高中数学经典解题技巧导数及其应用.doc

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1、高中数学经典解题技巧和方法导数及其应用【编者按】导数及其应用是高中数学考试必考内容，而且是这几年考试热点跟增长点，无论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学必考内容之一。因此，马博士教育网数学频道编辑部特意针对这两个局部内容和题型总结归纳了具体解题技巧和方法，希望能够帮助到高中同学们，让同学们有更多、更好、更快方法解决数学问题。好了，下面就请同学们跟我们一起来探讨下集合跟常用逻辑用语经典解题技巧。首先，解答导数及其应用这两个方面问题时，先要搞清楚以下几个方面根本概念性问题，同学们应该先把根本概念和定理完全吃透了、弄懂了才能更好解决问题：1了解导数概念实际背景。2理解导数几何意义。2导数运算1

2、能根据导数定义求函数导数。2能利用给出根本初等函数导数公式和导数四那么运算法那么求简单函数导数。3能求简单复合函数仅限于形如复合函数导数。3导数在研究函数中应用1了解函数单调性和导数关系，能利用导数研究函数单调性，会求函数单调区间其中多项式函数一般不超过三次。2了解函数在某点取得极值必要条件和充分条件；会用导数求函数极大值、极小值其中多项式函数一般不超过三次；会求闭区间了函数最大值、最小值其中多项式函数一般不超过三次。4生活中优化问题会利用导数解决某些实际问题5定积分与微积分根本定理1了解定积分实际背景，了解定积分根本思想，了解定积分概念。2了解微积分根本定理含义。好了，搞清楚了导数及其应用根

3、本内容之后，下面我们就看下针对这两个内容具体解题技巧。一、利用导数研究曲线切线考情聚焦：1利用导数研究曲线切线是导数重要应用，为近几年各省市高考命题热点。2常与函数图象、性质及解析几何知识交汇命题，多以选择、填空题或以解答题中关键一步形式出现，属容易题。解题技巧：1导数几何意义函数在处导数几何意义是：曲线在点处切线斜率瞬时速度就是位移函数对时间导数。2求曲线切线方程步骤：1求出函数在点导数，即曲线在点处切线斜率；2在切点坐标和切线斜率条件下，求得切线方程为。注：当曲线在点处切线平行于轴此时导数不存在时，由切线定义可知，切线方程为；当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解。例1：2021 海

4、南高考理科T3曲线在点处切线方程为 A B C D【命题立意】此题主要考察导数几何意义，以及熟练运用导数运算法那么进展求解.【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程.【标准解答】选A.因为 ，所以，在点处切线斜率，所以，切线方程为，即，应选A.二、利用导数研究导数单调性考情聚焦：1导数是研究函数单调性有力工具，近几年各省市高考中单调性问题，几乎均用它解决。2常与函数其他性质、方程、不等式等交汇命题，且函数一般为含参数高次、分式或指、对数式构造，多以解答题形式考察，属中高档题目。解题技巧：利用导数研究函数单调性一般步骤。1确定函数定义域；2求导数；3假设求单调区间或证明单调

5、性，只需在函数定义域内解或证明不等式0或0。假设单调性，那么转化为不等式0或0在单调区间上恒成立问题求解。例2：2021山东高考文科21函数1当时，求曲线在点处切线方程；2当时，讨论单调性. 【命题立意】此题主要考察导数概念、导数几何意义和利用导数研究函数性质能力.考察分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想.【思路点拨】(1)根据导数几何意义求出曲线在点处切线斜率；2直接利用函数与导数关系讨论函数单调性,同时应注意分类标准选择.【标准解答】1 当所以 因此， ,即曲线又所以曲线2因为,所以 ,令（1） 当时，所以 当时，0，此时，函数单调递减；当时，0，此时，函数单调递增.（2） 当时，由，

6、即 ，解得. 当时， ， 恒成立，此时，函数在0，+上单调递减; 当时， ，时，,此时,函数单调递减时，0,此时,函数单调递增时，此时，函数单调递减 当时，由于,时，,此时,函数单调递减：时，1时，2x-20,从而(x)0,从而函数Fx在1,+)是增函数。又F(1)=F(x)F(1)=0,即f(x)g(x).()证明：1假设2假设根据12得由可知，,那么=，所以,从而.因为，所以，又由可知函数f(x)在区间-，1内是增函数，所以,即2。四、利用导数研究函数图象考情聚焦：1该考向由于能很好地综合考察函数单调性、极值最值、零点及数形结合思想等重要考点，而成为近几年高考命题专家新宠。2常与函数其他性

7、质、方程、不等式、解析几何知识交汇命题，且函数一般为含参数高次、分式、指、对数式构造，多以解答题中压轴局部出现。属于较难题。例4：2021福建高考理科20()函数f(x)=x3-x，其图像记为曲线C. i求函数f(x)单调区间； (ii)证明：假设对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1x1,f(x1处切线交于另一点P2x2,f(x2).曲线C与其在点P2处切线交于另一点P3 x3 f(x3)，线段P1P2,P2P3与曲线C所围成封闭图形面积分别记为S1,S2，那么为定值：对于一般三次函数gx=ax3+bx2+cx+d(a0)，请给出类似于()(ii)正确命题，并予以证明。【命题立意】本小题主

8、要考察函数、导数、定积分等根底知识，考察抽象概括、推理论证、运算求解能力，考察函数与方程思想、数形结合思想、化归转化思想、特殊与一般思想。【思路点拨】第一步1利用导数求解函数单调区间，2利用导数求解切线斜率，写出切线方程，并利用定积分求解及其比值；第二步利用合情推理方法对问题进展推广得到相关命题，并利用平移方法进展证明。【标准解答】) (i)，令得到，令有，因此原函数单调递增区间为和；单调递减区间为；(ii)，因此过点切线方程为：，即，由得，所以或，故，进而有，用代替，重复上面计算，可得和，又，因此有。【命题】假设对于任意函数图像为曲线，其类似于(I)(ii)命题为：假设对任意不等于实数，曲线

9、与其在点处切线交于另一点，曲线与其在点处切线交于另外一点，线段、与曲线所围成面积为，那么。【证明】对于曲线，无论如何平移，其面积值是恒定，所以这里仅考虑情形，因此过点切线方程为：，联立，得到：，化简：得到从而所以同样运用(i)中方法便可以得到所以。【方法技巧】函数导数内容在历届高考中主要切线方程、导数计算，利用导数判断函数单调性、极值、最值等问题，试题还与不等式、三角函数、数列、立几、解几等知识联系，类型有交点个数、恒成立问题等,其中渗透并充分利用构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要思想方法，主要考察导数工具性作用。例52021江西高考理科如图，一个正五角星薄片其对称轴与水面垂直匀速

10、地升出水面，记时刻五角星露出水面局部图形面积为，那么导函数图像大致为 【命题立意】此题将各知识点有机结合，属创新题型，主要考察对函数图像识别能力，灵活分析问题和解决问题能力，考察分段函数，考察分段函数导数，考察分类讨论数学思想，考察函数应用，考察平面图形面积计算，考察数形结合思维能力【思路点拨】此题结合题意及图像变化情况可用排除法；也可先求面积函数，再求其导数，最后结合图像进展判断.【标准解答】选A方法一：在五角星匀速上升过程中露出图形局部面积共有四段不同变化情况，第一段和第三段变化趋势一样，只有选项A、C符合要求，从而先排除B、D，在第二段变化中，面积增长速度显然较慢，表达在导函数图像中其图

11、像应下降，排除选项C，应选A. 方法二：设正五角星一个顶点到内部较小正五边形最近边距离为1，且设，那么依据题意可得：其导函数 应选A.【方法技巧】从题设条件出发，结合所学知识点，根据“四选一要求，逐步剔除干扰项，从而得出正确判断.这种方法适应于定性型或不易直接求解选择题.当题目中变化情况较多时，先根据某些条件在选择支中找出明显与之矛盾，予以排除，再根据另一些条件在缩小选择支范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确选择.它与特例法、图解法等结合使用是解选择题常用方法，近几年高考选择题中考察较多.例62021全国高考卷理科10假设曲线在点处切线与两个坐标围成三角形面积为18，那么A64 B32 C16 D8【命题立意】此题主要考察了导数几何意义，曲线切线方程求法，考察考生运算求解能力【思路点拨】先求出切线方程，然后表示出切线与两个坐标围成三角形面积。【标准解答】选A，所以曲线在点处切线： 所以， 【方法技巧】利用导数解决切线问题有两种类型：1“在曲线上一点处切线问题，先对函数求导，代入点横坐标得到斜率。2“过曲线上一点切线问题，此时该点未必是切点，故应先设切点，再求切点坐标。