高中数学导数典型例题精讲详细版.doc

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1、 导数经典例题精讲导数知识点导数是一种特殊极限几个常用极限：1，；2，.两个重要极限 ：1；2(e=).函数极限四那么运算法那么：假设，那么(1)；(2);(3).数列极限四那么运算法那么：假设，那么(1)；(2)(3)(4)( c是常数)在处导数或变化率或微商.瞬时速度：.瞬时加速度：.在导数：.函数在点处导数几何意义函数在点处导数是曲线在处切线斜率，相应切线方程是.几种常见函数导数(1) C为常数.(2) .(3) .(4) ；. (5) ; .导数运算法那么1.2.3.复合函数求导法那么 设函数在点处有导数，函数在点处对应点U处有导数，那么复合函数在点处有导数，且，或写作.【例题解析】考

2、点1 导数概念对概念要求：了解导数概念实际背景，掌握导数在一点处定义和导数几何意义，理解导函数概念. 例1 是导函数，那么值是考察目 此题主要考察函数导数和计算等根底知识和能力.解答过程 故填3.例2.设函数,集合M=,P=,假设MP,那么实数a取值范围是 ( ) A.(-,1) B.(0,1) C.(1,+) D. 1,+)考察目此题主要考察函数导数和集合等根底知识应用能力.解答过程由综上可得MP时, 考点2 曲线切线1关于曲线在某一点切线求曲线y=f(x)在某一点Px,y切线，即求出函数y=f(x)在P点导数就是曲线在该点切线斜率.2关于两曲线公切线 假设一直线同时与两曲线相切，那么称该直

3、线为两曲线公切线.典型例题例3.函数在区间，内各有一个极值点I求最大值；II当时，设函数在点处切线为，假设在点处穿过函数图象即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从一侧进入另一侧，求函数表达式思路启迪：用求导来求得切线斜率.解答过程：I因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，设两实根为，那么，且于是，且当，即，时等号成立故最大值是16II解法一：由知在点处切线方程是，即，因为切线在点处空过图象，所以在两边附近函数值异号，那么不是极值点而，且假设，那么和都是极值点所以，即，又由，得，故解法二：同解法一得因为切线在点处穿过图象，所以在两边附近函数值异号，于是存在当时，当时，；或

4、当时，当时，设，那么当时，当时，；或当时，当时，由知是一个极值点，那么，所以，又由，得，故一条切线与直线垂直，那么方程为 A B C D考察目此题主要考察函数导数和直线方程等根底知识应用能力.解答过程与直线垂直直线为，即在某一点导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点切线为.应选A.例5过坐标原点且与x2+y2 -4x+2y+=0相切直线方程为 ( )A.y=-3x或y=x B. y=-3x或y=-x C.y=-3x或y=-x D. y=3x或y=x 考察目此题主要考察函数导数和圆方程、直线方程等根底知识应用能力.解答过程解法1：设切线方程为又应选A.解法2:由解法1知切点坐标为由应选A

5、.例6.两抛物线, 取何值时，有且只有一条公切线，求出此时公切线方程.思路启迪：先对求导数.解答过程：函数导数为，曲线在点P()处切线方程为，即 曲线在点Q切线方程是即 假设直线是过点P点和Q点公切线，那么式和式都是方程，故得，消去得方程， 假设=，即时，解得，此时点P、Q重合.当时，和有且只有一条公切线，由式得公切线方程为 .考点3 导数应用中学阶段所涉及初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质重要而有力工具，特别是对于函数单调性，以“导数为工具，能对其进展全面分析，为我们解决求函数极值、最值提供了一种简明易行方法，进而与不等式证明，讨论方程解情况等问题结合起来，极大地丰富了中学

6、数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题:1. 求函数解析式; 2. 求函数值域; 3.解决单调性问题; 4.求函数极值最值;5.构造函数证明不等式.典型例题例7函数定义域为开区间，导函数在内图象如下图，那么函数在开区间内有极小值点A1个 B2个 C3个 D 4个考察目此题主要考察函数导数和函数图象性质等根底知识应用能力.解答过程由图象可见,在区间内图象上有一个极小值点.应选A.例8 .设函数在及时取得极值求a、b值；假设对于任意，都有成立，求c取值范围思路启迪：利用函数在及时取得极值构造方程组求a、b值解答过程：，因为函数在及取得极值，那么有，即解得，由可知，当时，；当时，；当时，所以，当时

7、，取得极大值，又，那么当时，最大值为因为对于任意，有恒成立，所以，解得或，因此取值范围为例9.函数值域是_.思路启迪：求函数值域，是中学数学中难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数单调性求出最大、最小值。此例形式构造较为复杂，采用导数法求解较为容易。解答过程：由得，即函数定义域为.，又，当时，函数在上是增函数，而，值域是.例10函数，其中为参数，且1当时，判断函数是否有极值；2要使函数极小值大于零，求参数取值范围；3假设对2中所求取值范围内任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数取值范围考察目本小题主要考察运用导数研究三角函数和函数单调性及极值、解不等式等根底知识，考察

8、综合分析和解决问题能力，以及分类讨论数学思想方法.解答过程当时，那么在内是增函数，故无极值.，令，得.由，只需分下面两种情况讨论. 当时，随x变化符号及变化情况如下表：x0+0-0+极大值极小值因此，函数在处取得极小值，且.要使，必有，可得.由于，故.错误！未找到引用源。当时，随x变化，符号及变化情况如下表：+0-0+极大值极小值因此，函数处取得极小值，且假设，那么.矛盾.所以当时，极小值不会大于零.综上，要使函数在内极小值大于零，参数取值范围为.错误！未找到引用源。解：由错误！未找到引用源。知，函数在区间与内都是增函数。由题设，函数内是增函数，那么a须满足不等式组 或 由错误！未找到引用源。

9、，参数时时，.要使不等式关于参数恒成立，必有，即.综上，解得或.所以取值范围是.例11设函数f(x)=ax(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)单调区间.考察目此题考察了函数导数求法,函数极值判定,考察了应用数形结合数学思想分析问题解决问题能力解答过程由得函数定义域为，且1当时，函数在上单调递减，2当时，由解得、随变化情况如下表0+极小值从上表可知当时，函数在上单调递减.当时，函数在上单调递增.综上所述：当时，函数在上单调递减.当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增.例12函数在点处取得极大值，其导函数图象经过点，如下图.求：值；值.考察目本小题考察了函数导数,函数极值判定,闭区间

10、上二次函数最值, 函数与方程转化等根底知识综合应用,考察了应用数形结合数学思想分析问题解决问题能力解答过程解法一：由图像可知，在上，在上，在上,故在上递增，在上递减，因此在处取得极大值，所以由得解得解法二：同解法一设又所以由即得所以例13设是函数一个极值点.求与关系式用表示，并求单调区间；设，.假设存在使得成立，求取值范围.考察目本小题主要考察函数、不等式和导数应用等知识，考察综合运用数学知识解决问题能力.解答过程f (x)x2(a2)xba e3x,由f (3)=0，得 32(a2)3ba e330，即得b32a，那么 f (x)x2(a2)x32aa e3xx2(a2)x33a e3x(x

11、3)(xa+1)e3x.令f (x)0，得x13或x2a1，由于x3是极值点，所以x+a+10，那么a4.当a3x1，那么在区间，3上，f (x)0，f (x)为增函数；在区间a1，上，f (x)4时，x23x1，那么在区间，a1上，f (x)0，f (x)为增函数；在区间3，上，f (x)0时，f (x)在区间0，3上单调递增，在区间3，4上单调递减，那么f (x)在区间0，4上值域是min(f (0)，f (4) )，f (3)，而f (0)2a3e30，f (3)a6，那么f (x)在区间0，4上值域是2a3e3，a6.又在区间0，4上是增函数，且它在区间0，4上值域是a2，a2e4，由

12、于a2a6a2a20，所以只须仅须a2a60，解得0a0时，f(0)为极大值C、b=0 D、当a0时，f(0)为极小值11、函数y=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值，那么该函数一个递增区间是( )A、2，3 B、3，+C、2，+D、-，312、方程6x5-15x4+10x3+1=0实数解集合中( )A、至少有2个元素 B、至少有3个元素 C、至多有1个元素 D、恰好有5个元素二、填空题f(x0)=2, =_.f(x)=x(x+1)(x+2)(x+n),那么f(0)=_.f(x)=loga(3x2+5x2)(a0且a1)单调区间_.R圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_时它面积最大

13、.三、解答题C：y=x33x2+2x,直线l:y=kx,且l与C切于点(x0,y0)(x00)，求直线l方程及切点坐标.18.求函数f(x)=p2x2(1-x)p(pN+)，在0，1内最大值.19.证明双曲线xy=a2上任意一点切线与两坐标轴组成三角形面积等于常数.(1)y=(x22x+3)e2x;(2)y=.21.有一个长度为5 m梯子贴靠在笔直墙上，假设其下端沿地板以3 m/s速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4 m时，梯子上端下滑速度.Sn=12+22x+32x2+n2xn1,(x0,nN*).f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定a取值范围，并求其单调区间.x=1与x=2是

14、函数f(x)=alnx+bx2+x两个极值点.(1)试确定常数a和b值；(2)试判断x=1,x=2是函数f(x)极大值还是极小值，并说明理由.a、b为实数，且bae,其中e为自然对数底，求证：abba.x方程2x2ax2=0两根为、(),函数f(x)=.(1)求f()f()值；(2)证明f(x)是，上增函数；(3)当a为何值时，f(x)在区间，上最大值与最小值之差最小？【参考答案】一、1.解析：y=esinxcosxcos(sinx)cosxsin(sinx),y(0)=e0(10)=1.答案：B2.解析：设切点为(x0,y0),那么切线斜率为k=,另一方面，y=()=,故y(x0)=k,即或

15、x02+18x0+45=0得x0(1)=3,y0(2)=15,对应有y0(1)=3,y0(2)=,因此得两个切点A(3，3)或B(15,),从而得y(A)= =1及y(B)= ,由于切线过原点，故得切线：lA:y=x或lB:y=.答案：A3.解析：由=1,故存在含有0区间(a,b)使当x(a,b),x0时0,于是当x(a,0)时f(0)0,当x(0,b)时，f(0)0,这样f(x)在(a,0)上单增，在(0,b)上单减.答案：B4.解析：fn(x)=2xn2(1x)nn3x2(1x)n-1=n2x(1x)n-12(1x)nx,令fn(x)=0,得x1=0,x2=1,x3=,易知fn(x)在x=

16、时取得最大值，最大值fn()=n2()2(1)n=4()n+1.答案：D5、B 6、A 7、B 8、D 9、B 10、C 11、B 12、C二、13.解析：根据导数定义：f(x0)=(这时)答案：114.解析：设g(x)=(x+1)(x+2)(x+n),那么f(x)=xg(x),于是f(x)=g(x)+xg(x),f(0)=g(0)+0g(0)=g(0)=12n=n！答案：n!15.解析：函数定义域是x或x2,f(x)=.(3x2+5x2)=,假设a1,那么当x时，logae0,6x+50,(3x1)(x+2)0,f(x)0,函数f(x)在(,+)上是增函数，x2时，f(x)0.函数f(x)在

17、(,2)上是减函数.假设0a1,那么当x时，f(x)0,f(x)在(,+)上是减函数，当x2时，f(x)0,f(x)在(,2)上是增函数.答案：(,2)16.解析：设圆内接等腰三角形底边长为2x,高为h，那么h=AO+BO=R+,解得x2=h(2Rh),于是内接三角形面积为S=xh=从而.令S=0,解得h=R,由于不考虑不存在情况，所在区间(0,2R)上列表如下：h(0, R)R(,2R)S+0S增函数最大值减函数由此表可知，当x=R时，等腰三角形面积最大.答案：R三、17. 解：由l过原点，知k=(x00),点(x0,y0)在曲线C上，y0=x033x02+2x0,=x023x0+2,y=3

18、x26x+2,k=3x026x0+2又k=,3x026x0+2=x023x0+2,2x023x0=0,x0=0或x0=.由x0,知x0=,y0=()33()2+2=.k=.l方程y=x 切点(，).18. ,令f(x)=0得，x=0，x=1，x= ,在0，1上，f(0)=0，f(1)=0， . .19.设双曲线上任一点Px0，y0, , 切线方程 ,令y=0，那么x=2x0 令x=0，那么 . .20.解：(1)注意到y0,两端取对数，得lny=ln(x22x+3)+lne2x=ln(x22x+3)+2x, (2)两端取对数，得ln|y|=(ln|x|ln|1x|),两边解x求导，得21.解：

19、设经时间t秒梯子上端下滑s米,那么s=5,当下端移开1.4 m时，t0=,又s= (259t2)(92t)=9t,所以s(t0)=9=0.875(m/s).22.解：(1)当x=1时，Sn=12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1),当x1时，1+2x+3x2+nxn-1=,两边同乘以x,得x+2x2+3x2+nxn=两边对x求导，得Sn=12+22x2+32x2+n2xn-1=.23.解：f(x)=3ax2+1.假设a0,f(x)0对x(,+)恒成立，此时f(x)只有一个单调区间，矛盾.假设a=0,f(x)=10,x(,+),f(x)也只有一个单调区间，矛盾.假设a0,f(x)=3a(

20、x+)(x),此时f(x)恰有三个单调区间.a0且单调减区间为(,)和(,+)，单调增区间为(, ).24.解：f(x)=+2bx+1,(1) 由极值点必要条件可知：f(1)=f(2)=0,即a+2b+1=0,且+4b+1=0,解方程组可得a=,b=,f(x)=lnxx2+x,(2)f(x)=x-1x+1,当x(0,1)时，f(x)0,当x(1,2)时，f(x)0,当x(2,+)时，f(x)0,故在x=1处函数f(x)取得极小值,在x=2处函数取得极大值ln2.25.证法一：bae,要证abba,只要证blnaalnb,设f(b)=blnaalnb(be),那么f(b)=lna.bae,lna

21、1,且1,f(b)0.函数f(b)=blnaalnb在(e,+)上是增函数，f(b)f(a)=alnaalna=0,即blnaalnb0,blnaalnb,abba.证法二：要证abba,只要证blnaalnb(eab,即证,设f(x)=(xe)，那么f(x)=0,函数f(x)在(e,+)上是减函数，又eab,f(a)f(b),即,abba.26.解：(1)f()=,f()= ,f()=f()=4,(2)设(x)=2x2ax2,那么当x时，(x)0,.函数f(x)在(，)上是增函数.(3)函数f(x)在，上最大值f()0,最小值f()0,|f()f()|=4,当且仅当f()=f()=2时，f()f()=|f()|+|f()|取最小值4，此时a=0,f()=2.