求AD、BE、CF的长；（2）当，求内切圆半径r7、直角三角形的两条直角边为5、12，则此直角三角形的外接圆如图，半径为 ，内切圆半径 cmAEDBOC8、如图，PA、PB是O的切线，AB交OP于点，若，则O的半径是 APBOCAOPBBBM9、如图，在中，以BC边上一点O为圆心作O及

10、AB相切于E，及AC相切于C，又O及BC的另一个交点D，则线段BD的长 10、如图，内接于O，AB为O直径，过C点的切线交直径AB的延长线于P，则 11、（贵阳）如图，O是RtABC的内切圆，ACB900，且AB13，AC12，则图中阴影部分的面积是（）A、B、C、D、12.如图，AB是O的直径，直线MN切半圆于C，AMMN，BNMN，若AM=，BN=，则AB= .MCAOBN13如图，AB是O的直径，延长AB到D，使BD=OB，DC切O于C，则D= ，ACD= ，若半径为，AC= ABDCO14.如图，在，点P在AC上，AP=2，若的圆心在线段BP上，且及AB、AC都相切，则的半径是（ ）.

11、A1 B C D15如图，ABC中，A=45，I是内心，则BIC=（ ） A112.5 B112 C125 D5516如图，在ABC中，AB=AC，内切圆O及边BC，AC，AB分别切于D，E，F （1）求证：BF=CE；（2）若C=30，CE=2，求AC的长17如图，已知ABC的内切圆O分别和边BC，AC，AB切于D，E，F，如果AF=2，BD=7，CE=4（1）求ABC的三边长；（2）如果P为弧DF上一点，过P作O的切线，交AB于M，交BC于N，求BMN的周长18如果圆的半径是15，那么它的内接正方形的边长等于（ ）A、 B、C、D、19、如图，RtABC中，AC=8,BC=6,c=90，圆

12、I分别切AC、BC、AB于D,E,F，求RtABC的内心I及外心O之间的距离。三圆及圆位置的关系1圆和圆的位置关系（设两圆半径分别为R和r，圆心距为d）外离外切相交内切内含图形O1O2O1O2O1O2O1O2O1O2公共点0个1个2个1个0个d、r、R的关系外公切线2条2条2条1条0条内公切线2条1条0条0条0条2有关性质： （1）连心线：通过两圆圆心的直线。如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。 （2）公共弦：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 （3）公切线：和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。 两个圆在公切线同旁 两个圆在公切线两旁内公切线外公切线3相交两圆的性质 定理：相交两圆

13、的连心线垂直平分两圆的公共弦。4相切两圆的性质定理：相切两圆的连心线经过切点四.圆的有关计算1、有关弧长公式的应用 如图，RtABC的斜边AB=35，AC=21，点O在AB边上，OB=20，一个以O为圆心的圆，分别切两直角边边BC、AC于D、E两点，求弧DE的长度2、有关阴影部分面积的求法COABDE如图所示，等腰直角三角形的斜边，是的中点，以为圆心的半圆分别及两腰相切于、求圆中阴影部分的面积3、求曲面上最短距离如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又回到A点。它爬行的最短路线长是（ ） A2 B4 C4 D54、求圆锥的侧面积如图10，这是一个由圆柱体材料加

14、工而成的零件，它是以圆柱体的上底面为底面，在其内部“掏取”一个及圆柱体等高的圆锥体而得到的，其底面直径AB=12cm，高BC=8cm，求这个零件的表面积（结果保留根号）一、基础训练1 如图，两个同心圆中，大圆的半径OA=4cm，AOB=BOC=60，则图中阴影部分的面积是_cm24如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为r，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于120，则r及R之间的关系是（ ） AR=2r BR=r CR=3r DR=4r5如图，圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则它的侧面积是（ ） A60cm2 B45cm2 C30cm2 D15c

15、m26已知圆锥侧面展开图的圆心角为90，则该圆锥的底面半径及母线长的比为（ ） A1：2 B2：1 C1：4 D4：18将直径为64cm的圆形铁皮，做成四个相同圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的高为（ ） A8cm B8cm C16cm D16cm9如图，圆心角都是90的扇形OAB及扇形OCD叠放在一起，OA=3，OC=1，分别连结AC、BC，则圆中阴影部分的面积为（ ）A B C2 D410如图，PA切圆O于A，OP交圆O于B，且PB=1，PA=，则阴曩部分的面积S=_11如图，在边长为4cm的正方形ABCD中，分别以各边为直径向正方形内依次作弧AB,BC

16、,CD,DA，点E是四段弧的交点一只蚂蚁由点A出发沿弧AB,BC,CD,DA,AB路径顺序不断地爬行，当它行走了2006cm时，停止爬行，此时，蚂蚁所处的位置是点_（填A，B，C，D，E之一）12如图，这是一个供滑板爱好者使用的U形池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆，其边缘AB=CD=20m，点E在CD上，CE=2m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为_m；（边缘部分的厚度忽略不计，结果保留整数）13如图9，将圆桶中的水倒入一个直径为40cm，高为55cm的圆口容器中，圆桶放置的角度及水平线的夹角为45，若使容器中的

17、水面及圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为（ ）A10cm B20cm C30cm D35cm二、应用及探究：AOCB1如图所示，A是半径为1的O外一点，OA=2，AB是O的切线，B为切点，弦BCOA，连结AC，求阴影部分的面积AABACAFAEADA2. 如图所示，已知，的圆心为，如果图中两个阴影部分面积相等，求3. 如图，有一直径是1米的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角是90的扇形ABC，求：AOB（1）被剪掉后阴影部分的面积（2）用所有的扇形铁皮围成一个圆锥该圆锥的底面圆的半径是多少？（结果可用根号表示）【作业】日期 姓名 完成时间 成绩 1在两个同心圆中，两条半径所截得的弧长的比一

18、定等于（ ）A、两心角的度数比B、两条半径的比C、两圆半径的平方比D、以上都不对2正三角形的内切圆及外接圆周长的比为（ ）A、B、 C、 D、3若圆上一段劣弧所对的弦长等于圆的半径R，R=1，那么劣弧和弦围成的弓形面积（ ）A、B、C、 D、ABOC4如图所示，两个同心圆中大圆的弦及小圆相切于点，若=4，则图中圆环的面积为（ ）A、B、C、D、ABCDPEMN5如图所示，矩形中，=1，以的中点为圆心的及相切于点，则图中阴影部分的面积为（ ）A、B、C、D、6已知圆锥的底面周长为58cm，母线长为30cm，求得圆锥的侧面积为（ ） A870 B908 C1125 D17407若圆锥侧面积是底面积

19、的2倍，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是（ ） ABC D8一个圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，它的母线长为，则圆锥的表面积为（ ） A B C D9一个圆锥形的零件，如果经过圆锥的轴的剖面是一个边长为4cm的等边三角形，那么圆锥的表面积是（ ） A8 B10 C12 D1十二.圆的基础综合测试一、 精心选一选1下列三个命题：圆既是轴对称图形又是中心对称图形；垂直于弦的直径平分弦； 相等的圆心角所对的弧相等其中真命题的是（ ）A. B. C. D. 2O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l及O的位置关系是（ ）A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定3 O中，AOB84，则弦AB

20、所对的圆周角的度数为（ ） A.42 B.138 C.69 D.42或1384如图1，O的直径CD垂直于弦EF，垂足为G，若EOD=40,则DCF等于（ ） A.80 B. 50 C. 40 D. 205已知两圆的半径是方程两实数根，圆心距为8，那么这两个圆的位置关系是（ ）A.内切 B.相交 C.外离 D.外切6已知圆上的一段弧长为5cm，它所对的圆心角为100,则该圆的半径为( ) A.6 B.9 C.12 D.187两个圆是同心圆，大、小圆的半径分别为9和 5，如果P及这两个圆都相切，则P 的半径为( ) A.2 B.7 C.2或7 D.2或4.58如图2，AB及O切于点B，AO6，AB

21、4，则O的半径为（ ）A、4 B、2 C、2 D、9如图3，已知0的直径AB及弦AC的夹角为35，过C点的切线PC及AB的延长线交于点P，则么P等于（ ） A150 B200 C250 D30010如图4，ABC内接于O，C=45，AB= 4 ，则O半径为（ ）A、 B、4 C、 D、5二、耐心填一填11过O内一点M的最长弦为10cm，最短弦为8cm，则OM= cm.12RtABC中，C90，AC=5,BC=12,则ABC的内切圆半径为 13已知正n边形的一个外角及一个内角之比为13，则n等于 14某校九（3）班在圣诞节前，为圣诞晚会制作一个圆锥形圣诞老人的纸帽，已知圆锥的母线长为30cm，底

22、面直径为20cm，则这个纸帽的表面积为 15如图5，O是ABC内切圆，切点为D、E、F，A=100，C=30，则DFE度数是 16如图6，O中，直径为MN ，正方形ABCD四个顶点分别在半径OM、OP以及O上，并且POM = 45，若AB1，则该圆的半径为 三、思维大比拼 ADDE17 如图7，在ABC中，ACB90，B36，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D,交BC于点E.求 、 的度数18已知：如图，ABC中，ACBC，以BC为直径的O交AB于点D，过点D作DEAC于点E，交BC的延长线于点F 求证：（1）ADBD； （2）DF是O的切线19如图，在RtABC中，B90，A的平分线及B

23、C相交于点D,点E在AB上，DE=DC,以D为圆心，DB长为半径作D（1）AC及D相切吗？并说明理由（2）你能找到AB、BE、AC之间的数量关系吗？为什么？20、如图，已知：内接于O，点 在的延长线上，（1）求证：是O的切线； （2）若，求的长21如图，已知O的直径AB垂直于弦CD于E，连结AD、BD、OC、OD，且OD5（1）若，求CD的长；（2）若 ADO：EDO4：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留）AB22图是某学校存放学生自行车的车棚的示意图（尺寸如图所示），车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形图是车棚顶部截面的示意图， 所在圆的圆心为OOBA图图AB2米4米车棚顶部

24、是用一种帆布覆盖的，求覆盖棚顶的帆布的面积（不考虑接缝等因素，计算结果保留）23如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，B = 90，AB =8，AD=24，BC=26，AB为O的直径。动点P从A点开始沿AD边向点D以1 cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s 的速度运动，P、Q 两点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为 t s ,求：（1） t分别为何值时，四边形PQCD为平行四边形、等腰梯形？（2） t分别为何值时，直线PQ及O相交、相切、相离？十三.圆的终极综合测试一：选择题1有下列四个命题：直径是弦；经过三个点一定可以作圆；三角形的外

25、心到三角形各顶点的距离都相等；半径相等的两个半圆是等弧其中正确的有（ ）A.4个 B.3个 C.2个 D.1个2下列判断中正确的是（ ）A.平分弦的直线垂直于弦 B.平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧C.弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D.平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦3如上图，已知O的弦AB、CD相交于点E，的度数为60，的度数为100，则AEC等于（ ）A.60 B.100 C.80 D.1304圆内接四边形ABCD中，A、B、C的度数比是2:3:6，则D的度数是（ ）A.67.5 B.135 C.112.5 D.1105.过O内一点的最长弦长为6cm,最短的弦长为4cm,则的长为

26、( ). A、B、C、D、6两个圆是同心圆，大、小圆的半径分别为9和 5，如果P及这两个圆都相切，则P 的半径为( ) A.2 B.7 C.2或7 D.2或4.57ABC的三边长分别为a、b、c，它的内切圆的半径为r，则ABC的面积为（ ）A.（abc）r B.2（abc） C.（abc）r D.（abc）r8已知半径分别为r和2 r的两圆相交，则这两圆的圆心距d的取值范围是（ ）A.0d 3r B.r d 3r C.r d 3r D.r d 3r9.将一块弧长为p 的半圆形铁皮围成一个圆锥（接头忽略不计），则围成的圆锥的高为（）CABDFOA B C D10.如图，圆 O中弦AB、CD相交于

27、点F，AB=10，AF=2，若CF:DF=1:4，则CF的长等于（ ）。A B2 C3 D2DABCABCC11.有一张矩形纸片ABCD，其中AD=4cm，上面有一个以AD为直径的 半圆，正好及对边BC相切，如图（甲），将它沿DE折叠，使A点落在BC上，如图（乙），这时，半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是（ ）A. BC D12.如图，两同心圆间的圆环（即图中阴影部分）的面积为 16，过小 圆上任一点作 大圆的弦，则的值是（ ） A B C D二、填空题13RtABC中，C90，AC=5,BC=12,则ABC的内切圆半径为 14.如图，圆O是的外接圆，则圆O的半径为 15.（1）已知圆的

28、面积为，其圆周上一段弧长为，那么这段弧所对圆心角的度数是 （2）如图13所示，AB、CD是O的直径，O的半径为R，ABCD，以B为圆心， 以BC为半径作弧CED，则弧CED及弧CAD围成的新月形ACED的面积为 .ACDOEB图13图14BOA（3）如图14,某学校建一个喷泉水池，设计的底面边长为4m的正六边形，池底是水磨石地面，现用的磨光机的磨头是半径为2dm的圆形砂轮，磨池底时磨头磨不到的部分的面积为 .16如图2，圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，那么这个圆锥的侧面积是 .cm2ABOC17.如图，有一个圆锥，它的底面半径是2cm母线长是8cm，在点A处有一只蚂蚁，它想吃到及A点相对且

29、离圆锥顶点cm的点B处的食物，蚂蚁爬行的最短路程是 .ACBDEO18、如图，A、B、C、D是O上的四个点，AB=AC，AD交BC于E，AE=2、ED=6，则AB= .ABCDQP19.已知矩形ABCD，AB=8，AD=9，工人师傅在铁皮上剪去一个和三边都相切的P后，在剩余部分废料上再剪去一个最大的Q，那么Q的直径是 .MAO1O2CNB20.如图所示，AB是的直径，是的直径，弦MNAB，且MN及相切于点C若的半径为2，则由、弧BN、NC、弧CO围成图形的面积等于 21.如图，已知半圆O的直径为AB，半径长为，点C在AB上，交半圆于D，那么及半圆相切，且及BC，CD相切的圆的半径长是 。三、综

30、合题22.以RtABC的直角边AC为直径作O，交斜边AB于点D，E为BC边的中点，连DE.请判断DE是否为O的切线，并证明你的结论.当AD：DB=9：16时，DE=8cm时，求O的半径R.23. 如图，已知是的直径，点在上，过点的直线及的延长线交于点，（1）求证：是的切线；（2）求证：；（3）点是弧AB的中点，交于点，若，求MN*MC的值24如图1，直线yx1及抛物线yx 2交于A，B两点（A在B的左侧），及y轴交于点C（1）求线段AB的长；（2）若以AB为直径的圆及直线xm有公共点，求m的取值范围；（3）如图2，把抛物线向右平移2个单位，再向上平移n个单位（n0），抛物线及x轴交于P，Q两点，过C，P，Q三点的圆的面积是否存在最小值的情况？若存在，请求出这个最小值和此时n的值，若不存在，请说明理由CPyOxQ图2ACyOxB图1