医用物理学陈仲本第五章课后习题答案(14页).doc

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1、-第五章 静电场通过复习后，应该:1.掌握电场强度、场强叠加原理、电势和电势差、场强与电势的关系、电势叠加原理、电偶极子的电势;2.理解电场线和电通量、高斯定理及其应用、有导体存在时静电场的计算、电介质极化、能斯特方程、电容器、静电场的能量;3.了解电偶层的电势、细胞膜静息电位、心电图和心向量图的电学原理。 5-1 点电荷q和4q相距l，试问在什么地方放置什么样的电荷，可使这三个电荷达到受力平衡? 解：已知两个同号点电荷q与4q相距l，在它们之间的连线上某处放置一个异号电荷，当它们满足一定的条件时，即可达到力的平衡。设这个异号电荷的电量为mq，与q相距x，如本题附图所示。根据库仑定律，分析力的

2、平衡条件，电荷mq分别与q、4q的引力相等，即 xlxq4qmq (a) 电荷q受4q的斥力和mq的引力相等，即 习题5-1附图 (b) 解（a）式得x=l /3，将其代入（b）式可得m=4/9。从上面的计算结果可知，在q与4q之间，与电荷q相距l/3处，放置一个4/9q的异号电荷，可使三个电荷达到受力平衡。5-2 两个点电荷分别带有+10C和+40C的电量，相距40cm，求场强为零的点的位置及该点处的电势。 r1r2q1PE2E1q2 解: 求场强为零的位置: 只有在两电荷的连线中的某点P，才能使该处场强为零，即q1 、q2 在该点的场强E1、E2大小相等，方向相反，已知q1 =10C，q2

3、 =40C，则根据点电荷场强公式，有 由上式可得 习题5-2附图又因r1 + r2 =40cm，由此可得r1 =40/3cm=40/310-2 m； r2 =80/3cm=80/310-2 m求电势: 设q1 、q2 在P点产生的电势分别为U1 、U2，P点电势U为U1 、U2 之和，即 5-3 两等值异号点电荷相距2.0m，q1 =8.010-6 C，q2 =-8.010-6 C。求在两点电荷连线上电势为零的点的位置及该点处的场强。 解: 求电势为零的位置:设q1、q2 连线上P点处电势为零，该点电势为q1、q2 分别产生的电势U1、U2 之代数和，由点电荷电场的电势得 q2r1r2q1PE

4、2E1习题5-3附图 从上式可得 又r1 + r2 =2.0m，则r1 = r2 =1.0m，即电势为零的位置处于两点电荷连线的中点。求场强:设q1、q2 在P处产生的场强分别为E1、E2，它们的方向一致，故P点的场强为E1和E2的大小之和，方向由P指向q2YXE1E2E3rrrQQ30aQ5-4 在一个边长为a的正三角形的三个顶点放有量值相等的电荷Q，在以下两种情况下，求三角形重心处的场强和电势：三个顶点都带正电荷;两个顶点带正电荷，一个顶点带负电荷。 YXE1E2E3rrrQQ30a习题5-4 附图（a） 习题5-4 附图（b） 解: 根据场强的叠加原理，可分别求出三个点电荷在重心的场强，

5、再求出它们的矢量和。电势为标量，只需求出它们的代数和。当三个都为正电荷时，按附图（a）取坐标，坐标原点O为三角形的重心，已知等边三角形的边长为a，则其重心到三个顶点的距离r可由三角函数求出由点电荷场强公式可得，三个点电荷在重心O的场强相等，即 （a）方向如附图所示。设重心处的场强E在Y方向和X方向的分量分别为Ey 和Ex ，则由附图（a）可得Ey =E2 cos60+ E3 cos60E1 = E2 + E3 E1 =0Ex =E2 sin60E3 sin60=0 （因为E2 =E3 ）故重心处的合场强E=0。由点电荷的电势公式和可得根据电势叠加原理，重心处的电势U为当两个顶点带正电荷，一个顶

6、点带负电荷时，按本题附图（b）取坐标。参考前面的（a）式，由点电荷电场强度公式可得方向如附图（b）所示。设重心处的场强E在Y方向和X方向的分量分别为Ey和Ex，则由附图（b）可得Ey = E1 + E2 cos60+ E3 cos60= E1+ E2 + E3 =2 E1 =Ex =E2 sin60E3 sin60=0 （因为E2 =E3 ）故重心处的场强E的大小为 其方向垂直向上。由点电荷电势公式可得三个点电荷在重心的电势分别为， 根据电势叠加原理，重心处的电势为5-5 均匀带电直线长2a，其线电荷密度为，求在带电直线垂直平分线上，且与带电直线相距为a的点的场强和电势。 解: 求场强：以带电

7、直线为坐标轴，取直线中点为原点O，在直线上距O点 x处取一线元dx，如本题附图所示，其电量dq=dx，此电荷元在所求点P处产生的场强为 （a）其方向沿dq与P点连线（图中为0时的情况，若0，则反向），与X轴线夹角为。XraPOaadxdEdEdE由于对称性，各电荷元的场强沿X轴的分量dE 互相抵消，而垂直于X轴的分量dE互相增强，因此 （b）由附图可知，将（a）式和sin的表达式代入（b）式得E的大小为 习题5-5附图其方向垂直向上。求电势:由点电荷电势公式可得，dq在P点产生的电势dU为将上式积分可得P点电势dldUXxrPOR5-6 均匀带电圆环，其半径为5cm，总电量为5.010-9 C

8、，计算轴线上离环心5cm处的场强和电势。解：本题先求电势，然后利用场强和电势的关系计算场强。求电势：参考本题附图，设圆环总量为q，半径为R，由于电荷是均匀分布，故其线电荷密度=q/2R。在圆环上取一线元dl，其电量为 （a） 习题5-6 附图设P点离环心O的距离为x，则由附图知，电荷元dq在P点产生的电势dU为 （b）将上式积分，可得P点的电势为 （c）已知R=5cm=0.05m，q=5.010-9 C，x=5cm=0.05m，代入上式得求场强:根据场强与电势的关系E=dU/dn，对（c）式求关于x的导数，则场强E的大小为方向沿X轴正方向。dE 互相抵消，而垂直于X轴的分量dE互相增强，因此

9、5-7 均匀带电的半圆弧，半径为R，带有正电荷q，求圆心处的场强和电势。 解: 求场强：在环上取一线元dl，带电量dq=qRdl，电荷元在圆心产生的场强大小为 方向如附图所示，与OX轴夹角为，dl=Rd。由于对称性，dE互相抵消，dE相互增强，于是有dEdEdERLdlOX将dE的表达式及dl=Rd代入，经整理后得场强E的大小为其方向垂直向下。求电势: 电荷元dq在圆心产生的电势dU为 习题5-7附图将上式积分即得圆心处的电势5-8 长度为L的直线段上均匀分布有正电荷，电荷线密度为，求该直线的延长线上，且与线段较近一端的距离为d处的场强和电势。 dllrdPOLX解: 求场强:在直线段l处取一

10、线元dl，其带电量为dq=dl，它在P处产生的场强方向沿直线的延长线，大小为 将上式积分，即得P点场强的大小为 习题5-8附图 方向沿X轴正方向。求电势:由点电荷电势公式可知，电荷dq在P点产生的电势dU为将上式积分，即得P点的电势U为5-9 两个无限长同轴柱面，内圆柱面半径为R1，每单位长度带的电荷为+，外圆柱半径为R2，每单位长度带的电荷为-，求两圆柱面之间的空间中各处的场强。 R2rR1S1S2S3 解: 电荷均匀地分布在两无限长同轴圆柱面上，电场的分布具有对称性，即距轴心等距的各点大小相等，方向沿半径方向（轴向分布）欲求两圆柱面之间的空间中任意点（设距轴心为r）的场强E，选取半径为r，

11、单位长度的同轴圆柱面S1与两底面S2、S3构成的闭合柱形高斯面S。其中S2、S3 处场强方向与法线垂直，cos90=0，通过S2、S3 的电通量为零，所以通过S面的总电通量即为通过S1 的电通量由题意可知，在单位长度高斯圆柱面内的电量为+，故由高斯定理 得 E2 r =/0 解出E即得 （R1 r R2）作一球形高斯面S1（外虚线），该高斯面上各处场强为零.通过S1 面的电通量由高斯定理可知，两球面带异号电荷，且q1 =q2 ，即：14R12 =24R22，由此可解出内球面上的电荷密度1为习题5-12附图从球心O以半径R作一球形高斯面S2（见附图，内虚线），由于电荷均匀分布，球面带电体具有球对

12、称性，电场的分布也应有对称性，在高斯面S2 上各处的场强大小相等，方向均沿半径方向，即=0（此为内球面带正电情况，若带负电，=180，请读者自行讨论）。设S2 上场强大小为E，根据高斯定理有 E4R2 =q1/0 因球面内没有电荷，由高斯定理可知，E=0。5-13 电场强度E与电势U之间有何关系?电场中，若某点场强为0，该点电势是否一定为0?反之，某点电势为0。该点的场强是否一定为0? 若空间中各点电势为一常数，场强一定为0吗? 为什么? 答: 电场强度E与电势U是从不同角度来描述电场性质的两个重要物理量，电场强度E描述了电场力的特性，而电势U则描述了电场能的特性，它们之间的积分关系为，微分关

13、系。从它们的关系式可以看出，某点场强为0，该点电势不一定为0，例如，半径为R的带电球壳，内部的场强为0，而电势等于kQ/R。某点的电势为0，但该处的dU不一定为0，因此该点的场强不一定为0，例如电偶极子的中垂面上，各点的电势等于0，但场强不等于0。若空间各点电势为一常数，dU=0，则场强一定为0。5-14 电量为q=+1.010-8 C的点电荷，从电场中的a点移到b点，电场力作的功为310-6 J，求: a、b两点的电势差是多少? 两点中哪一点的电势较高? 解: 已知q=+1.010-8 C，Wab =310-6 J，由电势差公式UaUb =Wab /q可得 UaUb =Wab /q=310-

14、6 /1.010-8 V=3102 V因为正电荷从a移到b是电场力作功，所以Ua Ub。5-15 什么是电偶极子? 电偶极子电场中某一点的电势与哪些因素有关? 指出电势大于零、等于零、小于零的区域? 答: 两个相距很近的等量异号电荷+q和q所组成的带电系统叫电偶极子。电偶极子电场中某一点的电势与电偶极子的电矩P成正比，与该点到电偶极子的距离r平方成反比，且与方位角有关，即。电偶极子中垂面上各点的电势为零，在中垂面+q一侧空间各点的电势为正，q一侧空间各点的电势为负。5-16 两个等量异号的点电荷，其电量均为10-9 C，相距0.01mm，求该电偶极子的电矩大小和方向。 解: 已知Q =1.01

15、0-9 C，l =0.01mm=1.010-5 m，由电矩公式可得P=ql=1.010-91.010-5 Cm=1.010-14 Cm其方向由负电荷指向正电荷。y(m)x(m)OC(0,1)A(1,0)B(1,2)D(-1,2)5-17 设在XY平面内的原点O处有一电偶极子，电矩P的大小为1.010-6 Cm，方向指向Y轴正方向。问在坐标（1，0），（1，2），（0，1），（-1，2）点处的电势分别是多少?（坐标单位为m）解: 已知原点O处的电偶极子的电矩P=1.010-6 Cm，方向指向Y轴正方向，如附图所示，A点：=90，r =1m； B点：cos=2/，r =m；C点：=0， r =1m

16、； D点：cos=2/，r =m。根据电偶极子的电势，A、B、C、D各点的电势分别为： 习题5-17 附图 5-18 在边长为a的等边三角形重心处，有一垂直指向底边的电偶极子P，求： 三角形各顶点的电势; 三角形各边中点的电势。解: 已知等边三角形的边长为a，则由附图可计算出重心到三个的顶点的距离r为又知电偶极子指向等边三角形的底边，如附图所示。根据电偶极子电势公式，可得各顶点的电势。对于顶点A， =180，则对于顶点B，方位角 =60，顶点C， =60，则B、C的电势分别为 EDrrABCU3U1U2U3U1U2FPr由附图可知，重心到各边中心的距离d为由此可进一步计算各边中点的电势，其中底

17、边中点D， 习题5-18附图 =0，其电势为对于左边中点E，方位角 =120，右边中点F， =120，则这两点的电势分别为， 如果电偶极子P的方向水平向右，结果又是怎样? 读者自己计算。5-19 电偶极子的电量q =310-7 C，轴线l =0.02mm，求：电偶极子中垂线上距轴线中点30cm的P点的电势； 若P点在电偶极子电矩指向的延长线上时，其电势又是多少?（设这时P点离轴线中点的距离仍为30cm。） 解: 已知q =310-7 C， l =210-5m，由电矩公式得P = ql = 310-7210-5 Cm=610-12 Cm 因为P点在垂直于电偶极子轴线的中垂线上，其方向角=90，由

18、电偶极子电势公式可知，P点的电势U =0（因为cos90=0）。若P点位于电矩指向的延长线上，离轴线中心30cm，则 =00，r =30cm=0.3m，代入电偶极子电势公式（常数k =9109 Nm2C-2），可得这时P点的电势为 5-20 一曲率半径为10cm的球壳状电偶层，带电量q =310-7 C，层间距为1mm，面积30cm2，问在曲率中心处电偶层形成的电势是多少? 解: 已知r =10cm=0.1m，q =310-7 C， =1mm=10-3 m，S =30cm2 =310-3 m2。由层矩的定义得PS =(q)/S，由立体角公式得 =S/r2 ，再根据电偶层的电势公式，可得曲率中心

19、处电偶层形式的电势为5-21 均匀带电球壳内半径6cm，外半径10cm，电荷体密度为210-5 Cm-3求距球心5cm，8cm，12cm 各点的场强。解:高斯定理,当时，,时， ， 方向沿半径向外。cm时, 沿半径向外。5-22 半径为R1和R2 (R2 R1)的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量和-，试求：(1)r R1；(2) R1R2；(3) rR2处各点的场强。解:高斯定理 ，取同轴圆柱形高斯面，侧面积，则(1) ，(2) ， ， 沿径向向外。(3) ， 5-23 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为1和2，试求空间各处场强。解:两带电平面均匀带电，电荷面密度分别

20、为1和2，规定垂直于两平面由面指向面的方向为，则两面间， ；面外， ；面外， 5-24 一块电介质在电场中极化后，沿着与电场垂直的方向将它截为两半，再撤去外电场，这两块电介质是否带电?如果把电介质换成导体，情况又如何? 答: 两块电介质均不带电。因为电介质极化产生的电荷不能离开介质，也不能在电介质内部自由移动，处于束缚状态，无论是取向极化还是位移极化，当外电场撤消后，极化现象也随之消失，由于分子的热运动，电介质对外不显电性。若换成导体放入电场中，导体中的自由电子将在电场力作用下逆着外电场方向运动，导体一端因自由电子的积聚出现负电荷，另一端因自由电子的缺失显现正电荷，分开后，一块导体带正电，另一

21、块带负电。5-25 设在外电场的作用下电介质的某处场强为0.15107 NC-1，电介质的介电常数为10-10 C2N-1m-2，求无电介质时该处的场强是多少? 解: 设外电场（即无电介质时）的场强为E0，放入电介质后，电介质内部的总场强E是外电场与极化电场之和。由E = E0/r 和 = 0 r 可得E0 = E / 0已知： E =0.15107 NC-1， =10-10 C2N-1m-2，0 =8.854210-12 C2N-1m-2，代入上式得5-26 平行板电容器的极板面积为S，间距为d，将电容器充电后，注入相对介电常数为r 的电介质，问以下两种情况时，注入电介质前后电容器所带电荷Q

22、，场强E，两板间电压U，电容C和电场能量密度we 有何变化?（1）注入电介质时电容器仍在电源上；（2）注入电介质时电容器已与电源断开。 答: 注入电介质时电容器在电源上，这时两极板之间的电势差U不变，即注入电介质前的电势差U前 等于注入电介质后的电势差U后 （U前 =U后）。根据电容器的电容的定义式C=S d可知C前 =0 S/ d， C后 = S /d=0 r S/ d = r C前 而Q=CU，Q后 =C后 U后 =r C前 U前 =r Q前 ，由E=U/d可得E后 =U后/d=U前/d=E前 由能量密度公式w =E2/2 得w后 =0 r E2后/2 =r（0 E2后/2）=r w前 其

23、中w前 =0 E2后/2。注入电介质时电容器已与电源断开，这时Q前 =Q后，即电容器所带电量不变，而C后 =S/ d=0 r S/ d=r C前，由U=Q/C可得U后 =Q后/C后 =Q后/(r C前)= Q前/r C前 = U前/r根据E=U/ d可得E后 =U后/d=U前/r d=E前/r 由能量密度公式w = E2/2 得，w后 = 0 r E2后/2 =0r (E前/r )2/2 = (0E前/2 )2/r = w前/r5-27 真空中一半径为R，电荷为Q的导体球，求其电场的总能量。 解: 根据静电平衡条件，可知电荷Q一定均匀地分布在导体球的表面上。根据高斯定理可求得均匀带电球面的场强

24、分布为由能量密度公式w =E2/2可知，在球内因E=0，故球内电场的能量为零。由上式和能量密度公式可得，球外电场的能量密度为取一个与球同心的球壳，其半径为r，厚度为dr，则它的体积为dV=4r2dr，体积元dV内的电场能量dW=wdV= q2 dr/( 80 r2)，所以其电场的总能量为5-28 在温度为37时，带一个正电荷的某离子在细胞膜内外的浓度分别为10molm-3 和160molm-3，求膜内外平衡电位，并指出何侧电位高?解: 已知t =37，Z=+1，Ci =10molm-3，Co =160molm-3，由细胞膜电位公式可得膜内的电位为膜内电位高于膜外电位。5-29 在某一细胞中，C

25、l 在37时的平衡电位为80mV，如果在细胞外Cl 浓度为110molm-3，那么在细胞内的浓度是多少? 解: t =37，Z =1，C0 =110molm-3，Ui =80mV，代入细胞膜内电位公式， 解之得，Ci =5.5molm-3，即细胞膜内Cl 的浓度。5-30 简述心电信号的产生过程。 答: 当心肌细胞处于静息状态时，在其膜的内、外侧分别均匀地分布有等量的正、负离子，形成一闭合曲面的电偶层，对外不显电性，这种状态叫极化。当心肌细胞兴奋时，由于细胞对各种离子的通透性发生了变化，使得在兴奋处膜外的正电和膜内负电逐渐消失，接着，反过来膜内带正电，而膜外带负电，这个过程称为除极，在除极过程

26、中由于电荷不再均匀分布，整个心肌细胞等效为一个电偶极子，其电矩方向与除极的传播方向相同。除极是一个极其短暂的过程，然后细胞又恢复到原来内负外正的带电状态，这个过程称为复极。此时细胞同样相当于一个电偶极子，只是电矩方向与除极时相反。复极结束后细胞恢复到极化状态。可见，心肌细胞的除极和复极过程中，细胞相当于一个电矩变化的电偶极子，在周围空间引起电势的变化，这就是心电信号的产生过程。5-31 心电图与心向量图有什么样的关系? 答: 某一导联得到的心电图是心向量图在该导联轴上的投影，实际上是空间心电向量环经过二次投影形成的。其过程是：首先空间心电向量环在三个互相垂直的平面上，即额面、水平面、右侧面上投

27、影，得到三个平面心电向量环；其次是额面和水平面的心电向量环分别在各肢体导联轴和胸导联轴上投影，最后形成各导联上的心电图。5-32 常用心电导联有哪些?各导联的电极与心电图机是如何连接的? 答: 常用的心电导联有标准导联、加压肢体导联、胸导联，各导联的电极与心电图机按以下方式连接:标准导联：极分别安放在左上肢、右上肢、左下肢，分三个导联：导联，左上肢接心电图机的正极端，右上肢接心电图机的负极端；导联，左下肢接心电图机的正极端，右上肢接心电图机的负极端；导联，左下肢接心电图机的正极端，左上肢接心电图机的负极端。加压单极肢体导联，分三个导联:右上肢加压单极肢体导联aVR，右上肢接心电图机的正极端，左

28、上肢和左下肢分别通过一个电阻R0 后共同接心电图机的负极端；左上肢加压单极肢体导联aVL，左上肢接正极端，右上肢和左下肢分别通过一个电阻R0后共同接负极端；左下肢加压单极肢体导联aVF，左下肢接正极端，右上肢和左上肢分别通过一个电阻R0后共同接负极端。单极胸前导联：探查电极放于心前区一定的部位，与心电图机的正极端相连，而负极端则与中心电端相连，由于探查电极V放于胸壁的位置不同，又分V1、V2、V3、V4、V5、V6 六个导联。5-33 加压单极肢体导联的电压幅度比单极肢体导联高50%，试用数学的方法证明之。证明: 以右上肢加压单位极导联aVR为例证明。设左上肢、右上肢、左下肢的电位分别为UL、UR、UF，根据aVR的定义，aVR=UR -UT （a）这时中心电端T只连接两个肢体，即左上肢L和左下肢F，它的电位UT 等于左上肢的电位UL和左下肢的电位UF的平均值，即UT =(UL +UF)/ 2 （b）将UT 的表达式代入（a）式得aVR=UR(UL +UF)/ 2 =3 UR/ 2(UR +UL +UF)/2=3UR(UR +UL +UF)/3/2因为(UR +UL +UF)/ 3 =0，故由上式得aVR=3UR/2 由此可见，右上肢加压导联的电压比单极肢体导联高50%。同理也可以证明: aVL=3UL/2，aVF=3UF/2，其幅度比单极肢体导联高50%。-第 14 页-