单摆运动过程的MATLAB&Simulink建模与仿真(9页).doc

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1、-单摆运动过程的MATLA&Simulink建模与仿真作者:王军 Email:wj820420本文章为一次学习总结，发到网上供大家参考，希望大家转载的时候不要匿名篡改，保持良好的学术作风。在高中物理学习过程中,我们接触了单摆.当时的单摆定义是:细线一端固定在悬点,另一端系一个小球,如果细线的质量与小球相比可以忽略,球的直接与线的长度相比也可以忽略,这样的装置就叫做单摆.根据上面的定义,得出以下试验结论.(1)当摆角很小时，周期与振幅无关;(2)周期与摆球质量无关;(3)单摆振动的周期与摆长有关;单摆周期的平方与摆长成正比.以上结论是在理想条件下得到的结论,现对这个理想条件下的单摆进行分析与仿真

2、,将仿真结果与以上结论进行对比验证.1 理想模式下单摆的数学模型.首先根据理想条件,摆线质量忽略不计,空气阻力忽略不计.设摆线长度为l,摆球质量为m,重力加速度为g,系统的初始时刻为t=0,在任意t0时刻摆球的线速度为v(t),角速度为(t),角位移(t),以单摆的固定位置为坐标原点建立直角坐标系,水平方向为x轴方向.示意图如下所示：在 t 时刻，摆锤所受切向力ft(t)是重力mg在其运动圆弧切线方向上的分力，即(t) = mg sin(t)完全理想条件下，根据牛顿第二运动定律，切向加速度为：a(t) = g sin(t) 因此得到单摆的运动微分方程组： g sin(t) (1) (2)使用欧

3、拉算法求解：将dv(t) = v(t + dt) - v(t)和d(t) = (t + dt) -(t)代入式（1）及式（2）中，并以仿真步进量作为dt 的近似，得到基于时间的递推方程：v (t +)= v (t)+gsin( t) （3）(t +)=(t)- （4） 注:本递推方程仅适合于摆角,也就是要求无论初始速度多少,摆角的最大幅度不能超过90度,如果超过90度比并且初始速度为0时放手小球会自由下落一段时间才能摆动,本递推方程无法描述. 据此编写仿真程序：在MALAB命令窗口输入以下命令：dt=0.0001; %仿真步进T=16; %仿真时间长度t=0:dt:T;%仿真计算时间序列g=9

4、.8;L=1.5;th0=1.5; %初始摆角设置,不能超过/2,即要求球摆动开始时绳子就要有拉力,如果初始摆角超过/2,则球会经过一阵自由落体后才能进行摆动,上面的递推方程不能满足该情形.v0=0; %初始摆速设置v=zeros(size(t); %程序存储变量预先初始化，可提高执行速度th=zeros(size(t);v(1)=v0;th(1)=th0;for i=1:length(t) %仿真求解开始v(i+1)=v(i)+g*sin(th(i).*dt;th(i+1)=th(i)-1./L.*v(i).*dt;end %使用双坐标系统来作图 AX,B1,B2=plotyy(t,v(1:

5、length(t),t,th(1:length(t),plot);set(B1,LineStyle,-); %设置图线型set(B2,LineStyle,:);set(get(AX(1),Ylabel),String,线速度v(t)m/s);%作标注set(get(AX(2),Ylabel),String,角位移th(t)/rad);xlabel(时间t/s);legend(B1,线速度v(t),2);legend(B2,角位移th(t),1);在以上假设条件下得到仿真图形如下:在其他条件不变的情况下,仅仅改变细线的长度L=3,再次进行仿真,仿真图象如下:对比两幅图象可以看出,在理想条件下,同

6、样摆角下,单摆的摆臂变化,影响单摆的最大线速度以及单摆的周期,当摆臂增加时,最大线速度增加,同时单摆的周期也增加.此结论正好与最初单摆理想条件下的试验结论一致.实际情况中,当摆幅很小(0为阻力比例系数，式中的负号表示阻力方向与摆锤运动方向相反。切向加速度由切向合力ft-fz产生，根据牛顿第二运动定律，有a(t) = g sin(t) -因此得到修正后的单摆运动微分方程组: g sin(t) - （5） （6）仍然使用欧拉算法求解：将dv(t) = v(t + dt) - v(t)和d(t) = (t + dt) -(t)代入式（5）及式（6）中，并以仿真步进量作为dt 的近似，得到基于时间的递

7、推方程：v (t +)= v (t)+(gsin( t) -) (t +)=(t)-据此编写仿真程序：在MALAB命令窗口输入以下命令：subplot(2,1,1)dt=0.0001; %仿真步进T=16; %仿真时间长度t=0:dt:T;%仿真计算时间序列g=9.8;L=1.5;m=8;k=3;th0=1.5; %初始摆角设置,不能超过/2v0=0; %初始摆速设置v=zeros(size(t); %程序存储变量预先初始化，可提高执行速度th=zeros(size(t);v(1)=v0;th(1)=th0;for i=1:length(t) %仿真求解开始v(i+1)=v(i)+(g*sin

8、(th(i)-k./m.*v(i).*dt;th(i+1)=th(i)-1./L.*v(i).*dt;end %使用双坐标系统来作图 AX,B1,B2=plotyy(t,v(1:length(t),t,th(1:length(t),plot);set(B1,LineStyle,-); %设置图线型set(B2,LineStyle,:);set(get(AX(1),Ylabel),String,线速度v(t)m/s);%作标注set(get(AX(2),Ylabel),String,角位移th(t)/rad);xlabel(时间t/s);legend(B1,线速度v(t),2);legend(B

9、2,角位移th(t),1);其它条件不变,令阻力比例系数k=1.5,将两次仿真的图形放在一起,结果如下: 其它条件不变,令阻力比例系数k=0,将将两次仿真的图形放在一起,结果如下: 由上图可以看出,在理想状态下,当线速度最大的时候,角位移为0,当线速度为0时角位移最大,两个同时发生没有滞后.非理想状态下,角位移与线速度0值和最大值发生会有一定的延迟,这是由于各方面阻力综合原因造成的.3理想条件下特殊摆动的数学模型.这里所说的特殊摆动,指的是在理想条件下,=的情况下,摆球有一个很大的初始速度,可以使摆球围绕悬点不停的旋转(垂直方向,重力能够起到作用),此时已经不能称之为单摆了,但是在理想条件下,

10、小球的转动依然符合一定的规律,先对其进行数学物理分析,再进行MATLAB仿真.理力学原理的分析同理想状态下的单摆分析完全一样,只是单摆是来回摆动,而此时是围绕悬点来回旋转,摆动的时候角位移是在一个范围内变化,而旋转的情况下角位移是不停的增加的,如果时间无限长,则角位移无线长,图象显示就是一条上升的曲线,没有很直观的感受,因此我们只考虑线速度的变化规律.基于时间的递推方程依然如下:v (t +)= v (t)+(gsin( t) -) (t +)=(t)-只是在MATLAB仿真中不需要图象显示角位移的图象,仅仅显示线速度v的图象就好.MATLAB仿真程序如下:dt=0.0001; %仿真步进T=

11、16; %仿真时间长度t=0:dt:T;%仿真计算时间序列g=9.8;L=1.5;m=8;k=0; %空气阻力比例系数th0=pi; %初始摆角设置v0=10; %初始摆速设置v=zeros(size(t); %程序存储变量预先初始化，可提高执行速度th=zeros(size(t);v(1)=v0;th(1)=th0;for i=1:length(t) %仿真求解开始v(i+1)=v(i)+(g*sin(th(i)-k./m.*v(i).*dt;th(i+1)=th(i)-1./L.*v(i).*dt;endplot(t,v(1:length(t)xlabel(时间t/s);ylabel(线速

12、度v(t);仿真图象如下所示:由上图可以看出，单摆围绕悬点做圆周运动，速度在最高点的时候最低，在最低点的时候最大，现在验证最大速度值:带入仿真初始值：v0=10 g=9.8 L=1.5从而得出,与仿真结果明显一致。由此还可以引出许多特殊情形,比如用硬制木棍代替细摆线,力学原理就发生了很大的改变,仿真的曲线也会有所不同.4使用Simulink重新仿真理想模式下的单摆运动.本次仿真以单变量建立微分方程,用示波器观察的变化情况.由之前的分析易知道有:单摆回复力,而单摆的切向加速度上式为一个二阶非线性常微分方程.为了便于比较,将所有参数设置的与之前一致,也就是g=9.8,L=1.5,初始,则Simul

13、ink模型模块如下所示:模块搭建好后,进行参数设置,积分器Integrator为初始角速度设置为0，积分器Integrator1为初始=1.5,三角函数sin为默认设置,两个增益,Simulation Configuration Parameters设置为起始时间0.终止时间16,采样周期auto,最大间隔0.2,最小0.1,解法为ode45(4阶5阶龙格库塔算法).全部设置好后,启动Simulink开始仿真,两个示波器的输出图象如下:与之前MATLAB程序仿真结果完全一致. 至此,本次针对单摆运动的仿真全部结束.明显可以看出Simulink在系统结构明确的情况下,只需进行简单的参数设置,就可

14、以观测任意环节的变量状态,十分简便.关于本次仿真的一些感受：1. 仿真的条件要求很严格，不同条件（理想非理想状态，初始状态等等）下建立的模型不一致，需要严格界定。2. 仿真的关键在于充分了解系统的物理化学等特性，并在此基础上建立系统的数学模型。3. 仿真的结果需要认真验证，对于一些明显的结论，需要能够在仿真曲线上看的清楚。4. MATLAB作为一种辅助工具，功能十分强大，但是使用起来很简单，需要深入学习。在系统结构参数明确情况下,使用Simulink仿真更简便一些.5. 对于连续系统,其图象数据也是用极小的采样间隔得到的,因此我理解所有的连续系统都可以用微小间隔的离散采样进行仿真.-第 9 页9