高三精选立体几何大题含详细解答.doc

《高三精选立体几何大题含详细解答.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三精选立体几何大题含详细解答.doc（21页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、立体几何大题训练1如下列图，一个等腰直角三角形硬纸片ABC中，ACB90，AC4cm，CD是斜边上高沿CD把ABC折成直二面角ABC第1题图ABCD第1题图1如果你手中只有一把能度量长度直尺，应该如何确定A，B位置，使二面角ACDB是直二面角？证明你结论2试在平面ABC上确定一个P，使DP与平面ABC内任意一条直线都垂直，证明你结论3如果在折成三棱锥内有一个小球，求出小球半径最大值解：1用直尺度量折后AB长，假设AB4cm，那么二面角ACDB为直二面角 ABC是等腰直角三角形，又 ADDC，BDDC ADC是二面角ACDB平面角2取ABC中心P，连DP，那么DP满足条件 ABC为正三角形，且

2、ADBDCD 三棱锥DABC是正三棱锥，由P为ABC中心，知DP平面ABC， DP与平面内任意一条直线都垂直3当小球半径最大时，此小球与三棱锥4个面都相切，设小球球心为0，半径为r，连结OA，OB，OC，OD，三棱锥被分为4个小三棱锥，且每个小三棱锥中有一个面上高都为r，故有代入得，即半径最大小球半径为 2如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1底面边长为3，侧棱长为4，连结A1B，过A作AFA1B垂足为F，且AF延长线交B1B于E。求证：D1B平面AEC；求三棱锥BAEC体积；求二面角BAEC正切值证ABCDA1B1C1D1是正四棱柱，D1DABCD.连AC，又底面ABCD是正方形，ACBD，

3、由三垂线定理知 D1BAC.同理，D1BAE，AEAC = A，D1B平面AEC . 解VBAEC = VEABC . EB平面ABC，EB长为E点到平面ABC距离.RtABE RtA1AB，EB =VBAEC = VEABC =SABCEB =33 = 10分 解连CF， CB平面A1B1BA，又BFAE，由三垂线定理知，CFAE .于是，BFC为二面角BAEC平面角，在RtABE中，BF =，在RtCBF中，tgBFC =， BFC = arctg.即二面角BAEC大小为arctg. 3如图，多面体ABCDE中，AB平面ACD，DE平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2，AB

4、=1，F是CD中点 求证：AF平面BCE；求多面体ABCDE体积；求二面角C-BE-D 正切值 证：取CE中点M，连结FM，BM，那么有四边形AFMB是平行四边形AF/BM，平面BCE，平面BCE，AF/平面BCE 由于DE平面ACD，那么DEAF又ACD是等边三角形，那么AFCD而CDDE=D，因此AF平面CDE又BM/AF，那么BM平面CDE 设G为AD中点，连结CG，那么CGAD由DE平面ACD，平面ACD，那么DECG，又ADDE=D，CG平面ADEB作GHBE于H，连结CH，那么CHBECHG为二面角C-BE-D平面角 由AB=1，DE=AD=2，那么，不难算出，4：ABCD是矩形，

5、设PA=a，PA平面ABCD.M、N分别是AB、PC中点.求证：MNAB；假设PD=AB，且平面MND平面PCD，求二面角PCDA大小；在条件下，求三棱锥DAMN体积.连结AC，AN. 由BCAB，AB是PB在底面ABCD上射影. 那么有BCPB. 又BN是RtPBC斜边PC中线， 即. 由PA底面ABCD，有PAAC，那么AN是RtPAC斜边PC中线，即 又M是AB中点， 也可由三垂线定理证明 由PA平面ABCD，ADDC，有PDDC. 那么PDA为平面PCD与平面ABCD所成二面角平面角 由PA=a，设AD=BC=b，CD=AB=c， 又由AB=PD=DC，N是PC中点，那么有DNPC 又

6、平面MND平面PCD于ND， PC平面MND PCMN，而N是PC中点，那么必有PM=MC. 此时.即二面角PCDA大小为 ，连结BD交AC于O，连结NO，那么NO PA. 且NO平面AMD，由PA=a5如图，四棱锥PABCD底面是正方形,PA底面ABCD，PA=AD=2，点M、N分别在棱PD、PC上，且PC平面AMN.求证：AMPD；求二面角PAMN大小；求直线CD与平面AMN所成角大小. I证明：ABCD是正方形，CDAD，PA底面ABCD，PACD.CD平面PAD AM平面PAD，CDAM.PC平面AMN，PCAM.AM平面PCD.AMPD II解：AM平面PCD已证.AMPM，AMNM

7、.PMN为二面角P-AM-N平面角 PN平面AMN，PNNM.在直角PCD中，CD=2，PD=2，PC=2.PA=AD，AMPD，M为PD中点，PM=PD=由RtPMNRtPCD，得 . 即二面角PAMN大小为. III解：延长NM，CD交于点E.PC平面AMN，NE为CE在平面AMN内射影CEN为CD即CE与平在AMN所成角 CDPD，ENPN，CEN=MPN.在RtPMN中，CD与平面AMN所成角大小为 6如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90. BC=CC1=a，AC=2a.I求证：AB1BC1；II求二面角BAB1C大小；III求点A1到平面AB1C距离.1证明：ABCA1

8、B1C1是直三棱柱，CC1平面ABC， ACCC1.ACBC， AC平面B1BCC1.B1C是AB1在平面B1BCC1上射影.BC=CC1， 四边形B1BCC1是正方形，BC1B1C. 根据三垂线定理得， AB1BC1 2解：设BC1B1C=O，作OPAB1于点P，连结BP.BOAC，且BOB1 C， BO平面AB1C.OP是BP在平面AB1C上射影.根据三垂线定理得，AB1BP.OPB是二面角BAB1C平面角 OPB1ACB1， 在RtPOB中，二面角BAB1C大小为 3解：解法1 A1C1/AC，A1C1平面AB1C，A1C1/平面AB1C. 点A1到平面AB1C距离与点C1到平面AB1C

9、.距离相等.BC1平面AB1C， 线段C1O长度为点A1到平面AB1C距离.点A1到平面AB1C距离为 解法2连结A1C，有，设点A1到平面AB1C距离为h.B1C1平面ACC1A1， ，又， 点A1到平面AB1C距离为 7在矩形ABCD中，AB4，BC3，E为DC中点，沿AE将AED折起，使二面角DAEB为60求DE与平面AC所成角大小；求二面角DECB大小ADBCEABCED第10题图答案：如图1，过点D作DMAE于M，延长DM与BC交于N，在翻折过程中DMAE，MNAE保持不变，翻折后，如图2，DMN为二面角DAEB平面角，DMN60，AE平面DMN，又因为AE平面AC，那么AC平面DM

10、N 在平面DMN内，作DOMN于O，平面AC平面DMN，DO平面AC连结OE，DOOE，DEO为DE与平面AC所成角如图1，在直角三角形ADE中，AD3，DE2，如图2，在直角三角形DOM中，在直角三角形DOE中，那么DE与平面AC所成角为 如图2，在平面AC内，作OFEC于F，连结DF，DO平面AC，DFEC，DFO为二面角DECB平面角如图1，作OFDC于F，那么RtEMDRtOFD，如图2，在RtDOM中，OMDMcosDMODMcos60如图1，在RtDFO中，二面角DECB大小为 8直三棱柱ABCA1B1C1中，ACCBAA12，ACB90，E是BB1中点，DAB，A1DE90.求证

11、：CD平面ABB1A1；求二面角DA1CA大小.解：9如图，斜三棱柱ABCA1B1C1中，BCA=90，AC=BC=a，点A1在底面ABC上射影ABB1C1A1DC恰为AC中点D，BA1AC1。I求证：BC平面A1ACC1； II求点A1到AB距离III求二面角BAA1C正切值 解：答案：如图，斜三棱柱ABCA1B1C1中，BCA=90，AC=BC=a，点A1在底面ABC上射影恰为AC中点D，BA1AC1。I求证：BC平面A1ACC1； II求点A1到AB距离III求二面角BAA1C正切值 解：1由题意，A1D平面ABC，A1DBC。又ACBC，BC平面A1ACC1II过D作DHAB于H，又A

12、1D平面ABC，ABA1HA1H是H1到AB距离BA1AC1，BC平面A1ACC1，由三垂线定理逆定理，得A1CAC1 A1ACC1是菱形 A1A=AC=a, A1D=.10如图，正三棱柱AC1中，AB=2，D是AB中点，E是A1C1中点，F是B1B中点，异面直线CF与DE所成角为90. 1求此三棱柱高； 2求二面角CAFB大小.解：1取BC、C1C中点分别为H、N，连结HC1，连结FN，交HC1于点K，那么点K为HC1中点，因FN/HC，那么HMCFMK，因H为BC中点BC=AB=2，那么KN=，那么HM=，在RtHCC1，HC2=HMHC1，解得HC1=，C1C=2.另解：取AC中点O，以

13、OB为x轴，OC为y轴，按右手系建立空间坐标系，设棱柱高为h，那么C0，1，0，F，D，E0，0，h，由CFDE，得，解得h=2. 2连CD，易得CD面AA1B1B，作DGAF，连CG，由三垂线定理得CGAF，所以CGD是二面角CAFB平面角，又在RtAFB中，AD=1，BF=1，AF=，从而DG=tanCGD=，故二面角CAFB大小为arctan.11.ABCD是矩形，PD平面ABCD，PD=DC=a，M、N分别是AD、PB中点。求证：平面MNC平面PBC；求点A到平面MNC距离。解：I连PM、MB PD平面ABCD PDMD1分PM=BM 又PN=NB MNPB3分得NCPBPB平面MNC

14、5分 平面PBC平面MNC平面PBC6分II取BC中点E，连AE，那么AE/MCAE/平面MNC，A点与E点到平面MNC距离相等7分取NC中点F，连EF，那么EF平行且等于BN BN平面MNC EF平面MNC，EF长为E点到平面MNC距离9分 PD平面ABCD，BCDC BCPC. 即点A到平面MNC距离为12分12如图，正三棱柱ABCA1B1C1底面边长3，侧棱AA1=D是CB延长线上一点，且BD=BC. 求证：直线BC1/平面AB1D； 求二面角B1ADB大小； 求三棱锥C1ABB1体积. 证明：CD/C1B1，又BD=BC=B1C1， 四边形BDB1C1是平行四边形， BC1/DB1.又

15、DB1平面AB1D，BC1平面AB1D，直线BC1/平面AB1D.解：过B作BEAD于E，连结EB1，B1B平面ABD，B1EAD ，B1EB是二面角B1ADB平面角，BD=BC=AB，E是AD中点， 在RtB1BE中，B1EB=60。即二面角B1ADB大小为60 解法一：过A作AFBC于F，B1B平面ABC，平面ABC平面BB1C1C，AF平面BB1C1C，且AF= 即三棱锥C1ABB1体积为 解法二：在三棱柱ABCA1B1C1中， 即三棱锥C1ABB1体积为13如图，在底面是直角梯形四棱锥中，ADBC，ABC90，且，又PA平面ABCD，AD3AB3PA3a。 I求二面角PCDA正切值；

16、II求点A到平面PBC距离。解：1在底面ABCD内，过A作AECD，垂足为E，连结PE PA平面ABCD，由三垂线定理知：PECD PEA是二面角PCDA平面角2分 在中， 4分 在中， 二面角PCDA正切值为6分 II在平面APB中，过A作AHPB，垂足为H PA平面ABCD，PABC 又ABBC，BC平面PAB 平面PBC平面PAB AH平面PBC 故AH长即为点A到平面PBC距离10分 在等腰直角三角形PAB中，所以点A到平面PBC距离为12分14如图，PA平面AC，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD中点.求证：AF平面PCE；假设二面角PCDB为45，AD=2，CD=3，求点

17、F到平面PCE距离.取PC中点M，连结ME、MF. ，即四边形AFME是平行四边形，2/；。分AF/EM，AF平在PCE，AF平面PCE.4分PA平面AC，CDAD，根据三垂线定理知，CDPD PDA是二面角PCDB平面角，那么PDA=456分 于是，PAD是等腰直角三角形，平面PEC, 面PEC面PCD.8分在面PCD内过F作FHPC于H，那么FH为点F到平面PCE距离.10分由，PD=2，PF=PFHPCD 12分15如图，正方体，棱长为a，E、F分别为AB、BC上点，且AEBFx1当x为何值时，三棱锥体积最大？2求三棱椎体积最大时，二面角正切值；3求异面直线与所成角取值范围1，当时，三棱

18、锥体积最大2取EF中点O，由，所以就是二面角平面角在Rt中3在AD上取点H使AHBFAE，那么，所以或补角是异面直线与所成角在Rt中，在Rt中，在RtHAE中，在中，因为，所以，16 ，如图四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且AG=GD，BGGC，GB=GC=2，E是BC中点，四面体PBCG体积为.求异面直线GE与PC所成角；求点D到平面PBG距离；假设F点是棱PC上一点，且DFGC，求值.解法一： I由PG=42如下图，以G点为原点建立空间直角坐标系oxyz，那么B2，0，0，C0，2，0，P0，0，4故E1，1，0异面直线GE与PC所成角

19、为arccos4II平面PBG单位法向量点D到平面PBG距离为8III设F0，y , z在平面PGC内过F点作FMGC，M为垂足，那么12解法二： I由PG=42在平面ABCD内，过C点作CH/EG交AD于H，连结PH，那么PCH或其补角就是异面直线GE与PC所成角.3在PCH中，由余弦定理得，cosPCH=异面直线GE与PC所成角为arccos4IIPG平面ABCD，PG平面PBG平面PBG平面ABCD在平面ABCD内，过D作DKBG，交BG延长线于K，那么DK平面PBGDK长就是点D到平面PBG距离6在DKG，DK=DGsin45=点D到平面PBG距离为8III在平面ABCD内，过D作DM

20、GC，M为垂足，连结MF，又因为DFGCGC平面MFD， GCFM由平面PGC平面ABCD，FM平面ABCD FM/PG由GMMD得：GM=GDcos45=101217如图，四棱锥PABCD底面是正方形,PA底面ABCD，PA=AD=2，点M、N分别在棱PD、PC上，且PC平面AMN.求证：AMPD；求二面角PAMN大小；求直线CD与平面AMN所成角大小. I证明：ABCD是正方形，CDAD，PA底面ABCD，PACD.CD平面PAD3分AM平面PAD，CDAM.PC平面AMN，PCAM.AM平面PCD.AMPD.5分 II解：AM平面PCD已证.AMPM，AMNM.PMN为二面角P-AM-N

21、平面角.7分PN平面AMN，PNNM.在直角PCD中，CD=2，PD=2，PC=2.PA=AD，AMPD，M为PD中点，PM=PD=由RtPMNRtPCD，得 .10分即二面角PAMN大小为. III解：延长NM，CD交于点E.PC平面AMN，NE为CE在平面AMN内射影CEN为CD即CE与平在AMN所成角.12分CDPD，ENPN，CEN=MPN.在RtPMN中，CD与平面AMN所成角大小为15分18如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D为棱CC1上一动点，M、N分别为重心1求证：；2假设二面角CABD大小为，求点C1到平面A1B1D距离；3假设点C在上射影正好为M，试判断点C1在射影是否

22、为N？并说明理由解：1连结并延长，分别交于，连结，分别为重心，那么分别为中点在直三棱柱中，2连结即为二面角平面角在中，PQ 连结同上可知，设PQCC1DNM3 .另解9(B)空间向量解法：以C1为原点，如图建立空间直角坐标系。（1） 设，依题意有： 因为M、N分别为重心所以 （2） 因为平面ABC法向量， 设平面ABD法 向量 令，设二面角CABD为，那么由因此 设平面A1B1D法向量为，那么设C1到平面A1B1D距离为，那么3假设点C在平面ABD上射影正好为M，那么 即舍 因为D为CC1中点，根据对称性可知C1在平面A1B1D射影正好为N。19在RtABC中，ACB=30，B=90，D为AC

23、中点，E为BD中点，AE延长线交BC于F，将ABD沿BD折起，二面角ABDC大小记为。BAPCFDOEPAECDFB（1） 求证：面AEF面BCD；（2） 为何值时，ABCD。1证明：在RtABC中，C=30，D为AC中点，那么ABD是等边三角形又因E是BD中点， BDAE，BDEF，折起后，AEEF=E， BD面AEF BD面BCD，面AEF面BCD。2过A作AP面BCD于P，那么P在FE延长线上，设BP与CD相交于Q，令AB=1，那么ABD是边长为1等边三角形，假设ABCD，那么BQCDPE=AE=又AE=折后有cosAEP=由于AEF=就是二面角ABDC平面角，当=arccos时，ABC

24、D20三棱锥PABC中PB底面ABC，PB=BC=CA=a，E是PC中点，点F在PA上，且3PF=FA. 1求证：平面PACPBC； 2求平面BEF与底面ABC所成角用一个反三角函数值表示.1证明：PB底面ABC，PBAC1分，又BCA=90AC平面PBC4分又AC平面PAC，平面PAC平面PBC5分 2解：设FE延长线与AC延长线交于M，连MB，那么MB为平面BEF与平面ABC交线6分在平面PCA中，由E是PC中点，F是PA四等分点，7分取BC中点H，那么EH/PB， EH底面ABC8分过H作HOMB于O，由三垂线定理，EOMB那么EOH为平面BEF与底面ABC所成二面角平面角9分在，在10分11分即平面BEF与底面ABC所成二面角大小为12分假设利用面积射影法，指出HDB是EFB在底面ABC上射影，并计算出其面积7分 计算出10分11分即平面BEF与底面ABC所成二面角大小为12分