微分中值定理的研究和推广.docx

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1、 渤海大学 毕业论文（设计）题 目 微分中值定理的研究和推广 完成人姓名 张士龙 主 修 专 业 数学与应用数学 所 在 院 系 数学系 入 学 年 度 2002年9月 完 成 日 期 2006年5月25日 指 导 教 师 张玉斌 目 录引言1一、中值定理浅析11、中值定理中的12、中值定理中条件的分析2二、微分中值定理的推广41、微分中值定理在无限区间上的推广42、中值定理矢量形式的推广73、微分中值定理在n维欧式空间中的推广94、中值定理在n阶行列式形式的推广125、高阶微分中值定理15结束语19参考文献19微分中值定理的研究和推广张士龙（渤海大学数学系 锦州 121000 中国）摘要：微

2、分中值定理是高等数学中的一项重要内容，是解决微分问题的关键。本文对微分中值定理中的一些条件给予了相关说明。后又在此基础上，对微分中值定理进行了一系列的推广，先后在无限区间内，在定理的矢量形式，在多维欧氏空间中，在高阶行列式形式，以及在微分定理的高阶形式五个方面来研究，通过定理与实例的结合，来说明各个推广的过程。从而，使定理向着更加广阔的方面发展，有利于对定理的掌握和应用。关键词：微分中值定理，无限区间，矢量形式，行列式，高阶微分中值定理，欧式空间。The Research and Popularization of The Differential Mean Value TheoremShil

3、ong Zhang(Department of Mathematics Bohai University Jinzhou 121000 China)Abstract: The differential mean value theorem is an important element of higher mathematics. It is the key to solve the differential problems. This text gives detailed explanations to the conditions of the differential mean va

4、lue theorem. On this foundation, this text carries on series of promotional activities of the theorem, and makes research in the indefinite sector, the vector form of the theorem, the multi-dimensional Euclidean space, the high rank determinant and high rank of the differential theorem altogether fi

5、ve aspects. This text illustrates the promotional process through the integration of the theorem and its examples, so as to enable the theorem to develop towards broader aspects. It is advantageous to the mastery and application of the theorem. Key words: the differential mean value theorem, indefin

6、ite sector, the rector form, Euclidean space, determinant, defferential value theorm of higher order 引 言罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理统称为微分学的中值定理。中值定理既应用导数来研究函数的性质，是沟通函数及其导数之间的桥梁，是应用导数的局部性研究，函数在区间上的重要工具。在实践中，有着广泛的应用，因此，有必要将其进一步推广，使其达到一个比较完善的地步，对进一步的研究和创造有很大的帮助。一、中值定理浅析1、中值定理中的由中值定理可知，当满足条件时，在开区间内至少存在一点满足方程的结论，并没有

7、说有多少个这样的，也没有告诉它的确切位置，但这并不影响中值定理在数学中的应用，因为通常是在导数有界的条件下应用中值定理。2、中值定理中条件的分析 以罗尔定理为例，我们知道，罗尔定理的3个条件。1（1）在闭区间上连续。（2）在开区间内可导。（3）这三个条件必须同时成立，缺少其中之一便不成立。例如：函数在上连续（如图1） 在内不可导（如图2） （如图3）1Oy1x1O-11yxxy1O1图1 图2 图3从这三个函数图象可见，罗尔定理都不成立，尽管如此，也不能说这三个条件就是其成立的必要条件。例如：函数在闭区间上连续，在开区间内不可导，即罗尔定理的3个条件都不成立，但是在开区间内存在一点，满足，这说

8、明，罗尔定理的3个条件都是充分条件，同理，拉格朗日定理、柯西中值定理也同样类似。另外，中值定理中开区间可导，也不宜改为在可导，函数在闭区间上可导，这一条件不仅包含了“闭区间上连续，开区间可导”这两个条件，而且比这两个条件对函数的要求更加严格，即要求函数在点存在右导数，在点存在左导数，从而满足中值定理的条件的函数要比原来少。例：函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且，满足罗尔定理的条件，因此，在开区间内至少存在一点，使显然=0 但是，函数在闭区间上并不可导，因为导数分别在与的左右导数都不存在。由此可见，如果罗尔定理的条件换成函数在闭区间上可导，且，那么，对函数在闭区间上就不能用罗尔定理，这样就缩

9、小了定理的适用范围。因此，中值定理的条件不宜替换，即在闭区间连续，在可导，函数在开区间内可导，则函数在开区间内连续，它被包含在“函数在上连续”之中，为使这两个条件相互独立，可改为在开区间内可导，函数在点右连续，在点左连续，但行文繁，所以为了简便，将条件写为“在闭区间上连续，在开区间内可导”。二、微分中值定理的推广1、微分中值定理在无限区间上的推广2以前所学的微分中值定理都是界定在有界区间上的，为此，我们设想将有界空间推广到无限区间。例1 求证：如果函数满足（1）在区间上连续。（2）在区间上可导。（3）。那么在内至少存在一点使得证明：令，即当时，令 则所以在上连续，在内可导，且，由罗尔定理知：在

10、内至少有一点使得记，有，而，故在内，至少有一点，使得例2 证明：如果函数满足（1）在区间上连续。（2）在区间上可导。（3）。则在内至少存在一点，使得证明：令则，与成立令在上连续，在内可导，且，由罗尔定理知，在内至少存在一点使得，记，则有，从而有例3 已知函数满足如下条件（1）在区间上连续。（2）在区间上可导。（3）。求证：在内至少有一点，使得证明：令，即当时，令则在区间上连续，在内可导。由拉格朗日中值定理知，在内至少有一点 使得即记 有而故在内至少有一点，使得即例4 已知满足在区间连续，在区间可导，求证：在内至少有一点使得证明：令，即，与相对应令则在上连续，在内可导。由拉格朗日中值定理知，在内

11、至少存在一点使得即记使其中所以即2、中值定理矢量形式的推广微分中值定理可以叙述为3定理：设在上连续，在内可微，则存在，使得现作矢量函数，显然其在上连续，在内可微，且知，因定理1成立，易知矢量与矢量共线，另外，取非零常矢量则，从而例1 证明：二维欧氏空间中矢量函数在闭区间上连续，在内可微，且知存在某非零矢量，满足则存在，使得证明：因为而且由定理1知与共线所以存在某一常数，使得=又由已知所以即这里例2 设二维欧氏空间中矢量函数，在上连续，在内可导，如有某非零常矢量，满足，证明存在，使得证明：由例1知由有柯西中值定理成立。所以与共线。即=又所以=0其中=例3 设n维欧氏空间En中的矢量函数在上连续，

12、在内可微，且，如有某非零矢量=C1C2CnEn，满足，证明：存在，使得=0证明：令=由知令显然(t)在上连续，在内可导，又因，由罗尔定理知，存在使得()=0即=0例4 设在上连续，证明存在使得证明：令其满足例1条件，故由例1知，存在使即3、微分中值定理在n维欧式空间中的推广4首先，给出几个有关的记号设：，即记i()为集合的内部，即集合的内点的集合。定义1 设：，若对于任意的, , ，存在则称函数在点处可导并记：称为函数在点处的导算子。定理：设函数：，为中有界闭区域在上连续，在内可导，且/，则至少存在一点，使得证明：因为为有限维空间中的有界闭区域，故为中紧子集，又在上连续，所以在上有最大最小值，

13、由于/，则最值中至少有一个在内取得，设在处取得最小值，则对于任意的，从而证毕。根据此定理，我们来看下面几个例题。例1 设：，为中有界闭区域，在上连续过内可导，且存在一点，使得=，其中C为常数。证明：在内至少存在一点，使得=，（为n维列向量，为的转量，为与的乘积）证明：设，由已知满足定理的条件，从而对于来说，存在一点，使得而，即所以所以，在内至少存在一点，使得例2 设：，是中的有界闭区域，在上连续，在内可导，且存在列向量，使得/C证明：至少存在一点，使得=0证明：设=，则：，且满足定理的条件，故可知至少存在一点，使得，即=0例3 设函数 , 在闭区间上连续，在开区间内可导，, 在内不同时为零，证

14、明：在内至少存在一点，使得证明：设：则在上连续，在内可导，取则，所以在上满足定理3的条件，故至少存在一点，使得，即由于，所以又因为与在内不同时为零，故4、中值定理在n阶行列式形式的推广56在研究此推广之前先给出二个定理。定理1 设, 和在连续在内可导，则至少存在一点使得：由此定理我们可以看出，当，时，上述结果即为拉格朗日中值定理，当，则上述结果为柯西中值定理，因此，此定理可以看做是微分中值定理的一般形式。定理2：若在上连续，在内n-1阶可导， 且则至少存在一点，使得根据上述二定理，我们可以构造出某些特殊类型的问题。例1 设, 满足如下条件（1）, 在连续（2）, 在内二阶可导（3） 其中证明，

15、存在使得证明：设令则在上满足罗尔定理的条件，故存在 使得=0再令则在上满足罗尔定理的条件，故存在使得，最后以换3令则在上满足罗尔定理的条件，故存在使得即在上式中取则有所以我们将此例题进一步推广，得到一个更加完美的结论。例2 若设, 满足下列条件（1）, 在上连续（2）, 在内n-1阶可导（3） 其中证明，存在, ，使得证明：仿照例1的证法逐步进行展开，分别应用罗尔定理次后，即可得出结论。5、高阶微分中值定理7以前所研究的中值定理都是低阶的，下面我们将其进一步扩充到高阶。引理：设函数在上连续，在内有n-1阶导数，并且对任意互异的，有，则存在使得 证：设在上应用罗尔定理，存在使得 然后再在1, 2

16、,2,3n-2,n-1上应用罗尔定理，如此推下去，最终可得，使得 定理1 设在上连续，在内有n-1阶导数，那么对任意互不相同的，存在使其中证明：作辅助行列式则在上连续。在内有n-1阶导数，并由引理知道，存在，使得 ，对求n-1阶导数，由拉格朗日定理及行列式的性质可得从而存在，使得定理2 设, 在上连续，在内有n-1阶导数，且，那么对任意互不相同的存在使其中证：因为在内，则由定理1得作辅助行列式。则在上连续，在内有n-1阶导数，且，由引理知存在，使，对求n-1阶导数，并知, 为常数，有其中与定理1中的相同，因此得到下面我们来看几个例子例1 设在上二次连续可微，且求证：证：设在上不恒为0，由在上连

17、续，推知|连续，故存在，使得令定理1中 则定理1变形为 （1）于是，可知存在一点使得因此得例2 设，在内存在，连结点A与B的直线与曲线y=交于C(求证：存在，使得证：由已知A、B、C三点在同一直线上，故可知定理1中的行列式，从而存在，使得例3 设在上存在二阶导数，且，则存在，使得证：因为，由例1的（1）式可知，存在使得=又因为，而在上连续，故存在使，利用均值不等式，得例4 设, 在上连续。在内存在二阶导数，且对，有，证明：存在使证：由于, 满足定理2的条件所以令, , 其中, 则由定理2即可证得结束语微分中值定理这一结论，在数学的学习中，只有将其不断的拓展和推广，从而得出一些更一般，更有特点的

18、形式，对解决数学中的问题是有很大益处的。本文只介绍了几种不同的推广方向，但对微分中值定理的研究并不仅限于此，随着数学的不断发展，对这一理论的研究仍是永无止境的。参考文献：1 华东师范大学数学系：数学分析，北京，高等教育出版社，1991年3月第二版.2 杨万必，龙鸣：微分中值定理的推广，湖北民族学院学报.3 同济大学数学教研室：高等数学，北京，高等教育出版社（1984）.4 熊金城：点集拓扑讲义，北京，高等教育出版社（1981）.5 刘玉琏，傅沛仁：数学分析讲义，北京，人民教育出版社.6 焦曙光：点到直线的距离，高等数学研究，2003.7 胡何高：微分中值定理的推广及应用，湖北，孝感学院学报（2000）.