高一年级数学暑假自主研修校本教材.doc

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1、高一年级数学暑假自主研修校本教材 一、数与式运算 一、必会乘法公式 【公式1】 证明： 等式成立【例1】计算：解：原式= 说明：多项式乘法结果一般是按某个字母降幂或升幂排列【公式2】(立方和公式)证明: 说明:请同学用文字语言表述公式2.【例2】计算： 2a+b4a2-2ab+b2=8 a3+b3【公式3】(立方差公式)1计算13x+2y9x2-6xy+4y2=22x-34x2+6xy+9=3=4a+ba2-ab+b2a-ba2+ab+b2=2利用立方和、立方差公式进展因式分解 127m3-n3=227m3-n3=3x3-125=4 m6-n6=【公式4】【公式5】【例3】计算：1234解：1

2、原式=2原式=3原式=4原式=说明：1在进展代数式乘法、除法运算时，要观察代数式构造是否满足乘法公式构造 2为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、20平方数和1、2、3、4、10立方数，是非常有好处【例4】，求值解： 原式=说明：此题假设先从方程中解出值后，再代入代数式求值，那么计算较烦琐此题是根据条件式与求值式联系，用整体代换方法计算，简化了计算请注意整体代换法此题解法，表达了“正难那么反解题策略，根据题求利用题知，是明智之举【例5】，求值解：原式= ，把代入得原式=说明：注意字母整体代换技巧应用二、根式式子叫做二次根式，其性质如下：(1) (2) (3) (4) 【例6】化简以下各式

3、：(1) (2) 解：(1) 原式=(2) 原式=说明：请注意性质使用：当化去绝对值符号但字母范围未知时，要对字母取值分类讨论【例7】计算(没有特殊说明，本节中出现字母均为正数)：(1) (2) (3) (4) 解：(1) = (2) 原式=(3) 原式=(4) 原式=说明：(1)二次根式化简结果应满足：被开方数因数是整数，因式是整式；被开方数不含能开得尽方因数或因式(2)二次根式化简常见类型有以下两种：被开方数是整数或整式化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方因数或因式开出来；分母中有根式(如)或被开方数有分母(如)这时可将其化为形式(如可化为) ，转化为 “分母中有根式情况化简时，要

4、把分母中根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进展化简(如化为，其中与叫做互为有理化因式)有理化因式和分母有理化 有理化因式：两个含有二次根式代数式相乘，如果它们积不含有二次根式，那么这两个代数式叫做有理化因式。如与；与互为有理化因式。分母有理化：在分母含有根式式子里，把分母中根式化去，叫做分母有理化。【例8】计算：(1) (2) 解：(1) 原式=(2) 原式= 说明：有理数运算法那么都适用于加法、乘法运算律以及多项式乘法公式、分式二次根式运算【例9】设，求值解：原式=说明：有关代数式求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论构造特点，倒推几步，再代入条件，

5、有时整体代入可简化计算量练 习1二次根式成立条件是()ABCD是任意实数2假设，那么值是()ABCD3计算：(1) (2) (3)(4) 4化简(以下取值范围均使根式有意义)：(1) (2) (3) (4) 5化简：(1) (2) 6假设，那么值为()：ABCD7设，求代数式值8，求代数式值9设，求值10化简或计算：(1) (2) (3) 答案：1 C 2 A3 (1) (2) (3) (4) 45 6 D 7 8 3 9 10三、分式当分式分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，繁分式化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法那么；(2) 利用分式根本性质【例10】化简解法一：原式=解法

6、一：原式=说明：解法一运算方法是从最内局部式入手，采取通分方式逐步脱掉繁分式，解法二那么是利用分式根本性质进展化简一般根据题目特点综合使用两种方法【例11】化简解：原式=说明：(1) 分式乘除运算一般化为乘法进展，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进展约分化简；(2) 分式计算结果应是最简分式或整式四、多项式除以多项式做竖式除法时，被除式、除式都要按同一字母降幂排列，缺项补零除式缺项也可以不补零，但做其中减法时，要同类项对齐，要特别注意，得到每个余式运算都是减法。结果表示为：被除式=除式商式+余式【例1】 计算解：练 习计算123求：答案：123二、因式分解因式分解是代数式一种重要恒等变形

7、，它与整式乘法是相反方向变形在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要作用是一种重要根本技能因式分解方法较多，除了初中课本涉及到提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等一、公式法【例1】用立方和或立方差公式分解以下各多项式：(1) (2) 分析： (1)中，(2)中解：(1) (2) 说明：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂运算法那么，如，这里逆用了法那么；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项符号【例2】分解因式：(1) (2) 分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2

8、) 中提取公因式后，括号内出现，可看着是或解：(1) (2) 二)、分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解多项式，主要是二项式和三项式而对于四项以上多项式，如既没有公式可用，也没有公因式可以提取因此，可以先将多项式分组处理这种利用分组来因式分解方法叫做分组分解法分组分解法关键在于如何分组1分组后能提取公因式【例3】把分解因式分析：把多项式四项按前两项与后两项分成两组，并使两组项按降幂排列，然后从两组分别提出公因式与，这时另一个因式正好都是，这样可以继续提取公因式解：说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组方法此题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组

9、，同学不妨一试【例4】把分解因式分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号翻开后重新分组，然后再分解因式解：说明：由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律由此可以看出运算律在因式分解中所起作用2分组后能直接运用公式【例5】把分解因式分析：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是；把第三、四项作为另一组，在提出公因式后，另一个因式也是.解：【例6】把分解因式分析：先将系数2提出后，得到，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式解

10、：说明：从例5、例6可以看出：如果一个多项式项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进展分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式三)、十字相乘法1型因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项两个因数之和因此，运用这个公式，可以把某些二次项系数为1二次三项式分解因式【例7】把以下各式因式分解：(1) (2) 解：(1) (2) 说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们符号与一次项系数符号一样【例8】把以下各式因式分解：(1) (2)

11、解：(1) (2) 说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号因数，其中绝对值较大因数与一次项系数符号一样【例9】把以下各式因式分解：(1) (2) 分析：(1) 把看成二次三项式，这时常数项是，一次项系数是，把分解成与积，而，正好是一次项系数 (2) 由换元思想，只要把整体看作一个字母，可不必写出，只当作分解二次三项式解：(1) (2) 2一般二次三项式型因式分解大家知道，反过来，就得到：我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线穿插相乘，再相加，就得到，如果它正好等于一次项系数，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行这种借助画十字穿插线分解系数，从而将二次

12、三项式分解因式方法，叫做十字相乘法必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过屡次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解【例10】把以下各式因式分解：(1) (2) 解：(1) (2) 说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，穿插相乘后，假设原常数为负数，用减法凑，看是否符合一次项系数，否那么用加法凑，先凑绝对值，然后调整，添加正、负号四)、其它因式分解方法1配方法【例11】分解因式解：说明：这种设法配成有完全平方式方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解当然，此题还有

13、其它方法，请大家试验2拆、添项法【例12】分解因式分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进展细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式积，那么进展乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决解： 说明：本解法把原常数4拆成1与3和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公式法及提取公因式条件此题还可以将拆成，将多项式分成两组和一般地，把一个多项式因式分解，可以按照以下步骤进展：(1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；(2) 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；(3) 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如十

14、字相乘法)来分解；(4) 分解因式，必须进展到每一个多项式因式都不能再分解为止练 习1把以下各式分解因式：(1) (2) (3) 2把以下各式分解因式：(1) (2) (3) 3把以下各式分解因式：(1) (2) (3) 4把以下各式分解因式：(1) (2) (3) (4) (5) 5把以下各式分解因式：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 6，求代数式值7证明：当为大于2整数时，能被120整除8，求证：答案：123，4 ； ；5；678三、一元二次方程根与系数关系现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程概念、解法及应用，而一元二次方程根判断式及根与系数关系，在高中教材中

15、二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用本节将对一元二次方程根判别式、根与系数关系进展阐述一、一元二次方程根判别式一元二次方程，用配方法将其变形为：(1) 当时，右端是正数因此，方程有两个不相等实数根：(2) 当时，右端是零因此，方程有两个相等实数根：(3) 当时，右端是负数因此，方程没有实数根由于可以用取值情况来判定一元二次方程根情况因此，把叫做一元二次方程根判别式，表示为：【例1】不解方程，判断以下方程实数根个数：(1) (2) (3) 解：(1) ， 原方程有两个不相等实数根(2) 原方程可化为： ， 原方程有两个相等实数根(3) 原方程可化为： ， 原方程没有实数根说明：在求判断式

16、时，务必先把方程变形为一元二次方程一般形式【例2】关于一元二次方程，根据以下条件，分别求出范围：(1) 方程有两个不相等实数根；(2) 方程有两个相等实数根(3)方程有实数根；(4) 方程无实数根解：(1) ；(2) ；(3)； (4) 【例3】实数、满足，试求、值解：可以把所给方程看作为关于方程，整理得：由于是实数，所以上述方程有实数根，因此：，代入原方程得：综上知：二、一元二次方程根与系数关系一元二次方程两个根为：所以：，定理：如果一元二次方程两个根为，那么：说明：一元二次方程根与系数关系由十六世纪法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为韦达定理上述定理成立前提是【例4】假设是方程两个根，

17、试求以下各式值：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 分析：此题假设直接用求根公式求出方程两根，再代入求值，将会出现复杂计算这里，可以利用韦达定理来解答解：由题意，根据根与系数关系得：(1) (2) (3) (4) 说明：利用根与系数关系求值，要熟练掌握以下等式变形：，等等韦达定理表达了整体思想【例5】一元二次方程有两个实根，一个比3大，一个比3小，求取值范围。解一：由 解得：解二：设，那么如下图，只须，解得【例6】 一元二次方程一个根小于0，另一根大于2，求取值范围。解：如图，设那么只须，解之得 【例7】关于方程，根据以下条件，分别求出值(1) 方程两实根积为5；(2) 方程两实根满足分析：

18、(1) 由韦达定理即可求之；(2) 有两种可能，一是，二是，所以要分类讨论解：(1) 方程两实根积为5 所以，当时，方程两实根积为5(2) 由得知：当时，所以方程有两相等实数根，故；当时，由于 ，故不合题意，舍去综上可得，时，方程两实根满足说明：根据一元二次方程两实根满足条件，求待定字母值，务必要注意方程有两实根条件，即所求字母应满足【例8】是一元二次方程两个实数根(1) 是否存在实数，使成立？假设存在，求出值；假设不存在，请您说明理由(2) 求使值为整数实数整数值解：(1) 假设存在实数，使成立 一元二次方程两个实数根 ， 又是一元二次方程两个实数根 ，但 不存在实数，使成立 (2) 要使其

19、值是整数，只需能被4整除，故，注意到，要使值为整数实数整数值为说明：(1) 存在性问题题型，通常是先假设存在，然后推导其值，假设能求出，那么说明存在，否那么即不存在 (2) 此题综合性较强，要学会对为整数分析方法练 习1一元二次方程有两个不相等实数根，那么取值范围是()ABCD2假设是方程两个根，那么值为()ABCD3菱形ABCD边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB长分别是关于方程根，那么等于()ABCD4假设实数，且满足，那么值为()ABCD5假设方程两根之差为1，那么值是 _ 6设是方程两实根，是关于方程两实根，那么= _ ，= _ 7对于二次三项式，小明得出如下结论：无论取什么实数

20、，其值都不可能等于10，您是否同意他看法？请您说明理由8一元二次方程两根、满足求取值范围。9关于一元二次方程(1) 求证：不管为任何实数，方程总有两个不相等实数根；(2) 假设方程两根为，且满足，求值10关于方程(1) 取何值时，方程存在两个正实数根？(2) 假设该方程两根是一个矩形相邻两边长，当矩形对角线长是时，求值11关于方程有两个不相等实数根(1) 求取值范围；(2) 是否存在实数，使方程两实根互为相反数？如果存在，求出值；如果不存在，请您说明理由12假设是关于方程两个实数根，且都大于1(1) 求实数取值范围；(2) 假设，求值答案：1 B2 A3A4A 5 9或6 7正确8由可得或 9

21、 1011(2) 不存在12(1) ；(2) 四、一元高次方程解法含有一个未知数，且未知数最高次项次数大于2整式方程叫做一元高次方程。一元高次方程解法通常用试根法因式分解或换元法到达降次目，转换为一元一次方程或一元二次方程，从而求出一元高次方程解。【例1】解方程 1x3+3x2-4x=0 2x4-13x2+36=0解：1原方程可化为 xx-1x+4=02原方程可化为x2-9x2-4=0；x+3x-3x+2x-2=0，练 习解方程1x3+5x2-6x=02x2-3x2-2x2-3x-8=0答案：12五、三元一次方程组解法举例1三元一次方程组概念：三一次方程组中含有三个未知数，每个方程未知项次数都

22、是1，并且一共有三个方程。注：1“未知项与“未知数不同。2每个方程不一定都含有三个未知数。它一般形式是 未知项系数不全为零，其中每一个方程都可以是三元、二元、一元一次方程，但方程组中一定要有三个未知数。2解三元一次方程组根本思想方法是：【例1】 解方程组 分析：方程只含x，z，因此，可以由，消去y，再得到一个只含x，z方程，与方程组成一个二元一次方程组解：3，得 11x10z35 4 与组成方程组 解这个方程组，得把x5，z2代入，得253y29， 【例2】 解方程组分析：三个方程中，z系数比拟简单，可以考虑用加减法，设法先消z。解：+，得 5x+6y=17 +2，得， 5x+9y=23 与组

23、成方程组 解这个方程组，得 把x=1，y=2代入得：21+22-z=3， z=3 另解：+-，得3y=6，y=2把y=2分别代入和，得 解这个方程组，得： 注：此题确定先消去z后，就要根据三个方程消两次z其中一个方程要用两次，切忌消一次z，再消一次其他未知数，这样得不到一个二元一次方程组，达不到消元目。此题“另解是先同时消去两个未知数，直接求出一个未知数值，然后把所求得未知数值代入方程组中两个方程组中，得到一个二元一次方程组，再求出另两个未知数值。这种解法是一种特殊解法，只有认真观察，才能做出。练 习1. 解以下三元一次方程组1 2 3 2 ，且x+y+z=24，求x、y、z值。3代数式ax2

24、+bx+c在x为1，-1，2时，它值分别是-6，-8，-11，求：a，b，c值；当x=-4时，求代数值。*42x+5y+4z=0，3x+y-7z=0，且xyz0求： 值。*5 且xyz0，求x：y：z*6用100元恰好买了三种笔共100支，其中金笔每支10元，铂金笔每支3元，圆珠笔每支05元，试问三种笔都至少买一根情况下各买了多少支？答案： 1.(1)x=4,y=3,z=8 (2) a=3,b=0,c=6 (3) x=8,y=4,z=2 2. x=6,y=8,z=10 3.a=-2,b=1,c=-5;-414. 5. x：y：z=3：2：4 6. 5，1，94 六、简单二元二次方程组解法举例1

25、二元二次方程及二元二次方程组观察方程 ，此方程特点：含有两个未知数；是整式方程；含有未知数项最高次数是2.定义：含有两个未知数，并且含有未知数项最高次数是2整式方程叫做二元二次方程.二元二次方程一般形式是： a、b、c不同时为零.其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项.定义：二元二次方程组即有两个未知数且未知数最高次数为二次方程组由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成方程及两个二元二次方程组成方程组是我们所研究二元二次方程组.例如：都是二元二次方程组.2二元二次方程组求解根本思想是“转化，即通过“降次、“消元，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组。由于这类方程组形式庞杂，解题方法

26、灵活多样，具有较强技巧性，因而在解这类方程组时，要认真分析题中各个方程构造特征，选择较恰当方法。由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成二元二次方程组解法.我们已经学过二元一次方程组解法，所谓解二元一次方程组就是求方程组中两个方程公共解，同样，解二元二次方程组也就是求方程组中两个方程公共解.解二元二次方程组根本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程.对于由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成二元二次方程组来说，代入消元法是解这类方程组根本方法.【例1】 解方程组分析：由于方程组是由一个二元一次方程和二元二次方程组成，所以通过代入可以到达消元目，通过得 再代入可以求出 值，从而得到方程组解.解：由，得把代入，整理，得解这个方程，得 .把 代入，得 ；把 代入，得 .所以原方程解是 【例2】 解方程组分析：可用“代入法解。也可以根据一元二次方程根与系数关系，把x、y看作一元二次方程两个根，通过解这个一元二次方程来求x，y。 解：从根与系数关系，这个方程组解，可以看作一元二次方程两个根。解此方程得，t这两个值，不管哪一个作为x、y都可以。因此，所求解为 练 习1. 解方程组 2. 解方程组分析132得x2y3xy0 3. 解方程组