微分中值定理及其应用大学毕业论文.docx

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1、毕业论文(设计)题目名称： 微分中值定理的推广及应用 题目类型： 理论研究型 学生姓名： 邓奇峰 院 (系)： 信息与数学学院 专业班级： 数学10903班 指导教师： 熊骏 辅导教师： 熊骏 时 间： 2012年12月 至 2013年6月 目 录毕业设计任务书I开题报告II指导老师审查意见III评阅老师评语IV答辩会议记录V中文摘要VI外文摘要VII1 引言12 题目来源13 研究目的和意义14 国内外现状和发展趋势与研究的主攻方向15 微分中值定理的发展过程26 微分中值定理的基本内容36.1 罗尔(Rolle)中值定理36.2 拉格朗日(Lagrange)中值定理46.3 柯西（Cauc

2、hy）中值定理46.4 泰勒（Taylor）定理47 微分中值定理之间的联系58 微分中值定理的应用58.1 根的存在性证明68.2 利用微分中值定理求极限88.3 利用微分中值定理证明函数的连续性98.4 利用微分中值定理解决含高阶导数的中值问题108.5 利用微分中值定理求近似值108.6 利用微分中值定理解决导数估值问题108.7 利用微分中值定理证明不等式119 微分中值定理的推广149.1 微分中值定理的推广定理149.2 微分中值定理的推广定理的应用16参考文献18致 谢19微分中值定理的推广及应用 学 生：邓奇峰，信息与数学学院 指导老师：熊骏，信息与数学学院【摘要】 微分中值定

3、理，是微积分的基本定理，是沟通函数与其导数之间的桥梁，是应用导数的局部性研究函数整体性的重要数学工具，在微积分中起着极其重要的作用。本文首先介绍了微分中值定理的发展过程、微分中值定理的内容和微分中值定理之间的内在联系，接着再看微分中值定理在解题中的应用,如:“讨论方程根（零点）的存在性” ,“ 求极限”和“证明不等式”等方面的应用。由于微分中值定理及有关命题的证明方法中往往出现的形式并非这三个定理中的某个直接结论，这就需要借助于一个适当的辅助函数，来实现数学问题的等价转换，但是，怎样构造适当的辅助函数往往是比较困难的。在此重点给出如何通过构造辅助函数来解决中值定理问题，从理论和实际的结合上阐明

4、微分中值定理的重要性。拉格朗日中值定理及柯西中值定理都是罗尔中值定理的推广。本文从其它角度归纳、推导了几个新的形式，拓宽了罗尔中值定理的使用范围。同时，用若干实例说明了微分中值定理在导数极限、导数估值、方程根的存在性、不等式的证明、以及计算函数极限等方面的一些应用。【关键词】 微分中值定理 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 联系 推广 应用The Extension and Application of the Differential Mean Value TheoremStudent: Deng Qifeng, School of Information and Mathema

5、ticsTutor: Xiong Jun, School of Information and Mathematics【Abstract】 The differential mean value theorem, is the fundamental theorem of calculus, is the communication bridge between function and its derivative, is an important mathematical tool integrated local research application function derivat

6、ive, plays a very important role in Calculus. This paper describes the develop progress，the contents and the intrinsic link between the differential mean value theorem; Then look at the differential mean value theorem in solving problems, such as: the discussion of the roots (zero) in existence, lim

7、it and proof of in equality.Because often proof of differential mean value theorem and related propositions in the form is not the three theorems of a direct conclusion, this requires the help of a suitable auxiliary function, equivalent to mathematical problems, but, how to construct the auxiliary

8、function appropriate is often more difficult. The key is how to solve the problem of mean value theorem by constructing an auxiliary function, expounds the importance of the differential mean value theorem from the combination of theory and practice.The Lagrange mean value theorem and the Cauchy mea

9、n value theorem are extensions of the Rolle mean value theorem. In this article, the Rolle mean value theorem has been concluded and deduced in few more forms that helped to expand the use of the Rolle mean value theorem. Also, the article has demonstrated of the application of differential meanvalu

10、e theorem in derivative limit, derivative estimate value, existence of root of an equation, proof of inequality and calculation of functional limit upon many examples. 【Key words】 Differential mean value theorem; Rolle mean value theorem; The Lagrange mean value theorem; the Cauchy mean value theore

11、m; Contact; Promotion; Application微分中值定理的推广及应用1 引言通过对数学分析的学习我们知道，微分学在数学分析中具有举足轻重的地位，它是组成数学分析的不可缺失的部分。对于整块微分学的学习，我们可以知道中值定理在它的所有定理里面是最基本的定理，也是构成它理论基础知识的一块非常重要的内容。由此可知，对于深入的了解微分中值定理，可以让我们更好的学好数学分析。通过对微分中值定理的研究，我们可以得到它不仅揭示了函数整体与局部的关系，而且也是微分学理论应用的基础。微分中值定理是一系列中值定理总称，但本文主要是以拉格朗日定理、罗尔定理和柯西定理三个定理之间的关系1-3以及

12、它们的推广为研究对象，利用它们来讨论一些方程根（零点）的存在性, 和对极限的求解问题，以及一些不等式的证明。2 题目来源 源于对微分中指定理的学习与兴趣，以及其在生活中各领域的重要应用。3 研究目的和意义 目的：本课题的主要目的是帮助学生多角度地了解微分中值定理的证明及其相关应用。 意义：微分中值定理是微分学理论的重要组成部分，在导数应用中起着桥梁作用，也是研究函数变化形态的纽带，因而在微分学中占有很重要的地位。通过微分学基本定理的介绍，揭示函数与其导数之间的关系，在知识结构和思想体系中，建立起应用导数进一步研究函数性质的桥梁。在各类大型考试中，微分中值定理占有很重要的位置，是重要的考点，常以

13、该定理的证明及应用出现，涉及一些理论分析和证明，还有在极值问题中的实际应用，因而对其进行较深层次的挖掘与探讨就显得很有必要。4 国内外现状和发展趋势与研究的主攻方向人们对微分中值定理的研究，从微积分建立之后就开始了。1637年，著名法国数学家费马在求最大值和最小值的方法中给出费马定理。教科书中通常将它称为费马定理。1691年，法国数学家罗尔在方程的解法一文中给出多项式形式的罗尔定理，1797年，法国数学家拉格朗日在解析函数论一书中给出拉格朗日定理，并给出最初的证明。以罗尔定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，它们建立了函数值与导数值之间的定量联系，中值定

14、理的主要作用在于理论分析和证明；应用导数判断函数上升、下降、取极值、凹形、凸形和拐点等项的重要性态。此外，在极值问题中有重要的实际应用。微分中值定理是数学分析乃至整个高等数学的重要理论，它架起了利用微分研究函数的桥梁。微分中值定理从诞生到现在的近300年间，对它的研究时有出现。特别是近十年来，我国对中值定理的新证明进行了研究，仅在国内发表的文章就近60篇。5 微分中值定理的发展过程微分中值定理是微分学的核心定理之一1。微分中值定理是研究函数性态和函数性质的重要工具，它有着明显的物理意义和几何意义。以拉格朗日中值定理为例，它表明“一个表示事物运动函数的曲线段，必定有一点的切线要平行于曲线段两个端

15、点连接的弦”。2所以人们十分重视微分中值定理及其应用的研究。古希腊时代，人们就对微分中值定理的相关内容有了朦胧的认识。公元前古希腊人就知道如下结论：对于抛物线形成的弓形，过弓形顶点的切线一定平行于抛物线形成的弓形的底。古希腊的著名数学家阿基米德(Archimedes，公元前287前221)也据此研究出：对于任意抛物线形成的弓形的面积都可以求出来。意大利著名数学家卡瓦列里(Cavalieri，公元1598公元1674，)在不可分量几何学(1635年出版)中给出的引理3有如下几何观点：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦3。1637年，法国大数学家费马(Fermat，公元1601一公元1665)在

16、求最大值和最小值的方法中推导出一个定理，在大多数高等数学教材中，人们通常将它作为微分中值定理的第一个定理费马定理，常被用来证明罗尔定理，也被用来作为判断极值存在的必要条件。作为微积分创立者之一的数学家费马在研究极小问题和极大问题的解法时，研究出“虚拟等式法”4费马定理原形。虚拟等式法的含义可以用以下例子来加以说明：有一个线段，设其长度，问如何把这样一个线段截成两个线段，使这两个线段长度乘积最大。1691年，法国数学家罗尔(公元1652公元1719)在其发表的方程的解法一文中给出多项式形式的费马定理的推广5引申式罗尔定理：“设为多项式，在多项式2的两个相邻根中，方程至少有一个实根。”这被称为原始

17、的罗尔定理。当然也是现代罗尔定理“若函数，在上连续，在内可导，且则在内至少存在一点，使得”在多项式中的具体应用。从罗尔定理推导过程和具体内容来看，它和现在高等数学教材中的罗尔定理是有所不同的，用纯代数方法证明的罗尔定理和微积分概念几乎没有什么联系。我们现在看到的对一般函数的罗尔定理，是后人根据微积分理论重新表述和证明的。1834年，德国数学家德罗比什首先提出“罗尔定理(Rolle定理)”这一名称，并于1846年，由意大利数学家贝拉维蒂斯(Bellavifis)在发表的论文中正式使用。由上可知，人们对微分中值定理的研究6大约经历了将近三百年时间， 从一开始的直观到现在的抽象表达，从一开始的特殊形

18、式到现在的一般形式，从一开始，要求的强条件到现在的弱条件，人们逐渐认识到微中值定理的重要性。循序渐进是人们认识探索事物规律的一般过程，微分中值定理的发展形成也不例外，晦涩难懂的证明推理被一些新的更简单的方法所替代，应用范围逐步扩大，这是数学发展的必由之路。6 微分中值定理的基本内容中值定理揭示了函数在某区间的整体性质和区间内某一点导数之间的关系，是联系局部和整体的纽带，是微分学应用以及自身发展的理论基础，因此说中值定理是微分学的基本定理7。它在数学中占了很重要的位置，本文主要介绍它在解题中的一些应用。中值定理有四个：罗尔(Rolle)中值定理，拉格朗日(Lagrange)中值定理，柯西（Cau

19、chy）中值定理，泰勒（Taylor）定理。6.1 罗尔(Rolle)中值定理若函数，在上连续，在内可导，且,则在内至少存在一点，使得罗尔定理的几何意义是说：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线。注：定理中三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立。6.2 拉格朗日(Lagrange)中值定理若函数，在上连续，在内可导，则在内至少存在一点，使得拉格朗日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线上至少存在一点，该曲线在该点处的切线平行于曲线两点的连线。拉格朗日公式有下面几种等价表示形式8：值得注意的是，拉格朗日公式无论对于，还是都成立，而则是介于与之间的某

20、一定数。另外，若取，则拉格朗日公式可变成最后要注意的是，拉格朗日定理和柯西定理中的条件只是充分条件，而不是必要条件9。6.3 柯西（Cauchy）中值定理假设函数和在上连续，在内可导，且，则至少存在一点，使柯西中值定理的几何意义是：满足定理条件的由所确定的曲线上至少有一点，曲线的切线平行两端点连线。6.4 泰勒（Taylor）定理若在包含的某开区间内具有直到阶的导数，则当时，有其中是n阶泰勒公式的拉格朗日余项：7 微分中值定理之间的联系罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，拉格朗日中值定理又是柯西中值定理的特例。因为，在柯西中值定理中令，得到拉格朗日中值定理；在拉格朗日中值定理中增加条件，即得到罗

21、尔定理。罗尔(Rolle)中值定理，拉格朗日(Lagrange)中值定理，柯西中值定理，三个中值定理的几何意义有一个共同点：定理条件的函数曲线上至少有一点的切线平行曲线在区间上两端点的连线。总的来说，这三个定理既单独存在，相互之间又存在着联系。我们从上面的讨论中可以总结得到，罗尔定理是这一块内容的基石，而拉格朗日定理则是这一块内容的核心，那么柯西定理是这一块内容的推广应用。8 微分中值定理的应用微分中值定理是微分学的理论基础，微分学的很多重要应用都建立在这个基础上。微分中值定理常用来解决下列问题：判断可导函数在给定区间内根的存在以及根的个数，求出与给定函数相应的中值公式，并证明可导函数的某些等

22、式与不等式，证明可导函在区间上（内）的某些整体性质，如单调性、有界性、一致连续性、零点以及其他一些性质。对于这些证明题，除了运用微分中值定理这些方法外，还有三种证明技巧：一是直接证明，这种情况不多见，一般在验证符合某定理条件后，即可定理得出结论；二是引入辅助函数，这种情况比较常见，一个般是将待为形（如拼凑重组、移项等），构成一个或两个新的辅助函数，验证它们符合某个中值定理，然后利用定理导出待证结论，这种方法需要一定的技巧，而技巧往往又要根据具体问题确定； 三是反证法，假设待证命题的逆例题成立，然后从推导过程中找出与已知结论（包括极限、连续、可微等级概念与法则、性质）的矛盾，从而证明原命题成立1

23、0。8.1 根的存在性证明【例1】 证明方程在内至少有一个实根，其中均为常数。证 设，上面的问题等价于的导数在内至少有一个零点。因为在上连续，在内可导，且。于是由罗尔定理知，至少存在一点，使即是方程的根。【例2】 函数称为次勒让德多项式，证明：在内恰有个不同的实根11。证 由高阶导数的莱布尼茨公式知，函数中都含有因式，故当时，都有实根-1和1。考虑，它仅有相异的两个实根-1和1，由罗尔定理知，在内至少有一个根。所以，在上有三个相异的根-1，1，再由罗尔定理知，在和内至少各有一个根，所以，在上有四个相异的根-1，1反复应用罗尔定理，由数学归纳法可证：在上至少有个相异的根和1（）令，则知在上至少有

24、个相异的根，再应用一次罗尔定理，知在内至少有个根（不含1，-1）由于是次多项式，至多有个根，所以在内恰有个相异的根。因为与只相差一个系数，所以可以得出：在内恰有个不同的实根。【例3】 在可导，且对于任何，都有，又，试证在内，方程有唯一实根。证 (存在性)令，在上利用零点定理易证。(唯一性)反证法，假设有两个实根，使得，不妨设，在上对利用拉格朗日中值定理，有这与矛盾。故结论得证。【例4】 若在上连续，在内可导，证明在内方程。分析：由于题目是要求方程是否有根存在，所以可以先对方程进行变形，把方程变为。那么方程有根的话，则原方程也有根。变形之后的方程有存在，所以可以利用不定分把方程转变为现在我们返回

25、来看题目，由题目中我们可以知道在区间上连续，在区间内可导，由函数的连续性和求导的概念，可以得到函数在上连续,在内可导，那么我们不难想到利用罗尔中值定理就可以证明该题了。证 令 显然，在上连续,在内可导，而 根据Rolle定理, 至少存在一点，使【例5】 设在，在，证明：在内存在一点，使成立。分析：对于等式则可以两边同除以，即等式左端为，这个商式可看为函数在上的改变量与自变量的改变量之商，则会考虑利用Lagrange定理，那么可构造辅助函数。证 设，则在，在，由Lagrange定理，存在一点，使即 ，即 8.2 利用微分中值定理求极限在求极限的题目里，有些题目如果运用通常的一些方法来求解的话，则

26、会使我们在解题过程中出现很大的计算量，或者比较繁琐的解题过程12。但是应用中值定理的话，会为这一类题目提供一种简单有效的方法。而用中值定理来解题，最关键在于辅助函数的构造，然后在运用中值定理解题，即可求出极限。【例1】 求，其中。分析：由于题目中有和，则可以试着构造辅助函数，那么就可以得到在连续，在可导，即可以利用Lagrange定理解题了。解 根据题意，由Lagrange定理，有其中，【例2】 已知，试求。解 令则对于函数在上满足Lagrange定理可得： 当时，把得到的上述个不等式相加得：即 故 所以 8.3 利用微分中值定理证明函数的连续性【例1】 若函数在区间上可导，且有界，则在上一致

27、连续。证明 对任意，则由拉格朗日中值定理可知：又在上有界，所以存在，对任意，有。由此可得因此，对任意，取，对任意，且，都有这就证明了在上一致连续的。8.4 利用微分中值定理解决含高阶导数的中值问题一般原理是：若有，使得，则相继n次用罗尔中值定理得出 ，使得13。【例4】 设，则存在，使得证 首先变换待证中值公式为 0其中故用两次罗尔中值定理得所要证。8.5 利用微分中值定理求近似值【例1】求的近似值解是在处的值,令 则,由拉格朗日中值定理中值定理,存在一点，使得可取近似计算,得8.6 利用微分中值定理解决导数估值问题【例1】 设在上具有二阶连续的导数，且满足条件其中都是非负常数，是内任意一点，

28、证明：证：将在处展为一阶泰勒公式 (1)在(1)式中令，则有在(1)式中令，则有上述两式相减，就有于是又因为，故8.7 利用微分中值定理证明不等式对于数学体系来说不等式是一块很重要的内容。故不等式的证明对数学是很重要的。当我们学习了中值定理，知道了它在不等式的证明中起着巨大的作用。“我们可以根据不等式两边的代数式选取一个来构造辅助函数，再应用中值定理得出一个等式后，对这个等式根据自变量的取值范围的不同进行讨论，得到不等式”。下面我们来通过例子来说明定理在证明中的运用14。【例1】 证明：证 设显然函数在上连续，在内可导，满足拉格朗日中值定理，即存在一点，使得即因为，所以。从而有【例2】 设，对

29、的情况，求证。分析：证明不等式最常用的方法有做差，做商，对于该题目如果直接应用做差或者做商的话显然是不行的。那我们是否能通过变形是，他们可以应用做差或是做商呢？我们来看下不等式，不难发现当时，等式两边就相等了，所以接下来排除，分两步讨论。在观察不等式两边的代数式，不难看出左边的代数式比较复杂，则是否可以把左边的代数式构造辅助函数，是题目可以运用中值定理解题呢15？不妨设，。利用Cauchy定理即可证明。证 当时结论显然成立，当时，取或，在该区间设 ，由Cauchy定理得： 或即 当时，即 又 故 ，即 当时，则 故，即 由此，不等式得证【例3】 已知在满足，且在内取最大值，试证：。 分析：若能

30、找到点，使，则要证的结论便转化为变量的形式：则根据 Lagrange 定理证之即可。然而对于的寻找，应该从题目中条件的在开区间内取到最大值入手。【例4】 证明当时，成立不等式分析：一般步骤是：规范不等式，构造建立辅助函数及定义的区间验证在上满足拉格朗日中值定理中值等式（不等式）证 , （）因为f(x)在上可导，则由拉格朗日中值定理有由于，且,所以从而 【例5】 设函数在上连续，在内二阶可导，且 (为常数)，存在，使得。证明：证 因为，所以至少存在一点，使得；至少存在一点，使得。从而对分别在和使用拉格朗日中值定理得：其中，所以即9 微分中值定理的推广罗尔(Rolle)中值定理，拉格朗日(Lagr

31、ange)中值定理，柯西（Cauchy）中值定理，这三个定理都要求函数在上是连续，在内是可导。那么我们如果把定理中的闭区间，把它推广到无限区间或，再把开区间推广到无限区间或的话，则这些定理是否还能满足条件，或者我们能得出哪些相应的定理呢？通过讨论研究我们知道，按照以上的想法把中值定理的区间，推广到无限区间上可以得到几个相应的定理，本文在此只提到其中的三个，下面给出定理以及证明16。9.1 微分中值定理的推广定理定理1 若在上连续，在内可导，且，则至少存在一点，使成立。证 令，则，即可得到关于参数函数当时，则即，再令所以因为所以所以在上连续，在内可导，且，由Rolle定理可得到至少存在一点，使成

32、立令，有，而所以，至少存在一点，使成立。定理2 若在上连续，在内可导，并且至少存在一点，使成立。定理2的证明可以参照定理1。定理3 若在上连续，在内可导，并且，则至少存在一点，使成立。证 设，则，即可得到关于参数函数当时，则即，再令所以因为所以在上连续，在内可导，由Lagrange定理得至少存在一点，使成立即令，有，而，至少存在一点，使 成立.定理4 设、在上连续，在内可导，则至少存在一点，使证：设由行列式性质知,利用罗尔定理可得证。注：(1)若令并代入上式即得拉格朗日中值定理(2)若令而，展开即得柯西中值定理9.2 微分中值定理的推广定理的应用对于中值定理推广到无限区间上，在于求解一些题目，

33、如果应用了中值定理推广会比较方便的得到解题，下面我们来看一个例子：【例1】 如果函数，求证：，使得。分析：对于该题目我们通常会采用这样一种证法，令，有，即可得证。这种证明的方法，可以说是利用极限方法来证明的，我们现在考虑是否还可以运用其它的方法来证明。若要运用中值定理来证明是否可以呢？下面给出该方法。证 由题得在连续，在可导，且可得那么，由推广定理的定理1，得到：，使得例 2 设在上可得，且，证明：，使得证 问题相当于要找，使因函数在内可导，故即又因为即 所以由定理2知，使得，即题目得证。结束语由上所述,我们发现微分中值定理的证明除了构造辅助函数,还可以利用其他的证明方法加以证明,同时从罗尔定

34、理到柯西中值定理的层次之间还存在着递进关系.除了本文介绍的几个方面,利用微分中值定理还可以导出洛必达法则,泰勒公式等.由导数研究函数的性态(极值、最值、凹凸性)也要用到微分中值定理的结论. 深入研究微分中值定理,有助于加深对这些定理的理解;清楚这些定理的证明,能促使我们掌握微分中值定理的具体应用.参考文献1陈纪修等.数学分析(上、下册)M.高等教育出版社，2000。2小堀宪.数学史M.东京：朝仓书店，1956。3卡瓦列里.不可分量几何学M.卡伐列利出版社，1635。4费马.求最大值和最小值的方法M.图鲁斯出版社，1637。5高波.微分中值定理的推广J.常州工学院学报. 2007,20(6):5

35、8-62. 6张珍珍，吴筠.中值定理数学探讨J.九江学院学报. 2007，(3)：109-110.7齐春玲，李晓培.关于罗尔中值定理条件的研究J.河南科技大学学报：自然科学版. 2007，28（5）：96-97.8辛健.拉格朗日中值定理在证明中的应用N.大众科技. 2007，(97)：181-183.9宋秀英.关于微分中值定理的一点注记J.宜春学院学报(自然性科学). 2007，29(6):46-47.10赵文祥.微分中值定理与不等式的证明J.天津电大学报. 2007：25-27.11张太忠，黄星，朱建国.微分中值定理应用的新研究J.南京工业职业技术学院学报. 2007，7(4)：23-26.

36、12李经文，漫话微积分史J，邵阳师范高等专科学校学报，2000，6：90-91。13祁卫红，罗彩玲，微积分学的产生和发展J，山西广播电视大学学报，2003，14晏能中，微积分一数学发展的里程碑J，达县师范高等专科学校学报，15刘旭浩，微积分发展简史J，衡水学院学报，2005，1：19-20。16李涛，漫谈微积分的产生与发展J，湖南教育(教育综合)，2006，6：67-68。致 谢时光荏苒，在大学的学习生活也即将结束，感慨万千，可更多的就是感动。首先，对于我的导师熊骏教授，在这里我要发自肺腑地说一声“谢谢!”。在这几个月来，熊老师对于我的毕业论文花了很多时间进行耐心地指导，从论文题目选定，论文设计和修改，直到最后论文的定稿，都倾注了很多心血。更重要的是熊老师在心理上和生活上对我的关怀照顾，我将铭刻于心，使我有了积极奋进的信心。其次，我要感谢信息与数学学院的各位领导，老师，感谢他们对我学习的关心和帮助。最后，感谢我的家人，是他们给了我很大支持，使我能全身心的投入到学习中去，并最终能顺利地完成学业。